SBT Toán 9 Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn | Giải SBT Toán lớp 9

Giải SBT Toán 9 Bài 10: Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Bài 63 trang 111 SBT Toán 9 tập 2:

$a)$ Điền vào ô trống trong bảng sau ($S$ là diện tích hình tròn bán kính $R$).

$R$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$10$	$20$
$S$

$b)$ Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình tròn theo bán kính của nó.

$c)$ Diện tích hình tròn có tỉ lệ thuận với bán kính không?

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

Lời giải:

$a)$ 

$b)$ Vẽ đồ thị: 

$c)$ Diện tích hình tròn không tỉ lệ thuận với bán kính

Bài 64 trang 111 SBT Toán 9 tập 2:

$a)$ Điền vào ô trống trong bảng sau ($S$ là diện tích hình quạt $n^{\circ }$).

Cung $n^{\circ }$	$0$	$45$	$90$	$180$	$360$
$S$

$b)$ Vẽ đồ thị biểu diễn diện tích hình quạt theo $n^{\circ }$.

$c)$ Diện tích hình quạt có tỉ lệ thuận với số đo độ của cung không$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$ hay $S=\frac{lR}{2}$

Lời giải:

$a)$  

$b)$ Vẽ đồ thị: 

$c)$ Diện tích hình quạt tròn tỉ lệ thuận với số đo độ của cung tròn.

 

Bài 65 trang 112 SBT Toán 9 tập 2: Tính diện tích hình tròn biết chu vi của nó là $C.$
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Độ dài $C$ của một đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $C=2\pi R$

+) Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

Gọi bán kính của hình tròn là $R,$ diện tích là $S.$

Ta có: $C=2\pi R$

$\Rightarrow R=\frac{C}{2\pi }$

$S=\pi R^2=\pi .{\left(\frac{C}{2\pi }\right)}^2$

$=\pi .\frac{C^2}{4{\pi }^2}=\frac{C^2}{4\pi }$ (đơn vị diện tích)

Bài 66 trang 112 SBT Toán 9 tập 2: So sánh diện tích hình gạch sọc và hình để trắng trong trong hình $10:$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

Hình để trắng là nửa hình tròn có đường kính $4cm$ nên bán kính bằng $2cm$ có diện tích:

$S_1=\frac{1}{2}\pi {.2}^2=2\pi$ $(c{m}^2)$

Diện tích $\frac{1}{4}$ hình tròn có bán kính $4cm:$

$S=\frac{1}{4}\pi {.4}^2=4\pi$ $(c{m}^2)$

Diện tích phần gạch sọc:

$S_2=S-S_1=4\pi -2\pi =2\pi$ $(c{m}^2)$

Vậy:$S_1=S_2$ 

Bài 67 trang 112 SBT Toán 9 tập 2:

$a)$ Vẽ đường xoắn $(h.11)$ xuất phát từ một hình vuông cạnh $1cm.$ Nói cách vẽ.

$b)$ Tính diện tích hình gạch sọc.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

$a)$

– Vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh $1cm$

– Vẽ cung đường tròn tâm $A$ bán kính $1cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{DE}$

– Vẽ cung đường tròn tâm $B$ bán kính $2cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{EF}$

– Vẽ cung đường tròn tâm $C$ bán kính $3cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{FG}$

– Vẽ cung đường tròn tâm $D$ bán kính $4cm$ ta được cung $\stackrel{⏜}{GH}$

$b)$ Tính diện tích phần gạch sọc.

Diện tích hình quạt $DAE=\frac{1}{4}\pi {.1}^2$

Diện tích hình quạt $EBF=\frac{1}{4}\pi {.2}^2$

Diện tích hình quạt $FCG=\frac{1}{4}\pi {.3}^2$

Diện tích hình quạt $GDH=\frac{1}{4}\pi {.4}^2$

Diện tích phần gạch sọc:

$S=\frac{1}{4}\pi \left(1^2+2^2+3^2+4^2\right)$$=\frac{15}{2}(c{m}^2)$

Bài 68 trang 112 SBT Toán 9 tập 2: Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn đường kính $1,2m.$ Người ta muốn nới rộng một bàn bằng cách ghép thêm (vào giữa) một mặt hình chữ nhật có một kích thước là $1,2m(h.12).$ Hỏi:

$a)$ Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiều nếu diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới$?$

