Câu hỏi:
Khai triển\({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4}\).
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)4 với a = z2 + 1 và \(b = \frac{1}{z}\).
Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)4, (a + b)3, (a + b)2 với a = z2, b = 1 để có:
\({\left( {{z^2} + 1} \right)^4} = C_4^0.{({z^2})^4} + C_4^1.{({z^2})^3}.1 + C_4^2.{({z^2})^2}{.1^2} + C_4^3.{z^2}{.1^3} + C_4^4{.1^4}\)
= z8 + 4z6 + 6z4 + 4z2 + 1
\({\left( {{z^2} + 1} \right)^3} = C_3^0.{({z^2})^3} + C_3^1.{({z^2})^2}.1 + C_3^2.{z^2}{.1^2} + C_3^3{.1^3}\)
= z6 + 3z4 + 3z2 + 1
(z2 + 1)2 = z4 + 2z2 + 1
Vậy ta có:
\({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4} = {\left[ {\left( {{z^2} + 1} \right) + \frac{1}{z}} \right]^4}\)
\( = C_4^0.{\left( {{z^2} + 1} \right)^4} + C_4^1{\left( {{z^2} + 1} \right)^3}\frac{1}{z} + C_4^2{\left( {{z^2} + 1} \right)^2}\frac{1}{{{z^2}}} + C_4^3\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + C_4^4\frac{1}{{{z^4}}}\)
\( = {\left( {{z^2} + 1} \right)^4} + 4{\left( {{z^2} + 1} \right)^3}\frac{1}{z} + 6{\left( {{z^2} + 1} \right)^2}\frac{1}{{{z^2}}} + 4\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)
\( = \left( {{z^8} + 4{z^6} + 6{z^4} + 4{z^2} + 1} \right) + 4\left( {{z^6} + 3{z^4} + 3{z^2} + 1} \right)\frac{1}{z}\)
\( + 6\left( {{z^4} + 2{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^2}}} + 4\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)
\( = {z^8} + 4{z^6} + 4{z^5} + 6{z^4} + 12{z^3} + 10{z^2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{{{z^2}}} + \frac{4}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\).
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Khai triển các đa thức
(x – 2)4;
Câu hỏi:
Khai triển các đa thức
(x – 2)4;Trả lời:
Hướng dẫn giải
(x – 2)4 = [x + (– 2)4]
= \(C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.( – 2) + C_4^2.{x^2}.{( – 2)^2} + C_4^3.x.{( – 2)^3} + C_4^4.{( – 2)^4}\)
= 1.x4 + 4.x3.(–2) + 6.x2.4 + 4.x.(–8) + 1.16
= x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- (x + 2)5;
Câu hỏi:
(x + 2)5;
Trả lời:
Hướng dẫn giải
\({(x + 2)^5} = C_5^0.{x^5} + C_5^1.{x^4}.2 + C_5^2.{x^3}{.2^2} + C_5^3.{x^2}{.2^3} + C_5^4.x{.2^4} + C_5^5{.2^5}\)
= 1.x5 + 5.x4.2 + 10.x3.4 + 10.x2.8 + 5.x.16 + 1.32
= x5 + 10x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- (2x + 3y)4
Câu hỏi:
(2x + 3y)4
Trả lời:
Hướng dẫn giải
(2x + 3y)4
= \(C_4^0.{(2x)^4} + C_4^1.{(2x)^3}.3y + C_4^2.{(2x)^2}.{(3y)^2} + C_4^3.2x.{(3y)^3} + C_4^4.{(3y)^4}\)
= 1.16x4 + 4.8x3.3y + 6.4x2.9y2 + 4.2x.27y3 + 1.81y4
= 16x4 + 96x3y + 216x2y2 + 216xy3 + 81y4.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- (2x – y)5.
Câu hỏi:
(2x – y)5.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
(2x – y)5 = [2x + (– y)5]
\( = C_5^0.{(2x)^5} + C_5^1.{(2x)^4}.( – y) + C_5^2.{(2x)^3}.{( – y)^2} + C_5^3.{(2x)^2}.{( – y)^3} + C_5^4.2x.{( – y)^4} + C_5^5.{( – y)^5}\)
= 1.32x5 + 5.16x4.(–y) + 10.8x3.y2 + 10.4x2.(–y)3 + 5.2x.y4 + 1.(–y)5
= 32x5 – 80x4y + 80x3y2 – 40x2y3 + 10xy4 – y5.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Trong khai triển của (5x – 2)5, số mũ của x được sắp xếp theo luỹ thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai.
Câu hỏi:
Trong khai triển của (5x – 2)5, số mũ của x được sắp xếp theo luỹ thừa tăng dần, hãy tìm hạng tử thứ hai.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức khai triển của (a + b)5 với a = 5x, b = –2, ta có:
(5x – 2)5
= \(C_5^0.{(5x)^5} + C_5^1.{(5x)^4}.( – 2) + C_5^2.{(5x)^3}.{( – 2)^2} + C_5^3.{(5x)^2}.{( – 2)^3} + C_5^4.5x.{( – 2)^4} + C_5^5.{( – 2)^5}\)
= 1 . 3 125x5 + 5 . 625x4.(–2) + 10 . 125x3.4 + 10 . 25x2.(–8) + 5 . 5x.16 + 1.(–32)
= 3 125x5 – 6 250x4 + 5 000x3 – 2 000x2 + 400x – 32
= – 32 + 400x – 2 000x2 + 5 000x3 – 6 250x4 + 3 125x5
Vậy, số hạng thứ hai trong khai triển theo số mũ tăng dần của x là 400x.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====