Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({b^2} – {c^2} = b\left( {b.\cos C – c.\cos B} \right)\);

B. \({b^2} – {c^2} = c\left( {b.\cos C – c.\cos B} \right)\);

C. \({b^2} – {c^2} = a\left( {b.\cos C – c.\cos B} \right)\);

Đáp án chính xác

D. \({b^2} – {c^2} = abc\left( {b.\cos C – c.\cos B} \right)\).

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.
Trong tam giác ABC, theo định lý côsin ta có:
b² = a² + c² − 2ac.cosB;
c² = a² + b² − 2ab.cosC.
Do đó ta có:
b² – c² = (a² + c² − 2ac.cosB) – (a² + b² − 2ab.cosC)
⇔ b² – c² = c² – b² – 2ac.cosB + 2ab.cosC
⇔ 2b² – 2c² = 2a(b.cosC – c.cosB)
⇔ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).
Vậy b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a = b.cos C + c.cos B.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
   Chứng minh rằng: a = b.cos C + c.cos B.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Theo định lý cô sin ta có \({b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac.\cos B\).
   \( \Rightarrow c.\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2a}}\) (1)
   Lại có \({c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.\cos C\)\( \Rightarrow b\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2a}}\) (2)
   Từ (1) và (2) cộng vế với vế ta được: \(b.\cos C + c.\cos B = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\).
   Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và \({a^2} = 2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)\). Chứng minh rằng: \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C} \right)\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và \({a^2} = 2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)\). Chứng minh rằng: \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C} \right)\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
   \( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\sin }^2}B}} = \frac{{{c^2}}}{{{{\sin }^2}C}} = \frac{{{b^2} – {c^2}}}{{{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C}}\) (1)
   Thay \({a^2} = 2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)\) vào (1) ta được:
   \(\frac{{2\left( {{b^2} – {c^2}} \right)}}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{{{b^2} – {c^2}}}{{{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C}}\)\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C}}\)
   Suy ra \({\sin ^2}A = 2\left( {{{\sin }^2}B – {{\sin }^2}C} \right)\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC thỏa mãn sin²A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A. a² = bc;

   Đáp án chính xác

   B. a² = b;

   C. a² = c;

   D. a = bc.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   Áp dụng định lý hệ quả sin ta có \(\sin A = \frac{a}{{2R}}\), \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\), \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\).
   Do đó ta có: sin²A = sinB.sinC \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = bc\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A. \(\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\);

   B. \(\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\);

   C. \(\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\);

   Đáp án chính xác

   D. \(\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{2\left( {{c^2} + {a^2} – {b^2}\,} \right)}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: C.
   Theo định lí sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
   Suy ra \(\sin A = \frac{{a.\sin C}}{c}\); \(\sin B = \frac{{b.\sin C}}{c}\).
   Lại có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}\); \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}\).
   Do đó: \(\tan A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\frac{{a.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}\)
   \(\tan B = \frac{{\sin B}}{{\cos B}} = \frac{{\frac{{b.\sin C}}{c}}}{{\frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}}}} = \frac{{2ab\sin C}}{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}\).
   Vậy \(\frac{{\tan A}}{{\tan B}} = \frac{{{c^2} + {a^2} – {b^2}}}{{{c^2} + {b^2} – {a^2}}}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N. Khẳng định nào sau đây là đúng?

   A. \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}\);

   Đáp án chính xác

   B. \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AC}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AM}}\);

   C. \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AB}}{{AM}}.\frac{{AN}}{{AC}}\);

   D. \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{MN}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   
   Diện tích tam giác AMN là: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN.\sin \widehat {MAN}\).
   Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC}\).
   Do \(\widehat {MAN} = \widehat {BAC}\) (hai góc trùng nhau)
   Nên \(\frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{AN}}{{AC}}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====