Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: KA→+KC→=0→;  GA→+GB→+GC→=0→; HA→+HD→+HC→=0→. Tính độ dài các vectơ KA→, GH→,  AG→.

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$; $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{GH},\overrightarrow{AG}$.

Trả lời:

Vì K là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$ nên K là trung điểm của AC.
Vì G là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vì H là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$ nên H là trọng tâm của tam giác ADC.
Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC, BD bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên K cũng là trung điểm của BD hay K chính là tâm của hình vuông ABCD.
Trong tam giác ABC, có BK là đường trung tuyến nên G ∈ BK và $GK=\frac{1}{3}BK$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).
Trong tam giác ADC, có DK là đường trung tuyến nên H ∈ DK và $HK=\frac{1}{3}DK$ (suy ra từ tính chất trọng tâm tam giác).
Suy ra H, K, G thẳng hàng và cùng thuộc DB.
Hình vuông ABCD cạnh a nên AC = BD = $a\sqrt{2}$.
Khi đó: AK = KC = DK = KB = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có: GH = GK + KH =
$\frac{1}{3}BK+\frac{1}{3}DK=\frac{1}{3}.(\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a\sqrt{2}}{2})=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Lại có: $GK=\frac{1}{3}BK=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$.
Xét tam giác AKG vuông tại K (AC ⊥ BD tại K), áp dụng định lí Pythagore ta có:
AG² = AK² + KG² $={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)}^2=\frac{5a}{9}$
Suy ra AG = $\frac{a\sqrt{5}}{3}$.
Vậy ta tính được độ dài các vectơ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{GH},\overrightarrow{AG}$ là:
$\left|\overrightarrow{KA}\right|=KA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\left|\overrightarrow{GH}\right|=GH=\frac{a\sqrt{2}}{3}$
$\left|\overrightarrow{AG}\right|=AG=\frac{a\sqrt{5}}{3}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Quan sát hình ảnh hai người cùng kéo một chiếc thuyền theo hai hướng khác nhau (Hình 48). Tuy nhiên, chiếc thuyền lại không di chuyển theo cùng hướng với một trong hai người đó mà di chuyển theo hướng khác. Tại sao chiếc thuyền lại di chuyển như vậy?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Quan sát hình ảnh hai người cùng kéo một chiếc thuyền theo hai hướng khác nhau (Hình 48). Tuy nhiên, chiếc thuyền lại không di chuyển theo cùng hướng với một trong hai người đó mà di chuyển theo hướng khác.
   
   Tại sao chiếc thuyền lại di chuyển như vậy?

   Trả lời:

   Chiếc thuyền di chuyển theo hướng hợp lực của hai người. Chi tiết xem Luyện tập 2 trang 84.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Một vật dịch chuyển từ A đến B sau khi chịu tác động của lực F1→ . Vật tiếp tục dịch chuyển từ B đến C sau khi chịu tác động của lực F2→   (Hình 49). Sau khi chịu tác động của hai lực F1→,  F2→ , vật đó dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một vật dịch chuyển từ A đến B sau khi chịu tác động của lực $\overrightarrow{F_1}$ . Vật tiếp tục dịch chuyển từ B đến C sau khi chịu tác động của lực $\overrightarrow{F_2}$   (Hình 49). Sau khi chịu tác động của hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ , vật đó dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí nào?
   

   Trả lời:

   Sau khi chịu tác động của lực $\overrightarrow{F_1}$ , vật dịch chuyển từ vị trí A đến B.
   Sau khi chịu tác động của lực $\overrightarrow{F_2}$ , vật dịch chuyển từ ví trí B đến C.
   Do đó sau khi chịu tác động của hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ , vật dịch chuyển từ A đến C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hai vectơ a→,  b→  . Lấy một điểm A tùy ý. a) Vẽ AB→=a→,  BC→=b→   (Hình 50). b) Tổng của hai vectơ a→  và b→  bằng vectơ nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  . Lấy một điểm A tùy ý.
   a) Vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$   (Hình 50).
   b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  bằng vectơ nào?

   Trả lời:

    a)

   

   b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$  bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh PB→+MC→=AN→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$ .

   Trả lời:

   

   Ta có: M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$ .
   Khi đó: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{PM}$  (1).
   Lại có P, M lần lượt là trung điểm của AB và BC nên PM là đường trung bình của tam giác ABC nên PM // = $\frac{1}{2}$ AC.
   Mà $AN=\frac{1}{2}AC$   (do N là trung điểm của AC)
   Nên PM // = AN.
   Khi đó:  $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AN}$ (2).
   Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh: a) Hai vectơ AD→  và BC→ . b) Vectơ tổng AB→+AD→  và vectơ AC→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:
   a) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$  và $\overrightarrow{BC}$ .
   b) Vectơ tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$  và vectơ $\overrightarrow{AC}$ .
   

   Trả lời:

   a) Ta có ABCD là hình bình hành nên AD // = BC.
   Do đó: $\overrightarrow{AD}$  = $\overrightarrow{BC}$.
   b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .
   Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====