SBT Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Bài 35 trang 57 SBT Toán 9 tập 2: Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức Vi-ét:

a) $3x^2-2x-5=0$

b) $5x^2+2x-16=0$

c) $\frac{1}{3}{x}^2+2x-\frac{16}{3}=0$

d) $\frac{1}{2}{x}^2-3x+2=0$

Phương pháp giải:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\prime }+\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$; $x_2=\frac{-b^{\prime }-\sqrt{{△}^{\prime }}}{a}$

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b^{\prime }}{a}$.

+ Nếu ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0$ thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

a)

$3x^2-2x-5=0$

Hệ số $a=3,b=-2,b^{\prime }=-1,c=-5$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-1\right)}^2-3.\left(-5\right)=16>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{16}=4\\ & x_1=\frac{1+4}{3}=\frac{5}{3}\\ & x_2=\frac{1-4}{3}=-1\\ & x_1+x_2=\frac{5}{3}+\left(-1\right)=\frac{2}{3}\\ & x_1{x}_2=\frac{5}{3}.\left(-1\right)=\frac{-5}{3}\end{array}$

b)

$5x^2+2x-16=0$

Hệ số $a=5,b=2,b^{\prime }=1,c=-16$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1^2-5.\left(-16\right)=81>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{81}=9\\ & x_1=\frac{-1+9}{5}=\frac{8}{5}\\ & x_2=\frac{-1-9}{5}=-2\\ & x_1+x_2=\frac{8}{5}+\left(-2\right)=\frac{-2}{5}\\ & x_1{x}_2=\frac{8}{5}.\left(-2\right)=\frac{-16}{5}\end{array}$

c)

$\frac{1}{3}{x}^2+2x-\frac{16}{3}=0$

$\iff x^2+6x-16=0$

Hệ số $a=1,b=6,b^{\prime }=3,c=-16$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-1.\left(-16\right)=25>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{25}=5\\ & x_1=\frac{-3+5}{1}=2\\ & x_2=\frac{-3-5}{1}=-8\\ & x_1+x_2=2+\left(-8\right)=-6\\ & x_1{x}_2=2.\left(-8\right)=-16\end{array}$

 d)

$\frac{1}{2}{x}^2-3x+2=0$

$\iff x^2-6x+4=0$

Hệ số $a=1,b=-6,b^{\prime }=-3,c=4$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.4=9-4=5>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{5}\\ & x_1=\frac{3-\sqrt{5}}{1}=3-\sqrt{5}\\ & x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{1}=3+\sqrt{5}\\ & x_1+x_2=3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}=6\end{array}$

$x_1{x}_2=\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)$$=9-5=4$.

Bài 36 trang 57 SBT Toán 9 tập 2: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình:

a) $2x^2-7x+2=0$

b) $2x^2+9x+7=0$

c) $\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+4x+2+\sqrt{2}=0$

d) $1,4x^2-3x+1,2=0$

e) $5x^2+x+2=0$

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

a)

$2x^2-7x+2=0$

Hệ số $a=2;b=-7;c=2$

$\mathrm{\Delta }={\left(-7\right)}^2-\mathrm{4.2.2}$$=49-16=33>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{7}{2}$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{2}=1$

 b)

$2x^2+9x+7=0$

Hệ số $a=2;b=9;c=7$

$\mathrm{\Delta }=9^2-\mathrm{4.2.7}=25>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{9}{2};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{2}$

c)

$\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+4x+2+\sqrt{2}=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2^2-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)$

$=4-4-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$

$=2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-4}{2-\sqrt{3}}$$=-4\left(2+\sqrt{3}\right)$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$=\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}$$=4+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+\sqrt{6}$

 d)

$1,4x^2-3x+1,2=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-3\right)}^2-4.1,4.1,2$$=9-6,72=2,28>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1,4}=\frac{30}{14}=\frac{15}{7}\\ & x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{1,2}{1,4}=\frac{6}{7}\end{array}$

e)

$5x^2+x+2=0$

$\mathrm{\Delta }=1-\mathrm{4.5.2}=1-40=-39<0$

Phương trình vô nghiệm, không có tổng và tích của các nghiệm.

