SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 15 trang 158 SBT Toán 9 tập 1: Cho tam giác $ABC$, các đường cao $BH$ và $CK$. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm $B,C,H,K$ cùng thuộc một đường tròn;

b) $HK<BC.$ 

Phương pháp giải:

+ Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

+ Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 

Lời giải:

a) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$

Tam giác $BCH$ vuông tại $H$ có $HI$  là đường trung tuyến nên: $HI=IB=IC=\frac{1}{2}BC$ (tính chất tam giác vuông)

Tam giác $BCK$ vuông tại $K$ có $KI$ là đường trung tuyến nên:

$KI=IB=IC=\frac{1}{2}BC$ (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $IB=IC=IH=IK=\frac{1}{2}BC.$

Vậy bốn điểm $B,C,H,K$  cùng nằm trên một đường tròn tâm $I$ bán kính bằng $\frac{1}{2}BC$.

b) Trong đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{1}{2}BC,$ ta có $KH$ là dây cung không đi qua tâm, $BC$ là đường kính nên: $KH<BC$ (trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính).

Bài 16 trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Tứ giác $ABCD$ có $\hat{B}=\hat{D}={90}^{\circ }$. 

a)  Chứng minh rằng bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn.

b)  So sánh độ dài $AC$ và $BD.$ Nếu $AC=BD$ thì tứ giác $ABCD$ là hình gì? 

Phương pháp giải:

Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

Lời giải:

a) Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ 

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $BM$ là đường trung tuyến nên:

$BM=MA=MC=\frac{1}{2}AC$ (tính chất tam giác vuông) 

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ có $DM$ là đường trung tuyến nên:

$DM=MA=MC=\frac{1}{2}AC$ (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: $MA=MB=MC=MD.$

Vậy bốn điểm $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng $\frac{1}{2}AC$.

b) $BD$ là dây của đường tròn (M), còn $AC$ là đường kính nên $AC\ge BD$

$AC=BD$ khi và chỉ khi $BD$ cũng là đường kính, khi đó $ABCD$ là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo AC và BD bằng nhau và giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường).

Bài 17 trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$ và dây $EF$ không cắt đường kính. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $EF$. Chứng minh rằng $IE=KF.$
Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh bên thứ nhất và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Lời giải:

Ta có: $AI\perp EF$ (gt)

           $BK\perp EF$ (gt)

Suy ra: $AI//BK$

Suy ra tứ giác $ABKI$ là hình thang

Kẻ $OH\perp EF$

Suy ra: $OH//AI//BK$ (cùng vuông với IK)

Ta có: $OA=OB(=R)$

Như vậy hình thang $ABKI$ có OH đi qua trung điểm cạnh bên AB và song song với hai đáy AI, BK nên OH đi qua trung điểm cạnh bên IK.

Suy ra: $HI=HK$ 

Hay:         

$HE+EI=HF+FK$  (1)

Xét đường tròn (O) có OH là một phần đường kính, EF là dây của đường tròn.

Vì $OH\mathrm{\perp }EF$ nên $HE=HF$  (2) (quan hệ giữa đường kính và dây cung) 

Từ (1) và (2) suy ra:$IE=KF.$

Bài 18 trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O) có bán kính $OA=3cm$. Dây $BC$ của đường tròn vuông góc với $OA$ tại trung điểm của $OA.$ Tính độ dài $BC$. 
Phương pháp giải:

+) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $OA$

Suy ra: $IO=IA=\frac{1}{2}OA=\frac{3}{2}$

Ta có: $BC\perp OA$ (gt)

Suy ra:   $\widehat{OIB}={90}^{\circ }$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OIB ta có: $O{B}^2=B{I}^2+I{O}^2$

Suy ra: $B{I}^2=O{B}^2-I{O}^2$

$=3^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=9-\frac{9}{4}=\frac{27}{4}$

$BI=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (cm)

Xét đường tròn (O) có $OA\mathrm{\perp }BC$ tại I nên $BI=CI$ (đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó)

Suy ra: $BC=2BI=2.\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ (cm)

Bài 19 trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính $AD=2R$. Vẽ cung tâm $D$ bán kính $R$, cung này cắt đường tròn (O) ở $B$ và $C.$  

a) Tứ giác $OBDC$ là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc $CBD,CBO,OBA.$

c) Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Phương pháp giải:

+ Tứ giác có tất cả các cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi.

+ Tam giác cân có một góc bằng ${60}^{\circ }$ là tam giác đều.