$b)$ Kích thước kia của hình chữ nhật phải là bao nhiêu nếu chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới$?$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

$a)$ Gọi kích thước thứ $2$ của hình chữ nhật là $x(cm),$ điều kiện: $x>0$

Ta có: $1,2.x+\pi {\left(0,6\right)}^2=2.\pi {\left(0,6\right)}^2$

$\Rightarrow 1,2.x=\pi .{\left(0,6\right)}^2$

$x=\frac{\pi .0,36}{2}\approx 0,942$ $(m)$

$b)$  Gọi kích thước thứ $2$ của hình chữ nhật là $x(cm),$ điều kiện: $x>0$ 

Chu vi mặt bàn mới là $1,2.\pi +2x$

Theo bài ra ta có: $1,2\pi .2x=2.1,2\pi$

$\Rightarrow x=\frac{1,2\pi }{2}\approx 1,885$ $(m)$

Bài 69 trang 112 SBT Toán 9 tập 2: Cho đường trong $(O;R).$ Chia đường tròn này thành ba cung có số đo tỉ lệ với $3,4$ và $5$ rồi tính diện tích các hình quạt tròn được tạo thành.
Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Từ dãy tỉ số bằng nhau  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ ta suy ra: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}.$

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$.

Lời giải:

Gọi số đo độ của $3$ cung theo thứ tự là $a,b,c$ $(0<a,b,c<360)$

Ta có  $a+b+c={360}^{\circ }$

Theo bài ra ta có:

$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$$=\frac{a+b+c}{3+4+5}=\frac{{360}^{\circ }}{12}={30}^{\circ }$

$a=3.{30}^{\circ }={90}^{\circ };$

$b=4.{30}^{\circ }={120}^{\circ };$

$c=5.{30}^{\circ }={150}^{\circ }$

Diện tích các hình quạt tương ứng với cung ${90}^{\circ },{120}^{\circ },{150}^{\circ }$ là $S_1,S_2,S_3$

$S_1=\frac{\pi R^2.90}{360}=\frac{\pi R^2}{4}$

$S_2=\frac{\pi R^2.120}{360}=\frac{\pi R^2}{3}$

$S_3=\frac{\pi R^2.150}{360}=\frac{5\pi R^2}{12}$

Bài 70 trang 112 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ có $\hat{C}={45}^{\circ }$.

$a)$ Tính diện tích hình quạt tròn $AOB$ (ứng với cung nhỏ $AB$)

$b)$ Tính diện tích hình viên phân $AmB$ (ứng với cung nhỏ $AB$)

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$.

Lời giải:

$a)$ Xét đường tròn $(O)$ có $\hat{C}={45}^{\circ }$  $(gt)$ là g

óc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{AmB}$

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AmB}=2.\hat{C}$$={2.45}^0={90}^{\circ }$

Diện tích hình quạt $AOB$ là:

$S=\frac{\pi R^2.90}{360}=\frac{\pi R^2}{4}$ (đơn vị diện tích)

$b)$ $\widehat{AOB}=sđ\stackrel{⏜}{AmB}={90}^0$

$\Rightarrow OA\mathrm{\perp }OB$

Diện tích tam giác $OAB$ là: $S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{R^2}{2}$

Diện tích hình viên phân $AmB$ là:

$S_{qAOB}-S_{AOB}=\frac{\pi R^2}{4}-\frac{R^2}{2}$$=\frac{R^2\left(\pi -2\right)}{4}$ (đơn vị diện tích)

Bài 71 trang 113 SBT Toán 9 tập 2: Trong một tam giác đều $ABC(h.13),$ vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng $a,$ tính diện tích hình hoa thị gạch sọc.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$.

Lời giải:

Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích $3$ hình viên phân trừ diện tích tam giác đều $ABC.$

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$

$\Rightarrow OA=OB=OC$

Vì $∆ABC$ đều nên $AO,$ $BO,$ $CO$ là phân giác của các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}$

$\widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\frac{{60}^{\circ }}{2}={30}^{\circ }$

$\widehat{AOC}={180}^{\circ }-\left({30}^{\circ }+{30}^{\circ }\right)={120}^{\circ }$

Trong tam giác $O^{\prime }HA$ có $\widehat{O^{\prime }HA}={90}^{\circ }$, $\widehat{H{O}^{\prime }A}={60}^{\circ }$

$AH=R.\sin \widehat{H{O}^{\prime }A}$$=R.\sin {60}^{\circ }=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

