Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Câu hỏi:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Trả lời:

a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC⇒ A’D’CB là hình bình hành⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’⇒ BDD’B’ là hình bình hành⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).b) Gọi O = AC ∩ BD+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.G1 ∈ A’O ⊂ (A’BD)⇒ G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’).+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’⇒ A’I = IC.⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC$\Rightarrow G_{1 }= A’O \cap AC’$ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC$\Rightarrow G_1$ là trọng tâm ΔA’AC$\Rightarrow A’G_1 = 2.A’O/3$$\Rightarrow G_1$ cũng là trọng tâm ΔA’BD.Vậy AC’ đi qua trọng tâm $G_1$ của ΔA’BD.Chứng minh tương tự đối với điểm $G_2$.c) *Vì $G_1$ là trọng tâm của ΔAA’C nên $A{G}_1/AI = 2/3$ .Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’Từ các kết quả này, ta có : $A{G}_1 = 1/3.AC’$*Chứng minh tương tự ta có : $C’G_2 = 1/3.AC’$Suy ra : $A{G}_1 = G_1{G}_2 = G_{2}C’ = 1/3.AC’$.d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai mặt phẳng song song α và β. Đường thẳng d nằm trong α (h.2.47). Hỏi d và β có điểm chung không?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai mặt phẳng song song α và β. Đường thẳng d nằm trong α (h.2.47). Hỏi d và β có điểm chung không?

   Trả lời:

   Hai mặt phẳng song song α và β ⇒ α và β không có điểm chungĐường thẳng d nằm trong α ⇒ Đường thẳng d không thể cắt mặt phẳng β. Vì nếu d cắt mặt phẳng β tức là d và β có điểm chung=> hai mặt phẳng α và β có điểm chung (mâu thuẫn với giả thiết)Vậy d và β không có điểm chung

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (α) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (α) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC).

   Trả lời:

   Mặt phẳng (α) là mặt phẳng đi qua 3 trung điểm I, K, L của SA, SB, SCThật vậy, do I, K , L lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên IK, KL lần lượt là đường trung bình trong tam giác SAB và SBCIK // AB ∈ (ABC) ⇒ IK // (ABC)KL // BC ∈ (ABC) ⇒ KL // (ABC)IK và KL cắt nhau và cùng // (ABC)⇒ Mặt phẳng chứa IK và KL // (ABC) hay (α) // (ABC)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Phát biểu định lý Ta-lét trong hình học phẳng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phát biểu định lý Ta-lét trong hình học phẳng.

   Trả lời:

   Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.

   Trả lời:

   a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’.+ AA’ // CC’ ⊂ (C’CD)⇒ AA’ // (C’CD).AB // CD ⊂ (CC’D)⇒ AB // (CC’D)(AA’B’B) có: ⇒ (AA’B’B) // (C’CD).Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) và giao tuyến song song với A’B’⇒ C’D’ // A’B’.b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’.Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ và C’D’ // A’B’⇒ A’B’C’D’ là hình bình hành.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.

   Trả lời:

   a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hànhXét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bìnhLại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hànhb) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).c)Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)G ∈ C’K.⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’⇒ K là trung điểm AB’.ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K⇒ G là trọng tâm ΔAB’C’.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====