Bài 37 trang 57 SBT Toán 9 tập 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) $7x^2-9x+2=0$

b) $23x^2-9x-32=0$

c) $1975x^2+4x-1979=0$

d) $\left(5+\sqrt{2}\right)x^2+\left(5-\sqrt{2}\right)x-10$$=0$

e) $\frac{1}{3}{x}^2-\frac{3}{2}x-\frac{11}{6}=0$

f) $31,1x^2-50,9x+19,8=0$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

– Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm $x_1=1$, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

– Nếu phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$  có $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm là $x_1=-1$, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{-c}{a}$.

Lời giải:

a)

$7x^2-9x+2=0$

Hệ số $a=7,b=-9,c=2$

Ta có: $a+b+c=7+\left(-9\right)+2=0$

Phương trình có hai nghiệm là: $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{7}$.

b)

$23x^2-9x-32=0$

Hệ số: $a=23,b=-9,c=-32$

Ta có $a-b+c=23-\left(-9\right)+\left(-32\right)=0$

Phương trình có hai nghiệm là: $x_1=-1;x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{-32}{23}=\frac{32}{23}$

 c)

$1975x^2+4x-1979=0$

Hệ số: $a=1975,b=4,c=-1979$

Ta có: $a+b+c=1975+4+\left(-1979\right)=0$

Phương trình có hai nghiệm là: $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1979}{1975}$

 d)

$\left(5+\sqrt{2}\right)x^2+\left(5-\sqrt{2}\right)x-10$$=0$

Hệ số $a=5+\sqrt{2},b=5-\sqrt{2},c=-10$

Ta có: $a+b+c=5+\sqrt{2}+5-\sqrt{2}$$+\left(-10\right)=0$)

Phương trình có hai nghiệm là: $x_1=1;$ $x_2=\frac{c}{a}=\frac{-10}{5+\sqrt{2}}=-\frac{10.\left(5-\sqrt{2}\right)}{23}$

e)

$\frac{1}{3}{x}^2-\frac{3}{2}x-\frac{11}{6}=0$

Hệ số: $a=\frac{1}{3},b=-\frac{3}{2},c=-\frac{11}{6}$

Ta có: 

$a-b+c=\frac{1}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)+\left(-\frac{11}{6}\right)$

$=\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-\frac{11}{6}=\frac{2}{6}+\frac{9}{6}-\frac{11}{6}=0$

Phương trình có hai nghiệm là: $x_1=-1;$ $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{-11}{6}:\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.\frac{3}{1}=\frac{11}{2}$

f)

$31,1x^2-50,9x+19,8=0$

Hệ số: $a=31,1;b=-50,9;c=19,8$

Ta có: $a+b+c=31,1+\left(-50,9\right)$$+19,8=0$

Phương trình có hai nghiệm là: 

$x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{19,8}{31,1}=\frac{198}{311}$

Bài 38 trang 57 SBT Toán 9 tập 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) $x^2-6x+8=0$

b) $x^2-12x+32=0$

c) $x^2+6x+8=0$

d) $x^2-3x-10=0$

e) $x^2+3x-10=0$

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

a)

$x^2-6x+8=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-3\right)}^2-1.8=9-8=1>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=6\\ x_1{x}_2=8\end{array}\iff x_1=2;x_2=4$

b)

$x_2-12x+32=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-6\right)}^2-1.32$$=36-32=4>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=12\\ x_1{x}_2=32\end{array}\iff x_1=4;x_2=8$

 c)

$x^2+6x+8=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-1.8=9-8=1>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-6\\ x_1{x}_2=8\end{array}$ $\iff x_1=-2;x_2=-4$

 d)

$x^2-3x-10=0$

Ta có: $a=1;c=-10\Rightarrow ac<0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=3\\ x_1{x}_2=-10\end{array}\iff x_1=-2;x_2=5$

 e)

$x^2+3x-10=0$

Ta có $a=1;c=-10\Rightarrow ac<0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-3\\ x_1{x}_2=-10\end{array}\iff x_1=2;x_2=-5$

Bài 39 trang 57 SBT Toán 9 tập 2:

a) Chứng tỏ rằng phương trình $3x^2+2x-21=0$ có một nghiệm là $-3$. Hãy tìm nghiệm kia.

b) Chứng tỏ rằng phương trình $-4x^2-3x+115=0$ có một nghiệm là $5$. Tìm nghiệm kia.

