SBT Toán 9 Bài 3: Bảng lượng giác | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Bảng lượng giác

Bài 39 trang 111 SBT Toán 9 tập 1: Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm:

$\sin {39}^{\circ }{13}^{\prime }$; $\cos {52}^{\circ }{18}^{\prime }$;

$tg{13}^{\circ }{20}^{\prime }$;  $\cot g{10}^{\circ }{17}^{\prime }$;

$\sin {45}^{\circ }$;  $\cos {45}^{\circ }$. 

Phương pháp giải:

Dùng cho bảng lượng giác để tìm các góc.

Lời giải:

$\sin {39}^{\circ }{13}^{\prime }\approx 0,6323$;

$\cos {52}^{\circ }{18}^{\prime }\approx 0,6115$;

$tg{13}^{\circ }{20}^{\prime }\approx 0,2370$;

$\cot g{10}^{\circ }{17}^{\prime }\approx 0,5118$;

$\sin {45}^{\circ }\approx 0,7071$;

$\cos {45}^{\circ }\approx 0,7071$.

Bài 40 trang 111 SBT Toán 9 tập 1: Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm góc nhọn $x$, biết:

a) $\sin x=0,5446$;    

b) $\cos x=0,4444$;          

c) $tgx=1,1111$.

Phương pháp giải:

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi tìm góc $x$.

Lời giải:

a) $\sin x=0,5446\Rightarrow x\approx {33}^{\circ }$

b) $\cos x=0,4444\Rightarrow x\approx {63}^{\circ }{37}^{\prime }$  

c) $tgx=1,1111\Rightarrow x\approx {48}^{\circ }$

Bài 41 trang 111 SBT Toán 9 tập 1: Có góc nhọn $x$ nào mà:

a) $\sin x=1,0100$;            

b) $\cos x=2,3540$;            

c) $tgx=1,6754$?  

Phương pháp giải:

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm $x$.

Lời giải:

a) $\sin x=1,0100$: không có góc nhọn $x$ vì $\sin x<1$

b) $\cos x=2,3540$: không có góc nhọn $x$ vì $\cos x<1$

c) $tgx=1,6754\Rightarrow x\approx {59}^{\circ }{10}^{\prime }$

Bài 42 trang 111 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình: 

Biết: 

$AB=9cm,AC=6,4cm$

$AN=3,6cm,\widehat{AN\mathrm{D}}={90}^{\circ },\widehat{DAN}={34}^{\circ }$

Hãy tính:

a) $CN;$

b) $\widehat{ABN}$;

c) $\widehat{CAN}$;

d) $AD.$

Phương pháp giải:

+) Sử dụng: Định lý Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

+) Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ANC$, ta có: 

 $A{C}^2=A{N}^2+N{C}^2$ 
$\Rightarrow N{C}^2=A{C}^2-A{N}^2$
$\Rightarrow NC=\sqrt{A{C}^2-A{N}^2}$$=\sqrt{6,4^2-3,6^2}=\sqrt{28}$
$\Rightarrow NC\approx 5,2915\left(cm\right)$

b) Tam giác $ANB$ vuông tại $N$ nên ta có:

$\sin \widehat{ABN}=\frac{AN}{AB}=\frac{3,6}{9}=0,4$ 

$\Rightarrow \widehat{ABN}\approx {23}^{\circ }{35}^{\prime }$

c) Tam giác $ANC$ vuông tại $N$ nên ta có:

$\begin{array}{rl}& \cos \widehat{CAN}=\frac{AN}{AC}\\ & =\frac{3,6}{6,4}=\frac{9}{16}=0,5625\\ & \Rightarrow \widehat{CAN}\approx {55}^{\circ }{46}^{\prime }\end{array}$ 

d) Tam giác $AND$ vuông tại $N$ nên ta có:

$\begin{array}{rl}& \cos \widehat{NAD}=\frac{AN}{AD}\\ & \Rightarrow AD=\frac{AN}{\cos \widehat{NAD}}\\ & =\frac{3,6}{\cos {34}^{\circ }}\approx 4,3424\end{array}$

Bài 43 trang 111 SBT Toán 9 tập 1: Cho hình:

Biết:

$\widehat{ACE}={90}^{\circ },$$AB=BC=CD=DE=2cm.$ 

Hãy tính:

a) $AD,BE;$ 

b) $\widehat{DAC}$;

c) $\widehat{BXD}$.

