Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ AC→ và BD→.

Câu hỏi:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = $\sqrt{2}$, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.

A. 89°; 

B. 92°;  

C. 109°; 

Đáp án chính xác

D. 91°.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.
Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.
Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$.
$=AC.AD.\cos \widehat{CAD}-AC.AB.\cos \widehat{CAB}$
$=AC.AD.\frac{AD}{AC}-AC.AB.\frac{AB}{AC}$
$=A{D}^2-A{B}^2=1-2=-1$.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.
Tam giác ACD vuông tại D: $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2$ (Định lý Pytago)
$\iff A{C}^2=1^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=3$
$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$.
Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$.
Lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$
$\iff -1=\sqrt{3}.\sqrt{3}.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)$
$\iff \cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)=\frac{-1}{3}$.
$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)\approx 109°{28}^{‘}$.
Vậy ta chọn đáp án C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính AH→,  BA→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}\right)$.

   A. 30°;        

   B. 60°; 

   C. 120°; 

   D. 150°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   
   Vẽ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}$.
   Khi đó ta có $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BA}\right)=\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AE}\right)=\widehat{HAE}=\alpha$.
   Tam giác ABC đều có AH là đường cao.
   Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.
   Tam giác ABC đều, suy ra $\widehat{BAC}=60°$.
   Do đó $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60°=30°$.
   Ta có: $\widehat{HAE}+\widehat{HAB}=180°$ (hai góc kề bù)
   $\iff \widehat{HAE}=180°-30°=150°$.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho a→ và b→ là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0→. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\overrightarrow{0}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

   A. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

   C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=–1$

   D. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=–\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: A
   Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.
   Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\overrightarrow{0}$ nên $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0°$, suy ra $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$.
   Ta suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|$
   Vậy ta chọn đáp án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng OA→+OB→.AB→=0 là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AB}=0$ là:

   A. Tam giác OAB đều;

   B. Tam giác OAB cân tại O;

   Đáp án chính xác

   C. Tam giác OAB vuông tại O;

   D. Tam giác OAB vuông cân tại O.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Ta có $\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AB}=0\iff \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right).\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=0$
   $\iff {\overrightarrow{OB}}^2-{\overrightarrow{OA}}^2=0$
   $\iff O{B}^2-O{A}^2=0$
   ⇔ OB = OA.
   Do đó tam giác OAB cân tại O.
   Vậy ta chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=3, b→=2 và a→.b→=−3. Xác định góc α giữa hai vectơ a→ và b→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $\left|\overrightarrow{a}\right|=3$, $\left|\overrightarrow{b}\right|=2$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-3$. Xác định góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

   A. α = 30°;  

   B. α = 45°;  

   C. α = 60°;  

   D. α = 120°.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: D
   Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$
   $\iff \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{-3}{3.2}=\frac{-1}{2}$
   $\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=120°$.
   Vậy ta chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

   A. $\overrightarrow{MN}\left(\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}\right)=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}$

   B. $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$

   Đáp án chính xác

   C. $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{MN}$

   D. $\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PQ}\right)\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PQ}\right)=M{N}^2-P{Q}^2$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đáp án đúng là: B
   Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
   Đáp án B sai. Sửa lại: $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$.
   Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
   Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====