Phương pháp giải:

– Thay $x=-3$ vào vế trái của phương trình đã cho, nếu cho kết quả bằng $0$ thì $x=-3$ là nghiệm của phương trình đã cho.

– Theo hệ thức Vi -ét ta có $x_1.x_2=\frac{c}{a}$, biết $x_1=-3$ từ đó ta tính được $x_2$.

Lời giải:

a)

Thay $x=-3$ vào vế trái của phương trình ta được:

$3.{\left(-3\right)}^2+2.\left(-3\right)-21$$=27-6-21=0$

Vậy $x=-3$ là nghiệm của phương trình $3x^2+2x-21=0$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1{x}_2=\frac{-21}{3}$

$\Rightarrow -3.x_2=\frac{-21}{3}\iff x_2=\frac{7}{3}$

b)

Thay $x=5$ vào vế trái của phương trình ta được:

$-{4.5}^2-3.5+115$$=-100-15+115=0$

Vậy $x=5$ là nghiệm của phương trình $-4x^2-3x+115=0$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1{x}_2=\frac{115}{-4}$

$\Rightarrow 5x_2=-\frac{115}{4}\iff x_2=-\frac{23}{4}$.

Bài 40 trang 57 SBT Toán 9 tập 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm $x_2$ của phương trình rồi tìm giá trị của $m$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình $x^2+mx-35=0$, biết nghiệm $x_1=7$.

b) Phương trình $x^2-13x+m=0,$ biết nghiệm $x_1=12,5$.

c) Phương trình $4x^2+3x-m^2+3m=0,$ biết nghiệm $x_1=-2$.

d) Phương trình $3x^2-2\left(m-3\right)x+5=0,$ biết nghiệm $x_1=\frac{1}{3}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

a)

Phương trình $x^2+mx-35=0$ có nghiệm $x_1=7$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1{x}_2=-35$

$\Rightarrow 7x_2=-35\iff x_2=-5$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-m\\ & \Rightarrow -m=7+\left(-5\right)\\ & \iff -m=2\\ & \iff m=-2\end{array}$

Vậy $m=-2$ thì phương trình $x^2+mx-35=0$ có nghiệm $x_1=7$ và nghiệm $x_2=-5$.

b)

Phương trình $x^2-13x+m=0$ có nghiệm $x_1=12,5$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1+x_2=13$

$\Rightarrow 12,5+x_2=13\iff x_2=0,5$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1{x}_2=m$ $\Rightarrow m=12,5.0,5=6,25$

Vậy $m=6,25$ thì phương trình $x^2-13x+m=0$ có nghiệm $x_1=12,5$ và nghiệm $x_2=0,5$.

 c)

Phương trình $4x^2+3x-m^2+3m=0$ có nghiệm $x_1=-2$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1+x_2=-\frac{3}{4}$

$\Rightarrow -2+x_2=-\frac{3}{4}$

$\iff x_2=-\frac{3}{4}+2=\frac{5}{4}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1{x}_2=\frac{-m^2+3m}{4}$

$\Rightarrow -2.\frac{5}{4}=\frac{-m^2+3m}{4}$

$\iff m^2-3m-10=0$

${\mathrm{\Delta }}_m={\left(-3\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-10\right)$$=9+40=49>0$ 

$\Rightarrow {\sqrt{\mathrm{\Delta }}}_m=\sqrt{49}=7$

$m_1=\frac{3+7}{2.1}=5$

$m_2=\frac{3-7}{2.1}=-2$

Vậy $m=5$ hoặc $m=-2$ thì phương trình $4x^2+3x-m^2+3m=0$ có nghiệm $x_1=-2$ và nghiệm $x_2=\frac{5}{4}$.

 d)

Phương trình $3x^2-2\left(m-3\right)x+5=0$ có nghiệm $x_1=\frac{1}{3}$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1{x}_2=\frac{5}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}{x}_2=\frac{5}{3}\iff x_2=5$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1+x_2=\frac{2\left(m-3\right)}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}+5=\frac{2\left(m-3\right)}{3}$

$\iff 2\left(m-3\right)=16$

$\iff m-3=8\iff m=11$

Vậy $m=11$ thì phương trình $3x^2-2\left(m-3\right)x+5=0$ có nghiệm $x_1=\frac{1}{3}$ và nghiệm $x_2=5$.

