Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 1) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\). Tìm điểm N thuộc đường thẳng ∆ sao cho \(MN{\rm{ }} = \sqrt 2 \).

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2; 1) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 – t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\). Tìm điểm N thuộc đường thẳng ∆ sao cho \(MN{\rm{ }} = \sqrt 2 \).

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Do N thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ của N có dạng: (2 – t; 2t).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} \)= (2 – t – 2; 2t – 1) = (–t; 2t – 1)
\(MN{\rm{ }} = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{( – t)}^2} + {{(2t – 1)}^2}} = \sqrt 2 \)
⇔ (– t)² + (2t – 1)² = 2
⇔ t² + 4t² – 4t + 1 = 2
⇔ 5t² – 4t – 1 = 0
⇔ t = 1 hoặc t = \( – \frac{1}{5}\)
Với t = 1, ta có N(1; 2)
Với t = \( – \frac{1}{5}\), ta có \(N\left( {\frac{{11}}{5}; – \frac{2}{5}} \right)\).
Vậy có hai điểm N thỏa mãn là N(1; 2) và \(N\left( {\frac{{11}}{5}; – \frac{2}{5}} \right)\).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm D(0; 2) và hai vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; – 3} \right),\overrightarrow u = \left( {1;3} \right)\). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua D và nhận \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm D(0; 2) và hai vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; – 3} \right),\overrightarrow u = \left( {1;3} \right)\).
   Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua D và nhận \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua D và nhận \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến là:
   1(x – 0) – 3(y – 2) = 0
   ⇔ x – 3y + 6 = 0
   Vậy d: x – 3y + 6 = 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua D và nhận \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua D và nhận \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua D và nhận \(\overrightarrow u \) là một vectơ chỉ phương là:
   \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 + 1.t\\y = 2 + 3.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\) (với t là tham số)
   Vậy ∆: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(1; 2), B(0; –1) và C(–2; 3). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(1; 2), B(0; –1) và C(–2; 3). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đường thẳng d qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận vectơ \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến.
   \(\overrightarrow {BC} \) = (–2 – 0; 3 + 1) = (–2; 4)
   Phương trình của đường thẳng d là:
   –2(x – 1) + 4(y – 2) = 0
   ⇔ –2x + 2 + 4y – 8 = 0
   ⇔ –2x + 4y – 6 = 0
   ⇔ x – 2y + 3 = 0
   Vậy d: x – 2y + 3 = 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(2; 3). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(2; 3). Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \).
   Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 1)
   Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 2) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) = (1; 1) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 1.t\\y = 2 + 1.t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt 5 \)của đường thẳng ∆.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt 5 \)của đường thẳng ∆.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; – 1} \right)\) nên các vectơ pháp tuyến của ∆ có dạng là \(\overrightarrow {n’} = \left( {2t; – t} \right)\). Theo giả thiết ta có:
   \(\left| {\overrightarrow {n’} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { – t} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)
   ⇔ 4t² + t² = 20
   ⇔ 5t² = 20
   ⇔ t² = 4
   ⇔ t = ±2
   Với t = 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\overrightarrow {{n_1}’} \) = (4; –2)
   Với t = – 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\overrightarrow {{n_2}’} \) = (–4; 2).
   Vậy có hai vectơ pháp tuyến thỏa mãn là \(\overrightarrow {{n_1}’} \) = (4; –2) và \(\overrightarrow {{n_2}’} \) = (–4; 2).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====