Phương pháp giải:

+) Định lí Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$: 

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$ 

+) Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$

Lời giải:

a) Ta có: 

$AC=AB+BC=2+2=4\left(cm\right)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ACD$, ta có:

$A{D}^2=A{C}^2+C{D}^2$$=4^2+2^2=16+4=20$

$\Rightarrow AD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\left(cm\right)$

Mặt khác: $CE=CD+DE$$=2+2=4\left(cm\right)$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $BEC$, ta có:

$B{E}^2=B{C}^2+C{E}^2$$=2^2+4^2=4+16=20$ 

$\Rightarrow BE=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\left(cm\right)$ 

b) Tam giác $ACD$ vuông tại $C$ nên ta có:

$tg\widehat{DAC}=\frac{CD}{AC}$$=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\widehat{DAC}\approx {26}^{\circ }{34}^{\prime }$

c) Xét tam giác ADC vuông tại C, ta có: $\widehat{CDA}={90}^{\circ }-\widehat{CAD}$$\approx {90}^{\circ }-{26}^{\circ }{34}^{\prime }={63}^{\circ }{26}^{\prime }$

Xét hai tam giác ACD và ECB, ta có:

$AC=EC(=4cm)$

$BC=DC(=2cm)$

$AD=EB(=2\sqrt{5}\left(cm\right))$

Suy ra: $\Delta ACD=\Delta ECB$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{CBE}=\widehat{CDA}={63}^{\circ }{26}^{\prime }$

Trong tứ giác $BCDX,$ ta có: 

$\widehat{BXD}={360}^{\circ }-(\hat{C}+\widehat{CDA}+\widehat{CBE})$

$={360}^{\circ }-({90}^{\circ }+{63}^{\circ }{26}^{\prime }+{63}^{\circ }{26}^{\prime })$$={143}^{\circ }{8}^{\prime }.$

Bài 44 trang 112 SBT Toán 9 tập 1:

Đoạn thẳng $LN$ vuông góc với đoạn thẳng $AB$ tại trung điểm $N$ của $AB$; $M$ là một điểm của đoạn thẳng $LN$ và khác với $L,N$. Hãy so sánh các góc $\widehat{LAN}$ và $\widehat{MBN}$.

Phương pháp giải:

Cho hình vẽ: 

 

Ta có: $\tan \alpha =\frac{AB}{AC}.$

Lời giải:

Tam giác $ALN$ vuông tại $N$ nên ta có: 

$tg\widehat{LAN}=\frac{NL}{AN}$      (1)

Tam giác $BNM$ vuông tại $N$ nên ta có:

$tg\widehat{MBN}=\frac{NM}{NB}$        (2)

Mặt khác: $AN=NB$ (gt) (3)

$NL>NM$  (4) (do M thuộc đoạn thẳng LN)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: $tg\widehat{MBN}<tg\widehat{LAN}$

Suy ra: $\widehat{MBN}<\widehat{LAN}$ ( vì $\alpha$ tăng thì $tg\alpha$  tăng)

Bài 45 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh: 

a) $\sin {25}^{\circ }$ và $\sin {70}^{\circ }$;

b) $\cos {40}^{\circ }$ và $\cos {75}^{\circ }$ ;

c) $\sin {38}^{\circ }$ và $\cos {38}^{\circ }$ ;

d) $\sin {50}^{\circ }$ và $\cos {50}^{\circ }$.  

Phương pháp giải:

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì sin$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $\sin \alpha <\sin \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cos$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $\cos \alpha >\cos \beta .$ 

Lời giải:

a)

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì sin$\alpha$ tăng

Ta có: ${25}^{\circ }<{75}^{\circ }$, suy ra: $\sin {25}^{\circ }<\sin {75}^{\circ }$ 

 b)

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cos$\alpha$ giảm

Ta có: ${40}^{\circ }<{75}^{\circ }$, suy ra: ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}40}^{\circ }>\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{75}^{\circ }$

 c)

Ta có: ${38}^{\circ }+{52}^{\circ }={90}^{\circ }$, suy ra: $\cos {38}^{\circ }=\sin {52}^{\circ }$