Bài 41 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số $u$ và $v$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $u+v=14;uv=40$

b) $u+v=-7;uv=12$

c) $u+v=-5;uv=-24$

d) $u+v=4,uv=19$

e) $u-v=10,uv=24$

f) $u^2+v^2=85,uv=18$

Phương pháp giải:

Áp dụng: Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ và $S^2-4P\ge 0$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: $x^2-Sx+P=0$. 

Lời giải:

a)

Hai số $u$ và $v$ có $u+v=14,uv=40$ nên $u,v$ là nghiệm của phương trình:

$x^2-14x+40=0$ 

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-7\right)}^2-1.40=49-40=9>0$

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{9}=3$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{7+3}{1}=10;x_2=\frac{7-3}{1}=4$

Vậy $u=10;v=4$ hoặc $u=4;v=10$.

 b)

Hai số $u$ và $v$ có $u+v=-7$ và $uv=12$ nên $u,v$ là nghiệm của phương trình $x^2+7x+12=0$

$\mathrm{\Delta }=7^2-\mathrm{4.1.12}=49-48=1>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{1}=1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-7+1}{2.1}=-3$

$x_2=\frac{-7-1}{2.1}=-4$

Vậy $u=-3;v=-4$ hoặc $u=-4;v=-3.$

 c)

Hai số $u$ và $v$ có $u+u=-5,uv=-24$ nên $u,v$ là nghiệm của phương trình $x^2+5x-24=0$

$\mathrm{\Delta }=5^2-\mathrm{4.1.}\left(-24\right)=25+96$$=121>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{121}=11$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+11}{2.1}=3$

$x_2=\frac{-5-11}{2.1}=-8$

Vậy $u=3;v=-8$ hoặc $u=-8;v=3$.

d)

Hai số $u$ và $v$ có $u+v=4,uv=19$ nên $u,v$ là nghiệm của phương trình $x^2-4x+19=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-2\right)}^2-1.19=4-19$$=-15<0$

Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của $u$ và $v$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

e)

Hai số $u$ và $v$ có $u-v=10$ và $uv=24$ suy ra $u+(-v)=10$ và $u(-v)=-24$ nên hai số $u$ và $-v$ là nghiệm của phương trình $x^2-10x-24=0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(-5\right)}^2-1.\left(-24\right)=25+24$$=49>0$ 

$\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{49}=7$ 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{5+7}{1}=12$

$x_2=\frac{5-7}{1}=-2$

$\Rightarrow u=12;-v=-2$ hoặc $u=-2;-v=12$

Vậy $u=12;v=2$ hoặc $u=-2;v=-12$.

f)

Hai số $u$ và $v$ có $u^2+v^2=85$ và $uv=18$ suy ra $u^2{v}^2=324$ nên hai số $u^2$ và $v^2$ là nghiệm của phương trình $x^2-85x+324=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(-85\right)}^2-\mathrm{4.1.324}$$=7225-1296=5929>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{5929}=77$ 

$x_1=\frac{85+77}{2.1}=81$

$x_2=\frac{85-77}{2.1}=4$

$\Rightarrow u^2=81;v^2=4$ hoặc $u^2=4;v^2=81$

$\Rightarrow u=\pm 9;v=\pm 2$ hoặc $u=\pm 2;v=\pm 9$.

Vì $uv=18$ nên $u$ và $v$ cùng dấu, do đó ta có:

– Nếu $u=9$ thì $v=2$

– Nếu $u=-9$ thì $v=-2$

– Nếu $u=2$ thì $v=9$

– Nếu $u=-2$ thì $v=-9$.