Lời giải:

a) Ta có:

$OB=OC=R$ (vì $B,C$ nằm trên $(O;R))$ 

$DB=DC=R$ ( vì $B,C$ nằm trên $(D;R))$

Suy ra: $OB=OC=DB=DC.$

Vậy tứ giác $OBDC$ là hình thoi.

b) Ta có: $OB=OD=BD=R$

$∆OBD$ đều $\Rightarrow \widehat{OBD}={60}^{\circ }$

Vì $OBDC$ là hình thoi nên:

$\widehat{CBD}=\widehat{OBC}=\frac{1}{2}\widehat{OBD}={30}^{\circ }$

Tam giác $ABD$ nội tiếp trong (O) có $AD$ là đường kính nên:

$\widehat{ABD}={90}^{\circ }$

Suy ra $\widehat{OBD}+\widehat{OBA}={90}^{\circ }$

Nên $\widehat{OBA}=\widehat{ABD}-\widehat{OBD}$$={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$

c) Tứ giác $OBDC$ là hình thoi nên $OD\perp BC$ hay $AD\perp BC$

Suy ra AD là đường trung trực của BC (vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và $O\in AD$) 

Ta có:     

$AB=AC$ ( tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác $ABC$ cân tại $A$   (1)

Mà  $\widehat{ABC}=\widehat{OBC}+\widehat{OBA}$$={30}^{\circ }+{30}^{\circ }={60}^{\circ }$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác $ABC$ đều.

Bài 20 trang 159 SBT Toán 9 tập 1:

a)   Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, dây $CD$. Các đường vuông góc với $CD$ tại $C$ và $D$ tương ứng cắt $AB$ ở $M$ và $N$. Chứng minh rằng $AM=BN.$ 

b) Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Trên $AB$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM=BN$. Qua $M$ và qua $N$, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở $C$ và $D$. Chứng minh rằng $MC$ và $ND$ vuông góc với $CD$.  

Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng đường trung bình của hình thang: Đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên của hình thang thì song song với hai đáy của hình thang đó.

Lời giải:

a) Ta có:

$CM\perp CD$

$DN\perp CD$

Suy ra:  $CM//DN$

Kẻ  $OI\perp CD$

Suy ra:  $OI//CM//DN$

Xét (O) có $OI\perp CD$ mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên $IC=ID$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hình thang MCDN (do $CM//DN$) có  $OI//CM//DN$ và $IC=ID$ 

Suy ra:  $OM=ON$ (1)

Mà: $AM+OM=ON+BM(=R)$                (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $AM=BN.$

b) Ta có:  $MC//ND$ (gt)

Suy ra tứ giác  $MCDN$ là hình thang

Lại có:    $OM+AM=ON+BN(=R)$

Mà  $AM=BN$ (gt)

Suy ra:  $OM=ON$

Kẻ  $OI\perp CD$     (3)

Xét (O) có $OI\perp CD$ mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên $IC=ID$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Khi đó  $OI$ là đường trung bình của hình thang $MCDN$ (vì $OM=ON$ và $IC=ID$) 

Suy ra:  $OI//MC//ND$      (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  

$MC\perp CD,ND\perp CD.$

Bài 21* trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Dây $CD$ cắt đường kính $AB$ tại $I$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH=DK.$

Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lí : Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+ Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 

Lời giải:

Kẻ $OM\perp CD$ cắt $AD$ tại $N.$

Xét đường tròn (O) có $OM\perp CD$ tại M mà OM là 1 phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên $MC=MD$ ( đường kính vuông góc với dây thi đi qua trung điểm của dây đó )

Hay $MH+CH=MK+KD$     (1)

Ta có: $OM//BK$ (cùng vuông góc với CD)

Hay:     $NO//BK$

Xét tam giác AKB có $NO//BK$ và  $OA=OB(=R)$

Suy ra: $NA=NK$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: $OM//AH$ ( cùng vuông góc với CD)

Hay:     $MN//AH$

Xét tam giác AKH có $MN//AH$ và $NA=NK$ (chứng minh trên)

Suy ra:  $MH=MK$ ( tính chất đường trung bình của tam giác)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $CH=DK.$

Bài 22 trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ nằm bên trong đường tròn. 

a) Hãy nêu cách dựng dây $AB$ nhận $M$ làm trung điểm.

b) Tính độ dài $AB$ ở câu a) biết rằng $R=5cm$; $OM=1,4cm$.

Phương pháp giải:

Dựng hình: 

+ Dựng đoạn $OM$, từ $M$ dựng đường vuông góc với $OM$ 

Chứng minh: 

+ Sử dụng: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy để chứng minh. 