Vì ${38}^{\circ }<{52}^{\circ }$ nên $\sin {38}^{\circ }<\sin {52}^{\circ }$ hay $\sin {38}^{\circ }<\cos {38}^{\circ }$

 d)

Ta có: ${40}^{\circ }+{50}^{\circ }={90}^{\circ },$ suy ra: $\sin {50}^{\circ }=\cos {40}^{\circ }$

Vì ${40}^{\circ }<{50}^{\circ }$ nên $\cos {40}^{\circ }>\cos {50}^{\circ }$ hay $\sin {50}^{\circ }>\cos {50}^{\circ }$

Bài 46 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Không dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) $tg{50}^{\circ }{28}^{\prime }$ và $tg{63}^{\circ }$;

b) $\cot g{14}^{\circ }$ và $\cot g{35}^{\circ }{12}^{\prime }$;

c) $tg{27}^{\circ }$ và $\cot g{27}^{\circ }$;

d) $tg{65}^{\circ }$ và $\cot g{65}^{\circ }$.

Phương pháp giải:

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $tg\alpha <tg\beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $cotg\alpha >cotg\beta .$ 

Lời giải:

a) Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng

Ta có: ${50}^{\circ }{28}^{\prime }<{63}^{\circ },$ suy ra: $tg{50}^{\circ }{28}^{\prime }<tg{63}^{\circ }$

b) Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm

Ta có: ${14}^{\circ }<{35}^{\circ }{12}^{\prime },$ suy ra: $cotg14°>cotg35°{12}^{\prime }$

c) Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng

Ta có: ${27}^{\circ }+{63}^{\circ }={90}^{\circ },$ suy ra: $\cot g{27}^{\circ }=tg{63}^{\circ }$

Vì ${27}^{\circ }<{63}^{\circ }$ nên $tg{27}^{\circ }<tg{63}^{\circ }$ hay $tg{27}^{\circ }<\cot g{27}^{\circ }$

d) Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm

Ta có: ${65}^{\circ }+{25}^{\circ }={90}^{\circ }$ nên $tg65°=cotg25°$

Vì ${25}^{\circ }<{65}^{\circ }$  nên $cotg{25}^0>cotg{65}^0$  hay 

Bài 47 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Cho $x$ là một góc nhọn, biểu thức sau đây có giá trị âm hay dương? Vì sao?

a) $sinx-1$ 

b) $1-\cos x$

c) $\sin x-\cos x$

d) $tgx-cotgx$

Phương pháp giải:

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì sin$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $\sin \alpha <\sin \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cos$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $\cos \alpha >\cos \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $tg\alpha <tg\beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $cotg\alpha >cotg\beta .$

Lời giải:

a) Ta có: $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ với thì $\mathrm{sinx}<1$, suy ra $\mathrm{sinx}-1<0$

b) Ta có: $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ với thì $\mathrm{cosx}<1$, suy ra $1-\cos x>0$

c) Ta có:  

*  Nếu $x=45°$ thì $sinx=cosx$, suy ra: $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\cos x=0$

*  Nếu $x<45°$ thì $\cos x=\sin ({90}^{\circ }-x)$

Vì $x<45°$ nên ${90}^{\circ }-x>{45}^{\circ }$ hay $x<{90}^{\circ }-x$, suy ra: $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}<\sin ({90}^{\circ }-x)$

Vậy $\sin x<\cos x$ hay $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\cos x<0$

*  Nếu $x>45°$  thì $\cos x=\sin ({90}^{\circ }-x)$

Vì $x>45°$ nên ${90}^{\circ }-x<{45}^{\circ }$ hay $x>{90}^{\circ }-x$, suy ra: $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}>\sin ({90}^{\circ }-x)$

Vậy $\sin x>\cos x$ hay $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}>0$.

d) Ta có:

*     Nếu $x=45°$ thì $tgx=cotgx$, suy ra: $tgx-cotgx=0$

*     Nếu $x<45°$  thì $\cot gx=tg({90}^{\circ }-x)$

Vì $x<45°$  nên ${90}^{\circ }-x>{45}^{\circ }$ hay $x<{90}^{\circ }-x$, suy ra: $tgx<tg({90}^{\circ }-x)$