Bài 42 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) $3$ và $5$;

b) $-4$ và $7$;

c) $-5$ và $\frac{1}{3}$;

d) $1,9$ và $5,1$;

e) $4$ và $1-\sqrt{2}$;

f) $3-\sqrt{5}$ và $3+\sqrt{5}$

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ có dạng: $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$.

Lời giải:

a)

Hai số $3$ và $5$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(x-3\right)\left(x-5\right)=0\\ & \iff x^2-5x-3x+15=0\\ & \iff x^2-8x+15=0\end{array}$

 b)

Hai số $-4$ và $7$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(x+4\right)\left(x-7\right)=0\\ & \iff x^2-7x+4x-28=0\\ & \iff x^2-3x-28=0\end{array}$

 c)

Hai số $-5$ và $\frac{1}{3}$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(x+5\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)=0\\ & \iff x^2-\frac{1}{3}x+5x-\frac{5}{3}=0\\ & \iff 3x^2+14x-5=0\end{array}$

 d)

Hai số $1,9$ và $5,1$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(x-1,9\right)\left(x-5,1\right)=0\\ & \iff x^2-5,1x-1,9x+9,69=0\\ & \iff x^2-7x+9,69=0\end{array}$

e)

Hai số $4$ và $1-\sqrt{2}$ là nghiệm của phương trình:

$\left(x-4\right)\left[x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right]=0$

$\iff \left(x-4\right)\left(x-1+\sqrt{2}\right)=0$

$\iff x^2-x+\sqrt{2}x-4x+4-4\sqrt{2}=0$

$\iff x^2-\left(5-\sqrt{2}\right)x+4-4\sqrt{2}=0$

 f)

Hai số $3-\sqrt{5}$ và $3+\sqrt{5}$ là nghiệm của phương trình:

$\left[x-\left(3-\sqrt{5}\right)\right]\left[x-\left(3+\sqrt{5}\right)\right]=0$ 

$\iff x^2-\left(3+\sqrt{5}\right)x-\left(3-\sqrt{5}\right)x$$+\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)=0$

$\iff x^2-6x+4=0$.

Bài 43 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình $x^2+px-5=0$ có nghiệm là $x_1;x_2$. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) $–x_1$ và $-x_2$.

b) $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$

Phương pháp giải:

Áp dụng:

* Hệ thức Vi-ét:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

* Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ có dạng: $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$.

Lời giải:

a)

Phương trình $x^2+px-5=0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 

$\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-\frac{p}{1}=-p\\ & x_1{x}_2=\frac{-5}{1}=-5\end{array}$    (1)

Hai số $-x_1$ và $-x_2$ là nghiệm của phương trình:

$\left[x-\left(-x_1\right)\right]\left[x-\left(-x_2\right)\right]=0$

$\iff \left(x+x_1\right)\left(x+x_2\right)=0$

$\iff x^2+x_{2}x+x_{1}x+x_1{x}_2=0$

$\iff x^2+\left(x_1+x_2\right)x+x_1{x}_2=0(2)$

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm là: $x^2-px-5=0$

 b)

Phương trình $x^2+px-5=0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\begin{array}{rl}& x_1+x_2=-\frac{p}{1}=-p\\ & x_1{x}_2=\frac{-5}{1}=-5\end{array}$    (1)

Hai số $\frac{1}{x_1}$ và $\frac{1}{x_2}$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{rl}& \left(x-\frac{1}{x_1}\right)\left(x-\frac{1}{x_2}\right)=0\\ & \iff x^2-\frac{1}{x_2}x-\frac{1}{x_1}x+\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}=0\\ & \iff x^2-\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)x+\frac{1}{x_1{x}_2}=0\\ & \iff x^2-\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}x+\frac{1}{x_1{x}_2}=0(3)\end{array}$

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm là:

$\begin{array}{rl}& x^2-\frac{-p}{-5}x+\frac{1}{-5}=0\\ & \iff x^2-\frac{p}{5}x-\frac{1}{5}=0\\ & \iff 5x^2-px-1=0\end{array}$

Bài 44 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình $x^2-6x+m=0.$ Tính giá trị của $m$, biết rằng phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1-x_2=4.$
Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

Phương trình $x^2-6x+m=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{-6}{1}=6$

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=6\\ x_1-x_2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}2x_1=10\\ x_1-x_2=4\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{x}_1=5\\ 5-x_2=4\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_1=5\\ x_2=1\end{array}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $x_1{x}_2=\frac{m}{1}=m\Rightarrow m=5.1=5$

Vậy $m=5$ thì phương trình $x^2-6x+m=0$ có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện $x_1-x_2=4.$

Bài tập bổ sung (trang 58,59 SBT Toán 9)

Bài 6.1 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0).$

Điều nào sau đây đúng?

A) $x_1+x_2=\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

B) $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=-\frac{c}{a}$

C) $x_1+x_2=\frac{b}{a},x_1{x}_2=-\frac{c}{a}$

D) $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

$x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

Chọn D.

Bài 6.2 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2+px+q=0.$ Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_1+x_2;x_1{x}_2$

Phương pháp giải:

Phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ có dạng: $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)=0$.

Lời giải:

Giả sử $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình: $x^2+px+q=0$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{p}{1}=-p;x_1{x}_2=\frac{q}{1}=q$

Phương trình có hai nghiệm là $x_1+x_2$ và $x_1{x}_2$ tức là phương trình có hai nghiệm là $-p$ và $q.$

Hai số $-p$ và $q$ là nghiệm của phương trình.

$\begin{array}{rl}& \left(x+p\right)\left(x-q\right)=0\\ & \iff x^2-qx+px-pq=0\\ & \iff x^2+\left(p-q\right)x-pq=0\end{array}$

Phương trình cần tìm là: $x^2+\left(p-q\right)x-pq=0$.

Bài 6.3 trang 58 SBT Toán 9 tập 2: Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức $a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$ thì nó phân tích được thành

$a{x}^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$

Áp dụng:

Phân tích các tam thức sau thành tích:

a) $x^2-11x+30$

b) $3x^2+14x+8$

c) $5x^2+8x-4$

d) $x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}$

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

– Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

Tam thức bậc hai: $a{x}^2+bx+c$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ nên phương trình: $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a};x_1{x}_2=\frac{c}{a}(1)$

Lại có: $a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$   (2) 

Từ (1) và (2) suy ra:

$\begin{array}{rl}& a{x}^2+bx+c\\ & =a\left[x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1{x}_2\right]\\ & =a\left[x^2-x_{1}x-x_{2}x+x_1{x}_2\right]\\ & =a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]\\ & =a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\end{array}$

Áp dụng:

a) 

$\begin{array}{rl}& x^2-11x+30=0\\ & \mathrm{\Delta }={\left(-11\right)}^2-\mathrm{4.1.30}=1>0\\ & \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{1}=1\\ & x_1=\frac{11+1}{2.1}=6\\ & x_2=\frac{11-1}{2.1}=5\end{array}$

Ta có: $x^2-11x+30=\left(x-6\right)\left(x-5\right)$

b)

$\begin{array}{rl}& 3x^2+14x+8=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=7^2-3.8=49-24=25>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{25}=5\\ & x_1=\frac{-7+5}{3}=-\frac{2}{3}\\ & x_2=\frac{-7-5}{3}=-4\end{array}$

Ta có: $3x^2+14x+8=3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+4\right)$$=\left(3x+2\right)\left(x+4\right)$

c)

$\begin{array}{rl}& 5x^2+8x-4=0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4^2-5.\left(-4\right)=36>0\\ & \sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{36}=6\\ & x_1=\frac{-4-6}{5}=-2\\ & x_2=\frac{-4+6}{5}=\frac{2}{5}\end{array}$

Ta có: $5x^2+8x-4=5\left(x-\frac{2}{5}\right)\left(x+2\right)$$=\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$.

d) $x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}=0$

$\mathrm{\Delta }={\left[-\left(1+2\sqrt{3}\right)\right]}^2$$-\mathrm{4.1.}\left(-3+\sqrt{3}\right)$