Lời giải:

a) * Cách dựng

− Dựng đoạn $OM.$

− Qua $M$ dựng đường thẳng vuông góc với $OM$ cắt $(O)$ tại $A$ và $B.$

Nối $A$ và $B$ ta được dây cần dựng.

*  Chứng minh

Xét (O) có $OM\perp AB$ mà $OM$ là 1 phần đường kính và AB là dây của đường tròn $⟹MA=MB=\frac{AB}{2}.$

b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OMB, ta có:

$O{B}^2=O{M}^2+M{B}^2$

Suy ra:

$M{B}^2=O{B}^2-O{M}^2$$=5^2-1,4^2=25-1,96=23,04$

$MB=4,8$(cm)

Vậy $AB=2.MB=2.4,8=9,6(cm).$

Bài 23 trang 159 SBT Toán 9 tập 1:

Cho đường tròn (O), điểm $A$ nằm bên trong đường tròn, điểm $B$ nằm ngoài đường tròn sao cho trung điểm $I$ của $AB$ nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây $CD$ vuông góc với $OI$ tại $I.$ hãy cho biết $ACBD$ là hình gì? Vì sao?

Phương pháp giải:

+ Tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm O có: $OI\perp CD$ (gt) mà OI là 1 phần đường kính, CD là dây của đường tròn

Suy ra: $IC=ID$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm dây đó)

Mà: $IA=IB$ (vì I là trung điểm của AB)

Tứ giác $ACBD$ có hai đường chéo AB và CD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Bài tập bổ sung (trang 159,160 SBT Toán 9)
Bài 2.1 trang 159 SBT Toán 9 tập 1: Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn $(O;R)$ bằng: 

(A) $\frac{R}{2}$ ;                      (B) $\frac{R\sqrt{3}}{2}$ ;

(C) $R\sqrt{3}$ ;                   (D) Một đáp số khác.

Hãy chọn phương án đúng.

Phương pháp giải:

Các tính chất trong tam giác đều:

+ Các góc trong tam giác bằng ${60}^{\circ }$.

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm đường tròn nội tiếp (giao của ba đường phân giác, giao ba đường trung tuyến).

Lời giải:

Tam giác $ABC$ đều có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên tia $OB$ là tia phân giác góc $ABH$, suy ra $\widehat{OBH}={30}^{\circ }$. Kéo dài AO cắt BC tại H thì $AH\mathrm{\perp }BC$ (do tam giác ABC đều)

Xét tam giác $OBH$ vuông tại H, có: 

$BH=OB.c{\mathrm{o}\mathrm{s}30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

Mà H là trung điểm của BC (do tam giác ABC đều nên AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)

Vậy $CB=2.BH=2.\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$

Vậy đáp án là (C).

Bài 2.2 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O;2cm)$. Vẽ hai dây $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác $ABCD.$
Phương pháp giải:

Sử dụng: 

+) Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

+) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.

Lời giải:

Vì trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên ta có: 

$AB\le 4cm$, $CD\le 4cm.$

Do $AB\mathrm{\perp }CD$ nên

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.CD\le \frac{1}{2}.4.4=8$ (cm2).

Giá trị lớn nhất của $S_{ABC\mathrm{D}}$ bằng 8cm2 khi AB và CD đều là đường kính của đường tròn.

Bài 2.3 trang 160 SBT Toán 9 tập 1: Cho đường tròn $(O;R)$, dây $AB$ khác đường kính. Vẽ về hai phía của $AB$ các dây $AC,AD.$  Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $B$ và $AC$ và $AD.$ Chứng minh rằng: 

a) Bốn điểm $A,H,B,K$  thuộc cùng một đường tròn;

b) $HK<2R.$ 

Phương pháp giải:

Ta sử dụng các kiến thức sau:

+ Để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn ta chứng minh các điểm này cách đều một điểm.

+ Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Lời giải:

a) Ta có: $\widehat{AHB}=\widehat{AKB}={90}^o$

Do đó tam giác AKB vuông tại K, tam giác AHB vuông tại H nên $H$ và $K$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AB.$

Vậy bốn điểm $A,H,B,K$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AB.$

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB.$

$HK$ là dây cung không đi qua tâm $I$  của $\left(I,\frac{AB}{2}\right)$

Do đó: $HK<AB$                 (1)

Mặt khác: $AB$ là dây cung không đi qua tâm $O$ của $(O,R)$ nên $AB<2R$      (2)

Từ (1) và (2) ta có: $HK<AB<2R$.