Vậy $tgx<cotgx$ hay $tgx–cotgx<0.$

*     Nếu $x>45°$  thì $\cot gx=tg({90}^{\circ }-x)$

Vì $x>45°$  nên ${90}^{\circ }-x<{45}^{\circ }$ hay $x>{90}^{\circ }-x$, suy ra: $tgx>tg({90}^{\circ }-x)$

Vậy  $tgx>cotgx$ hay $tgx–cotgx>0.$

Bài 48 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh

a) $tg{28}^{\circ }$ và $\sin {28}^{\circ }$; 

b) $\cot g{42}^{\circ }$ và $\cos {42}^{\circ }$;

c) $\cot g{73}^{\circ }$ và $\sin {17}^{\circ }$;

d) $tg{32}^{\circ }$ và $\cos {58}^{\circ }$.   

Phương pháp giải:

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì sin$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $\sin \alpha <\sin \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cos$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $\cos \alpha >\cos \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $tg\alpha <tg\beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $cotg\alpha >cotg\beta .$

Lời giải:

a) $tg{28}^{\circ }=\frac{\sin {28}^{\circ }}{\cos {28}^{\circ }}=\sin {28}^{\circ }.\frac{1}{\cos {28}^{\circ }}$  (1)

Vì $0<\cos {28}^0<1$ nên $\frac{1}{\cos {28}^{\circ }}>1$$\Rightarrow \sin {28}^{\circ }.\frac{1}{\cos {28}^{\circ }}>\sin {28}^{\circ }$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $tg28°>sin28°$ 

b) Ta có: $\cot g{42}^{\circ }=\frac{\cos {42}^{\circ }}{\sin {42}^{\circ }}=c{\mathrm{o}\mathrm{s}42}^{\circ }.\frac{1}{\sin {42}^{\circ }}$   (1)

Vì $0<sin42°<1$ nên $\frac{1}{\sin {42}^{\circ }}>1$$\Rightarrow \cos {42}^{\circ }.\frac{1}{\sin {42}^{\circ }}>\cos {42}^{\circ }$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $cotg42°>cos42°$

c) Ta có: $17°+73°=90°$ nên  $c{\mathrm{o}\mathrm{s}73}^{\circ }=s{\mathrm{i}\mathrm{n}17}^{\circ }$ (1)

$\cot g{73}^{\circ }=\frac{\cos {73}^{\circ }}{\sin {73}^{\circ }}$$=\cos {73}^{\circ }.\frac{1}{\sin {73}^{\circ }}$   (2)

Vì $0<sin73°<1$ nên $\frac{1}{{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}73}^{\circ }}>1$ $\Rightarrow c{\mathrm{o}\mathrm{s}73}^{\circ }.\frac{1}{\sin {73}^{\circ }}>c{\mathrm{o}\mathrm{s}73}^{\circ }$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $cotg73°>sin17°$

d) Ta có: $32°+58°=90°$  nên $\sin {32}^0=\cos 58°$ (1)

$tg{32}^{\circ }=\frac{\sin {32}^{\circ }}{\cos {32}^{\circ }}$$=\sin {32}^{\circ }.\frac{1}{\cos {32}^{\circ }}$   (2)

Vì $0<cos32°<1$ nên $\frac{1}{{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}32}^{\circ }}>1$$\Rightarrow \sin {32}^{\circ }.\frac{1}{{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}32}^{\circ }}>\sin {32}^{\circ }$  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $tg32°>cos58°$

Bài 49 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AC=\frac{1}{2}BC$. Tính :

$\sin B,\cos B,tgB,\cot gB.$ 

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$

Lời giải:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: 

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2\\ & =B{C}^2-\frac{B{C}^2}{4}=\frac{3B{C}^2}{4}\\ & \Rightarrow AB=\frac{BC\sqrt{3}}{2}\end{array}$ 

Vậy: $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\hat{B}=\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}BC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tg\hat{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cot g\hat{B}=\frac{1}{tgB}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$

Bài 50 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Tính các góc của tam giác $ABC$, biết $AB=3cm,AC=4cm$ và $BC=5cm.$

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn:  $\sin \alpha =\frac{AB}{BC}$ (hình vẽ) 

 

Định lí Pytago đảo vào tam giác ABC:

Nếu $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Lời giải:

Ta có:

$AB=3\Rightarrow A{B}^2=3^2=9$ 

$AC=4\Rightarrow A{C}^2=4^2=16$

$BC=5\Rightarrow B{C}^2=5^2=25$ 

Ta có:

$A{B}^2+A{C}^2$ $=9+16=25=B{C}^2$

Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Ta có: $\sin \hat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}=0,8$$\Rightarrow \hat{B}={53}^{\circ }{8}^{\prime }$

$\hat{C}={90}^{\circ }-\hat{B}={90}^{\circ }-{53}^{\circ }{8}^{\prime }={36}^{\circ }{52}^{\prime }$ 

Bài 51 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Để vẽ một tam giác cân có góc ở đáy là ${50}^{\circ }$ mà không có thước đo góc, một học sinh vẽ một tam giác cân có cạnh bên $3cm$, cạnh đáy $4cm$.  Tính góc ở đáy mà em học sinh đó đã vẽ. Sai số so với số đo phải vẽ là bao nhiêu?
Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2.$

Lời giải:

Giả sử tam giác $ABC$ có $AB=AC=3cm$, $BC=4cm$. 

Kẻ $AH\mathrm{\perp }BC$ thì $AH$ cũng là đường trung tuyến của tam giác $ABC.$

Ta có: $BH=\frac{1}{2}BC=\frac{4}{2}=2\left(cm\right)$

Tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên ta có: 

$\cos \hat{B}=\frac{BH}{AB}=\frac{2}{3}\Rightarrow \hat{B}\approx {48}^{\circ }{11}^{\prime }$ 

Sai số là: ${50}^{\circ }-{48}^{\circ }{11}^{\prime }=1^{\circ }{49}^{\prime }$.

Bài tập bổ sung (trang 112,113 SBT Toán 9)

Bài 3.1 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Hãy so sánh:

a) $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$  $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ; 

b) $\cos \alpha$ và $cotg\alpha$ $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$

c) $\sin {35}^{\circ }$ và $\tan {38}^{\circ }$                    

d) $\cos {33}^{\circ }$ và $\tan {61}^{\circ }$. 

Phương pháp giải:

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì sin$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $\sin \alpha <\sin \beta .$ 

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cos$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $\cos \alpha >\cos \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $tg\alpha <tg\beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $cotg\alpha >cotg\beta .$

Lời giải:

a) Do $0<\cos \alpha <1$ và $\sin \alpha >0$ nên $tan\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>\sin \alpha$

b) Do $0<\sin \alpha <1$  và $\cos \alpha >0$ nên $\cot g\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }>\cos \alpha$

c) Theo a) $\sin {35}^{\circ }$ < $\tan {35}^{\circ }$, mà khi góc lớn lên thì tan cũng lớn lên nên $\tan {35}^{\circ }$ < $\tan {38}^{\circ }$.

Vậy $\sin {35}^{\circ }$ < $\tan {38}^{\circ }$.

d) Theo b) $\cos {33}^{\circ }$ < $cotg{33}^{\circ }$ mà khi góc lớn lên thì cotang nhỏ đi

Nên $cotg{33}^{\circ }<cotg{29}^{\circ }=\tan {61}^{\circ }$ (vì ${29}^{\circ }+{61}^{\circ }={90}^{\circ }$)

Suy ra $cotg{33}^{\circ }$ < $\tan {61}^{\circ }$.

Bài 3.2 trang 112 SBT Toán 9 tập 1: Không tính giá trị cụ thể, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.  

a) $\sin {20}^{\circ },co{\mathrm{s}20}^{\circ }{,\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}55}^{\circ },$${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}40}^{\circ }{,\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}70}^{\circ }$

b) $\tan {70}^{\circ },cotg60^{\circ }{,\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{g}65}^{\circ },$${\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}50}^{\circ }{,\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}25}^{\circ }$ 

Phương pháp giải:

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì sin$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $\sin \alpha <\sin \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cos$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $\cos \alpha >\cos \beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì tg$\alpha$ tăng.

Hay $\alpha <\beta$ thì $tg\alpha <tg\beta .$

Với $0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ ta có $\alpha$ tăng thì cotg$\alpha$ giảm.

