SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Bài 24 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình $74,$ trong đó $M N = P Q .$ Chứng minh rằng:

$a)$ $A E = A F$

$b)$ $A N = A Q .$

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 2)

$a)$ Nối $O A$

Ta có: $M N = P Q (g t)$

Suy ra: $O E = O F$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác $O A E$ và $O A F,$ ta có:

+) $\hat{O E A} = \hat{O F A} = 90^{\circ}$

+) $O A$ chung

+) $O E = O F$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $∆ O A E = ∆ O A F$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: $A E = A F$

$b)$ Xét (O) có: $O E ⊥ M N (g t)$

Suy ra: $E N = \frac{1}{2} M N$ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy) $(1)$

Xét (O) có: $O F ⊥ P Q (g t)$

Suy ra: $F Q = \frac{1}{2} P Q$ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy) $(2)$

Mặt khác: $M N = P Q (g t) (3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $E N = F Q (4)$

Mà $A E = A F$ ( chứng minh câu a)

Hay $A N + N E = A Q + Q F (5)$

Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra: $A N = A Q .$

Bài 25 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình $75,$ trong đó hai dây $C D, E F$ bằng nhau và vuông góc với nhau tại $I,$ $I C = 2 c m,$ $I D = 14 c m .$ Tính khoảng cách từ $O$ đến mỗi dây.

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 3)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 4)

Kẻ $O H ⊥ C D,$ $O K ⊥ E F$

Vì tứ giác $O K I H$ có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ta có: $C D = E F (g t)$

Suy ra: $O H = O K$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Suy ra tứ giác $O K I H$ là hình vuông.

Ta có: $C D = C I + I D = 2 + 14 = 16 (c m)$

Xét (O) có $O H ⊥ C D$ mà OH là 1 phần đường kính và CD là dây cung nên $H C = H D = \frac{C D}{2} = 8$ $(c m)$ (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Suy ra $I H = H C - C I = 8 - 2 = 6 (c m)$

Do đó $O H = O K = I H = 6 (c m)$ (do $O K I H$ là hình vuông).

Vậy khoảng cách từ $O$ đến mỗi dây là 6cm.

Bài 26 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O),$ dây $A B$ và dây $C D,$ $A B < C D .$ Giao điểm $K$ của các đường thẳng $A B,$ $C D$ nằm ngoài đường tròn. Đường tròn $(O; O K)$ cắt $K A$ và $K C$ tại $M$ và $N .$ Chứng minh rằng $K M < K N .$
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 5)

Kẻ $O I ⊥ A B,$ $O E ⊥ C D$

Trong $(O; O A)$ ta có: $A B < C D (g t)$

Suy ra: $O I > O E$ (dây lớn hơn gần tâm hơn)

Trong $(O; O K)$ ta có: $O I > O E$ (cmt)

Suy ra: $K M < K N$ (dây gần tâm hơn thì lớn hơn).

Bài 27 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O)$ và điểm $I$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây $A B$ vuông góc với $O I$ tại $I$ ngắn hơn mọi dây khác đi qua $I .$
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong hai dây của một đường tròn:

+) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 6)

Gọi $C D$ là dây bất kì đi qua $I$ và $C D$ không vuông góc với $O I .$

Kẻ $O K ⊥ C D$

Tam giác $O K I$ vuông tại $K$ nên $O I > O K$

Suy ra: $A B < C D$ ( dây lớn hơn gần tâm hơn)

Vậy dây $A B$ vuông góc với $I O$ tại $I$ ngắn hơn mọi dây khác đi qua $I .$

Bài 28 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $\hat{A} > \hat{B} > \hat{C} .$ Gọi $O H, O I, O K$ theo thứ tự là khoảng cách từ $O$ đến $B C,$ $A C,$ $A B .$ So sánh các độ dài $O H, O I, O K .$
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một tam giác, cạnh nào đối diện với góc lớn hơn thì cạnh đó lớn hơn.

+) Trong hai dây của một đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 7)

Tam giác $A B C$ có $\hat{A} > \hat{B} > \hat{C}$ nên suy ra:

$B C > A C > A B$ (cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn)

Ta có $A B,$ $B C,$ $A C$ lần lượt là các dây cung của đường tròn $(O)$

Mà $B C > A C > A B$ nên suy ra:

$O H < O I < O K$ ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn).