$=1+4\sqrt{3}+12+12-4\sqrt{3}$$=25>0$

$\sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

$x_1=\frac{1+2\sqrt{3}+5}{2.1}=3+\sqrt{3}$ 

$x_2=\frac{1+2\sqrt{3}-5}{2.1}=\sqrt{3}-2$

Ta có: $x^2-\left(1+2\sqrt{3}\right)x-3+\sqrt{3}$$=\left[x-\left(3+\sqrt{3}\right)\right]\left[x-\left(\sqrt{3}-2\right)\right]$ $=\left(x-3-\sqrt{3}\right)\left(x-\sqrt{3}+2\right)$

Bài 6.4 trang 59 SBT Toán 9 tập 2: Cho phương trình

$\left(2m-1\right)x^2-2\left(m+4\right)x+5m+2$$=0(m\ne \frac{1}{2}).$

a) Tìm giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm $x_1,x_2$, hãy tính tổng $S$ và tích $P$ của hai nghiệm theo $m.$

c) Tìm hệ thức giữa $S$ và $P$ sao cho trong hệ thức này không có $m.$

Phương pháp giải:

Sử dụng:

– Phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và $b=2b^{\prime }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b{}^{\prime 2}-ac$ có nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$.

– Hệ thức Vi-ét:

Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}& & \\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}& & \end{array}$

Lời giải:

Phương trình: $\left(2m-1\right)x^2-2\left(m+4\right)x+5m+2$$=0(m\ne \frac{1}{2})$             (1)

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left[-\left(m+4\right)\right]}^2$$-\left(2m-1\right)\left(5m+2\right)$ 

$=m^2+8m+16-10m^2-4m+5m$$+2$

$=-9m^2+9m+18$

$=-9\left(m^2-m-2\right)$

$=-9(m^2-2m+m-2)$

$=-9[m(m-2)+m-2]$

$=-9\left(m-2\right)\left(m+1\right)$

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\ge 0\iff -9\left(m-2\right)\left(m+1\right)\ge 0$

$\iff \left(m-2\right)\left(m+1\right)\le 0$

$\iff \{\begin{array}{c}m-2\ge 0\\ m+1\le 0\end{array}$  hoặc $\{\begin{array}{c}m-2\le 0\\ m+1\ge 0\end{array}$

TH1:

$\{\begin{array}{c}m-2\ge 0\\ m+1\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\ge 2\\ m\le -1\end{array}$ vô nghiệm

TH2:

$\{\begin{array}{c}m-2\le 0\\ m+1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\le 2\\ m\ge -1\end{array}$ $\iff -1\le m\le 2$

Vậy $-1\le m\le 2$ thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1+x_2=\frac{2\left(m+4\right)}{2m-1};$ $x_1{x}_2=\frac{5m+2}{2m-1}$

c) Theo câu b ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2\left(m+4\right)}{2m-1}\\ x_1{x}_2=\frac{5m+2}{2m-1}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m+8}{2m-1}\\ x_1{x}_2=\frac{\frac{5}{2}.2m-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}}{2m-1}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m-1+9}{2m-1}\\ x_1{x}_2=\frac{\frac{5}{2}\left(2m-1\right)+\frac{9}{2}}{2m-1}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m-1}{2m-1}+\frac{9}{2m-1}\\ x_1{x}_2=\frac{\frac{5}{2}\left(2m-1\right)}{2m-1}+\frac{\frac{9}{2}}{2m-1}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1+9.\frac{1}{2m-1}\\ x_1{x}_2=\frac{5}{2}+\frac{9}{2}.\frac{1}{2m-1}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=1+9.\frac{1}{2m-1}\\ 2x_1{x}_2=5+9.\frac{1}{2m-1}\end{array}\\ \Rightarrow 2x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)\\ =5+9.\frac{1}{2m-1}-\left(1+9.\frac{1}{2m-1}\right)\\ \iff 2x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)=4\end{array}$ 

Vậy $2x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)=4$ là biểu thức không phụ thuộc vào $m$ cần tìm.