Hay  $\alpha <\beta$ thì $cotg\alpha >cotg\beta .$

Lời giải:

a) Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì $sin$ của nó lớn lên và chú ý rằng:

${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}20}^{\circ }=\sin {70}^{\circ },cos{40}^{\circ }=\sin {50}^{\circ }$ và $\sin {70}^{\circ }<\tan {70}^{\circ }$ (do $sin\alpha <tg\alpha$ (theo bài 3.1 trang 112)) nên từ:

Do $\sin {20}^0<\sin {50}^0<\sin {55}^0<\sin {70}^0$

Vậy $\sin {20}^{\circ }<\cos {40}^{\circ }<\sin {55}^{\circ }$$<\sin {70}^{\circ }<\tan {70}^{\circ }$

b)   Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì tan của góc đó lớn lên.

Ta có: $\cot g{60}^{\circ }=\tan {30}^{\circ },\cot g{65}^{\circ }=\tan {25}^{\circ }.$

Do $\sin \alpha <\tan \alpha$  (theo bài 3.1 trang 112) nên $\sin {25}^{\circ }<\tan {25}^{\circ }$

Từ đó suy ra: $\sin {25}^{\circ }<\tan {25}^{\circ }<\tan {30}^{\circ }$$<tan{50}^{\circ }<tan{70}^{\circ }$

Hay $\sin {25}^{\circ }<\cot g{65}^{\circ }<\mathrm{cotg}{60}^{\circ }$$<tan{50}^{\circ }<tan{70}^{\circ }$

Bài 3.3 trang 113 SBT Toán 9 tập 1: Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng $b$, góc đối diện với nó bằng $\beta$.

a) Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc đối diện với  cạnh này và cạnh huyền qua $b$ và $\beta$.

b) Hãy tìm các giá trị của chúng khi $b=10cm$, $\beta ={50}^{\circ }$ ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). 

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau:

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$  

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $AC=b$, $\widehat{ABC}=\beta$ thì: 

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

$\begin{array}{l}tg\beta =\frac{AC}{AB}=\frac{b}{AB}\Rightarrow AB=\frac{b}{tg\beta }\\ \cot g\beta =\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{b}\Rightarrow AB=b.\cot g\beta \end{array}$

$\sin \beta =\frac{AC}{BC}=\frac{b}{BC}\Rightarrow BC=\frac{b}{\sin \beta }$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ACB}={90}^{\circ }-\beta$

b)   Khi $b=10(cm)$, $\beta ={50}^{\circ }$ thì

$AB=\frac{10}{tg{50}^{\circ }}\approx 8,391(cm),$  $\widehat{ACB}={90}^0-{50}^0={40}^{\circ },$$BC=\frac{10}{\sin {50}^{\circ }}\approx 13,054(cm).$

Bài 3.4 trang 113 SBT Toán 9 tập 1: Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng $b$, góc nhọn kề với nó bằng $\alpha .$ 

a)   Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc nhọn kề với cạnh này và cạnh huyền đi qua $b$ và $\alpha$.

b)   Hãy tìm các giá trị của chúng khi $b=12cm$, $a={42}^{\circ }$ ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).  

Phương pháp giải:

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  (hình) được định nghĩa như sau: 

 

 $\sin \alpha =\frac{AB}{BC};\cos \alpha =\frac{AC}{BC};$$\tan \alpha =\frac{AB}{AC};\cot \alpha =\frac{AC}{AB}.$ 

Lời giải:

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh $AC=b$, $\widehat{ACB}=\alpha$ thì:

a) Theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có: 

$\begin{array}{l}\tan \alpha =\frac{AB}{AC}=\frac{AB}{b}\Rightarrow AB=c=b.\tan \alpha \\ \cos \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{b}{BC}\Rightarrow BC=a=\frac{b}{\cos \alpha }\end{array}$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC}={90}^{\circ }-\alpha$

Vậy

$AB=c=b.\tan \alpha$, $\widehat{ABC}={90}^{\circ }-\alpha ,BC=a=\frac{b}{\cos \alpha }.$

b) Khi $b=12(cm)$, $a={42}^{\circ }$ thì

$c=12.tan{42}^{\circ }\approx 10,805(cm)$,

$\widehat{ABC}={90}^0-{42}^0={48}^{\circ },$$a=\frac{12}{\cos {42}^{\circ }}\approx 16,148(cm).$