Bài 29 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O),$ hai dây $A B, C D$ bằng nhau và cắt nhau tại điểm $I$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:

$a)$ $I O$ là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây $A B$ và $C D .$

$b)$ Điểm $I$ chia $A B,$ $C D$ thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn:

+) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 8)

$a)$ Kẻ $O H ⊥ A B,$ $O K ⊥ C D$

Ta có: $A B = C D (g t)$

Suy ra: $O H = O K$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Do đó O nằm trên tia phân giác của góc BID (tính chất đường phân giác)

Vậy $I O$ là tia phân giác của góc $B I D$

$b)$ Xét hai tam giác $O I H$ và $O I K,$ ta có:

+) $\hat{O H I} = \hat{O K I} = 90^{\circ}$

+) $O I$ chung

+) $O H = O K$ (chứng minh trên)

Suy ra: $∆ O I H = ∆ O I K$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: $I H = I K (1)$

Xét (O) có $O H ⊥ A B$ nên $H A = H B = \frac{1}{2} A B$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có $O K ⊥ D C$ nên $K C = K D = \frac{1}{2} C D$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Mà $A B = C D$ (gt) nên $H A = K C$ hay $A I + I H = I C + I K$ mà $I H = I K$ (theo (1))

Suy ra: $I A = I C$

Ta lại có $A B = C D$ (gt) hay $I A + I B = I C + I D$ mà $I A = I C$ (cmt) nên $I B = I D .$

Vậy $I A = I C, I B = I D$ .

Bài 30 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $25 c m .$ Hai dây $A B, C D$ song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng $40 c m,$ $48 c m .$ Tính khoảng cách giữa hai dây ấy.
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

Kẻ $O K ⊥ C D,$ $O H ⊥ A B .$

Xét (O) có $O K ⊥ C D$ mà OK là 1 phần đường kính và CD là dây cung $\Rightarrow C K = D K = \frac{1}{2} C D$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Xét (O) có $O H ⊥ A B$ mà OH là 1 phần đường kính và CD là dây cung $\Rightarrow A H = B H = \frac{1}{2} A B$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Vì $A B / / C D$ nên $H, O, K$ thẳng hàng.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $O B H,$ ta có:

$O B^{2} = B H^{2} + O H^{2}$

Suy ra: $O H^{2} = O B^{2} - B H^{2}$ $= 25^{2} - 20^{2} = 225$

$\Rightarrow O H = 15 (c m)$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $O D K,$ ta có:

$O D^{2} = D K^{2} + O D^{2}$

Suy ra: $O K^{2} = O D^{2} - D K^{2}$ $= 25^{2} - 24^{2} = 49$

$\Rightarrow O K = 7 (c m)$

* Trường hợp $O$ nằm giữa hai dây $A B$ và $C D$ :

$H K = O H + O K = 15 + 7 = 22 (c m)$

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 9)

* Trường hợp $O$ nằm ngoài hai dây $A B$ và $C D$ :

$H K = O H - O K = 15 - 7 = 8 (c m) .$

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 10)

Bài 31 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O),$ các bán kính $O A$ và $O B .$ Trên cung nhỏ $A B$ lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $A M = B N .$ Gọi $C$ là giao điểm của các đường thẳng $A M$ và $B N .$ Chứng minh rằng:

$a)$ $O C$ là tia phân giác của góc $A O B .$

$b)$ $O C$ vuông góc với $A B .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+) Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy vừa là đường cao, đường phân giác.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 11)

$a)$ Kẻ $O H ⊥ A M, O K ⊥ B N$

Ta có: $A M = B N (g t)$

Suy ra: $O H = O K$ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác $O C H$ và $O C K,$ ta có:

$\hat{O H C} = \hat{O K C} = 90^{\circ}$

$O C$ chung

$O H = O K$ (chứng minh trên)

Suy ra: $∆ O C H = ∆ O C K$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}$ (1)

Xét hai tam giác $O A H$ và $O B K,$ ta có:

$\hat{O H A} = \hat{O K B} = 90^{\circ}$

$O A = O B$ (cùng bằng bán kính)

$O H = O K$ ( chứng minh trên)

Suy ra: $∆ O A H = ∆ O B K$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

$\hat{O_{3}} = \hat{O_{4}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} = \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}}$ hay $\hat{A O C} = \hat{B O C}$

Vậy $O C$ là tia phân giác của $\hat{A O B}$

$b)$ Tam giác $O A B$ cân tại $O$ (do $O A = O B)$ có $O C$ là tia phân giác nên $O C$ đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: $O C ⊥ A B .$

Chú ý: TH hình vẽ dưới đây các em vẫn làm như trên:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 12)

Bài 32* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $5 d m,$ điểm $M$ cách $O$ là $3 d m .$

$a)$ Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm $M .$

$b)$ Tính độ dài dây dài nhất đi qua $M .$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Trong hai dây của đường tròn, dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 13)

$a)$ Dây đi qua $M$ ngắn dây là dây $A B$ vuông góc với $O M$ (xem bài 27 trang 160 SBT toán 9 tập 1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $O A M$ ta có:

$O A^{2} = A M^{2} + O M^{2}$

Suy ra: $A M^{2} = O A^{2} - O M^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$

$A M = 4 (d m)$

Xét (O) có $O M ⊥ A B$ mà OM là 1 phần đường kính và AB là dây cung

Suy ra M là trung điểm dây AM (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy), do đó $A M = \frac{1}{2} A B$

Hay: $A B = 2 A M = 2.4 = 8 (d m)$

$b)$ Dây đi qua $M$ lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn $(O) .$ Vậy dây có độ dài bằng $2 R = 2.5 = 10 (d m)$

Bài 33* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O),$ hai dây $A B$ và $C D$ cắt nhau tại điểm $M$ nằm bên trong đường tròn. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$ Cho biết $A B > C D,$ chứng minh rằng

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+) Trong một đường tròn: Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.

+) Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 14)

Xét (O) có $H A = H B (g t)$

Suy ra: $O H ⊥ A B$ (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Xét (O) có $K C = K D (g t)$

Suy ra: $O K ⊥ C D$ (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Mà $A B > C D (g t)$

Nên $O K > O H$ ( dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $O H M$ ta có:

$O M^{2} = O H^{2} + H M^{2}$

Suy ra: $H M^{2} = O M^{2} - O H^{2}$ $(1)$

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông $O K M,$ ta có:

$O M^{2} = O K^{2} + K M^{2}$

Suy ra: $K M^{2} = O M^{2} - O K^{2}$ $(2)$

Mà $O H < O K (c m t)$ $(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra: $H M^{2} > K M^{2}$ hay $H M > K M .$

Bài 34* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A, B$ nằm bên trong đường tròn và không cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song và bằng nhau sao cho điểm $A$ nằm trên một dây, điểm $B$ nằm trên dây còn lại.
Phương pháp giải:
+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

+) Biện luận: Xem xét khi nào bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thỏa mãn đề bài

+) Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 15)

* Cách dựng

− Dựng trung điểm $I$ của $A B .$

− Qua $A$ dựng dây $C D$ song song với $O I .$

− Qua $B$ dựng dây $E F$ song song với $O I .$

Ta được $C D$ và $E F$ là hai dây cần dựng.

* Chứng minh

Ta có: $C D / / O I, E F / / O I$

Suy ra: $C D / / E F$

Kẻ $O H ⊥ C D$ cắt $E F$ tại $K$

Suy ra: $O K ⊥ E F$

Xét hình thang AHKB (do AH//BK) có $O I / / A H / / B K$ và I là trung điểm của AB nên O là trung điểm của HK.

Suy ra: $O H = O K$

Vậy $C D = E F$ (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)

* Biện luận

Bài toán có một nghiệm hình.

Bài tập bổ sung (trang 161 SBT Toán 9)

Bài 3.1 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $6 c m,$ dây $A B$ bằng $2 c m .$ Khoảng cách từ $O$ đến $A B$ bằng:

$(A)$ $\sqrt{35} c m$ ; $(B)$ $\sqrt{5} c m$ ;

$(C)$ $4 \sqrt{2} c m$ ; $(D)$ $2 \sqrt{2} c m$ .

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 16)

Ta có: $O A = O B = 6 : 2 = 3 c m$

Kẻ $O H ⊥ A B$ tại $H$ mà OH là 1 phần đường kính và AB là dây cung của đường tròn tâm O

$\Rightarrow A H = H B = \frac{1}{2} A B = 1 c m$ (quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét trong $Δ O H B,$ có:

$O B^{2} = O H^{2} + H B^{2}$ (định lý Pytago)

$\Rightarrow O H^{2} = O B^{2} - H B^{2}$

$O H^{2} = 3^{2} - 1^{2} = 8$

$\Rightarrow O H = 2 \sqrt{2}$

Vậy chọn $(D) .$

Bài 3.2 trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O),$ điểm $I$ nằm bên trong đường tròn $($ $I$ khác $O) .$ Dựng dây $A B$ đi qua $I$ và có độ dài ngắn nhất.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức: Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 17)

Dây $A B$ phải dựng vuông góc với $O I$ tại $I .$

Bài 3.3* trang 161 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O; 25 c m),$ điểm $C$ cách $O$ là $7 c m .$
Có bao nhiêu dây đi qua $C$ có độ dài là một số nguyên xentimét $?$
Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

SBT Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây | Giải SBT Toán lớp 9 (ảnh 18)

Dây lớn nhất đi qua $C$ là đường kính $E F = 50 c m .$

Dây nhỏ nhất đi qua $C$ là dây $A B$ vuông góc với $O C$ tại $C,$ $A B = 48 c m .$

$($ Vì tam giác $O A C$ vuông tại $C,$ theo định lý Pytago ta có $A C = \sqrt{O A^{2} - O C^{2}}$ $= \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = 24 c m,$ mà $O C ⊥ A B$ tại C nên C là trung điểm AB (quan hệ giữa đường kính và dây cung), suy ra $A B = 2 A C = 2.24 = 48 c m)$

Có hai dây đi qua $C$ có độ dài $49 c m$ $($ là dây $G H$ và $I K$ đối xứng nhau qua $E F$ , hai dây đối xứng qua một đường thẳng thì có độ dài bằng nhau)

Có tất cả $4$ dây đi qua $C$ có độ dài là một số nguyên xentimét.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy