Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (α) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (α) và (β) sao cho OA và OB lần lượt cắt (β) tại A’ và B’.a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng.b) Trong (α) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Câu hỏi:

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Trong (α) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài (α) và (β) sao cho OA và OB lần lượt cắt (β) tại A’ và B’.a) Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng.b) Trong (α) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Trả lời:

a) I, A’, B’ là ba điểm chung của hai mặt phẳng (OAB) và (β) nên chúng thẳng hàng.b) I, J, K là ba điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) nên chúng thẳng hàng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CDa) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CDa) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)

   Trả lời:

   a) Nhận xét:Do giả thiết cho IJ không song song với CD và chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.Gọi K = IJ ∩ CD.Ta có: M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);Vậy (MIJ) ∩ (ACD) = MKb) Với L = JN ∩ AB ta có:Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)Gọi P = JL ∩ AD, Q = PM ∩ ACTa có:Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)Vậy LQ = (ABC) ∩ (MNJ).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳnga) (SBM) và (SCD);b) (ABM) và (SCD);c) (ABM) và (SAC).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳnga) (SBM) và (SCD);b) (ABM) và (SCD);c) (ABM) và (SAC).

   Trả lời:

   a) Ta có ngay S, M là hai điểm chung của (SBM) và (SCD) nên (SBM) ∩ (SCD) = SMb) M là điểm chung thứ nhất của (AMB) và (SCD)Gọi I = AB ∩ CDTa có: I ∈ AB ⇒ I ∈ (ABM)Mặt khác: I ∈ CD ⇒ I ∈ (SCD)Nên (AMB) ∩ (SCD) = IM.c) Gọi J = IM ∩ SC.Ta có: J ∈ SC ⇒ J ∈ (SAC) và J ∈ IM ⇒ J ∈ (ABM).Hiển nhiên A ∈ (SAC) và A ∈ (ABM)Vậy (SAC) ∩ (ABM) = AJ

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC)a) Hãy xác định điểm L.b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC)a) Hãy xác định điểm L.b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.

   Trả lời:

   a) Gọi N = DK ∩ AC; M = DJ ∩ BC.Ta có (DJK) ∩ (ABC) = MN ⇒ MN ⊂ (ABC).Vì L = (ABC) ∩ JK nên dễ thấy L = JK ∩ MN.b) Ta có I là một điểm chung của (ABC) và (IJK).Mặt khác vì L = MN ∩ JK mà MN ⊂ (ABC) và JK ⊂ (IJK) nên L là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IJK), suy ra (IJK) ∩ (ABC) = IL.Gọi E = IL ∩ AC; F = EK ∩ CD. Lí luận tương tự ta có EF = (IJK) ∩ (ACD).Nối FJ cắt BD tại P; P là một giao điểm (IJK) và (BCD).Ta có PF = (IJK) ∩ (BCD) Và IP = (ABD) ∩ (IJK)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK).

   Trả lời:

   Nhận xét. Trên hình vẽ 2.23 không có sẵn đường thẳng nào của mặt phẳng (MNK) cắt AD. Ta xét mặt phẳng chứa AD chẳng hạn (ACD) rồi tìm giao tuyến ∆ của (ACD) với (MNK). Sau đó tìm giao điểm I của ∆ và AD, I chính là giao điểm phải tìm.Gọi L = NK ∩ CDTa có L ∈ NK ⇒ L ∈ (MNK)L ∈ CD ⇒ L ∈ (ACD)Nên ML = (ACD) ∩ (MNK) = ΔΔ ∩ AD = I ⇒ I = (MNK) ∩ AD

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S. ABCD. Lấy M, N và P lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm ( nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S. ABCD. Lấy M, N và P lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm ( nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp.

   Trả lời:

   a lần lượt tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.Gọi I = MN ∩ SBTa có:Vậy I = SB ∩ (MNP).Từ đó, làm tương tự ta tìm được giao điểm của (MNP) với các cạnh còn lại.Cụ thể :Gọi J = IP ∩ SC, ta có J = SC ∩ (MNP)Gọi E = NP ∩ CD, ta có E = CD ∩ (MNP)Gọi K = JE ∩ SD, ta có K = SD ∩ (MNP)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====