Giải SBT Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bài 25 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lời giải:
a)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
b)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
c)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
d)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
e)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
f)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Bài 26 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lời giải:
a)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
b)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Bài 27 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình:
a)
b)
c)
d)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lời giải:
a)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
b)
Phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c)
Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
d)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Bài 28 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Tìm hai số và sao cho và đường thẳng đi qua điểm
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Đường thẳng đi qua điểm .
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lời giải:
Vì đường thẳng đi qua điểm nên
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Vậy
Bài 29 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của và để đường thẳng đi qua hai điểm
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Đường thẳng đi qua điểm .
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Lời giải:
Vì đường thẳng đi qua nên
Vì đường thẳng đi qua nên
Khi đó và là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy
Bài 30 trang 11 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng
;
cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ
+Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần)
+Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp cộng đại số)
+Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải:
a)
Cách :
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Cách : Đặt
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
Suy ra:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
b)
Cách :
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Cách : Đặt
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
Suy ra:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Bài 31 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của để nghiệm của hệ phương trình
cũng là nghiệm của phương trình
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Biến đổi hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.
– Thay nghiệm của hệ phương trình vừa tìm được vào phương trình chứa tham số để tìm .
Lời giải:
Giải hệ phương trình:
Để là nghiệm của phương trình ta thay vào phương trình trên ta được:
Vậy với thì nghiệm của hệ cũng là nghiệm của phương trình:
Bài 32 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của để đường thẳng : đi qua giao điểm của hai đường thẳng và
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Hai đường thẳng : và : cắt nhau tại điểm thì tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình:
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
+ Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
– Đường thẳng đi qua điểm .
Lời giải:
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:
Do đó
Vì đường thẳng đi qua nên
Vậy với thì đường thẳng đi qua giao điểm của và .
Bài 33 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Tìm giá trị của để ba đường thẳng sau đồng quy:
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Tìm tọa độ giao điểm của và
– Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng phải đi qua giao điểm của và .
– Đường thẳng đi qua điểm
Lời giải:
Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:
Do đó
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng phải đi qua giao điểm của và .
Khi đó ta thay vào phương trình ta được:
Vậy với thì ba đường thẳng đồng quy tại điểm
Bài 34* trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Chọn trong hệ đã cho hai phương trình lập thành một hệ có nghiệm duy nhất. Giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số ta tìm được nghiệm .
– Nếu cũng là nghiệm của phương trình còn lại thì đó là nghiệm của hệ đã cho.
– Nếu không phải là nghiệm của phương trình còn lại thì hệ đã cho vô nghiệm.
Lời giải:
a)
Ta giải hệ phương trình:
Thay và vào phương trình còn lại ta được:
Do đó cặp số là nghiệm của phương trình .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
b)
Ta giải hệ phương trình:
Thay ; vào phương trình còn lại ta được:
Do đó cặp số không phải là nghiệm của phương trình .
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập bổ sung (trang 12,13 SBT Toán 9)
Bài 4.1 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình:
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)
+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải:
Điều kiện: .
Đặt
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
Suy ra:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
Điều kiện:
Đặt
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
Suy ra:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
Bài 4.2 trang 12 SBT Toán 9 tập 2: Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm và
Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm và
Đồ thị đi qua điểm và cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức trong đó là những số cho trước và
– Đường thẳng đi qua điểm .
– Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Lời giải:
Hàm số bậc nhất có dạng
Đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có
Đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có
Khi đó và là nghiệm của hệ phương trình:
Ta thấy thoả mãn điều kiện
Vậy hàm số cần tìm là
Đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có
Đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có
Khi đó và là nghiệm của hệ phương trình:
Ta thấy thoả mãn điều kiện
Vậy hàm số cần tìm là
Do đồ thị của hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ bằng nên .
Điểm nằm trên đường thẳng nên ta có
Suy ra
Đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có
Đồ thị của hàm số đi qua điểm nên ta có
Khi đó và là nghiệm của hệ phương trình:
Ta thấy thoả mãn điều kiện
Vậy hàm số cần tìm là
Bài 4.3 trang 13 SBT Toán 9 tập 2: Giải hệ phương trình:
Phương pháp giải:
Sử dụng:
– Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:
+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa
+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ
+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt
+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
Lời giải:
Điều kiện:
Từ hệ phương trình đã cho suy ra:
Do đó
Đặt
Khi đó hệ phương trình trên trở thành:
Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:
Ta thấy thoả mãn điều kiện .
Do đó
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là