$AC=2AH=R\sqrt{3}$

$\Rightarrow R=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$S_{quạt}=\frac{\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2.120}{360}$

     $=\frac{\pi \frac{a^2}{3}}{3}=\frac{\pi a^2}{9}$ (đơn vị diện tích)

$∆O^{\prime }HA$ có $\widehat{O^{\prime }HA}={90}^{\circ }$; $\widehat{H{O}^{\prime }A}={60}^{\circ }$

$O^{\prime }A=R.\cos {60}^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

$S_{\mathrm{\Delta }{O}^{\prime }CA}=\frac{1}{2}{O}^{\prime }H.AC$$=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{6}.a=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$ (đơn vị diện tích)

Diện tích hình viên phân:

$S_{vp}=S_{quạt}-S_{\mathrm{\Delta }{O}^{\prime }CA}$ $=\frac{\pi a^2}{9}-\frac{a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{4\pi a^2-3a^2\sqrt{3}}{36}$

Diện tích tam giác đều $ABC$ cạnh $a:$  $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích)

 

Diện tích hình hoa thị là:

$S=3S_{vp}-S_{ABC}$$=3.\frac{4\pi R^2-3a^2\sqrt{3}}{36}-\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$=\frac{4\pi a^2-3a^2\sqrt{3}}{12}-\frac{3a^2\sqrt{3}}{12}$

$=\frac{4\pi a^2-6a^2\sqrt{3}}{12}=\frac{a^2}{6}\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)$ (đơn vị diện tích)

Bài 72 trang 113 SBT Toán 9 tập 2: Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và đường cao $AH.$ Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB.$ Biết $BH=2cm$ và $HC=6cm.$ Tính:

$a)$ Diện tích hình tròn $(O).$

$b)$ Tổng diện tích hai hình viên phân $AmH$ và $BnH$ (ứng với các cung nhỏ).

$c)$ Diện tích hình quạt tròn $AOH$ (ứng với cung nhỏ $AH$).

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Lời giải:

$a)$ $∆ABC$ có $\hat{A}={90}^0$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow A{B}^2=2.\left(2+6\right)=16$

Suy ra $AB=4(cm)$

Diện tích hình tròn tâm $O$ là:

$S=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2$$=\pi {\left(\frac{4}{2}\right)}^2=4\pi$ $(c{m}^2)$

$b)$ Trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$A{H}^2=HB.HC=2.6=12$

Suy ra $AH=2\sqrt{3}$ $(cm)$

$S_{\mathrm{\Delta }AHB}=\frac{1}{2}AH.BH$$=\frac{1}{2}.2.2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ $(c{m}^2)$

Tổng diện  tích hai hình viên phân $AmH$ và $BnH$ bằng diện tích nửa hình tròn tâm $O$ trừ diện tích $∆AHB$ nên tổng diện tích hai hình viên phân là:

$S=2\pi -2\sqrt{3}=2\left(\pi -\sqrt{3}\right)$ $(c{m}^2)$

$c)$ $∆BOH$ có $OB=OH=BH=2cm$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }BOH$ đều

$\Rightarrow \hat{B}={60}^0$

$\hat{B}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AmH}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{AmH}$ $=2\hat{B}={120}^0$

$S_{qAOH}=\frac{\pi {.2}^2.120}{360}=\frac{4\pi }{3}$  $(c{m}^2)$

Bài tập bổ sung (trang 113 SBT Toán 9)

Bài 10.1 trang 113 SBT Toán 9 tập 2: Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường cong, biết $OA=OB=R>0$ $(h.bs.7).$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức: Diện tích $S$ của một hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức: $S=\pi .R^2$

Lời giải:

Hình đó gồm nửa hình tròn bán kính $5R,$ $3$ nửa hình tròn bán kính $R$ và bớt đi $2$ nửa hình tròn bán kính $R.$

$S=\frac{\pi {\left(5R\right)}^2}{2}+3.\frac{\pi R^2}{2}-2.\frac{\pi R^2}{2}$

$=\frac{25R^2\pi }{2}+\frac{\pi R^2}{2}$

$=\frac{26\pi R^2}{2}=13\pi R^2$ (đơn vị diện tích)

Bài 10.2 trang 113 SBT Toán 9 tập 2: Tính diện tích của hình cánh hoa, biết $OA=R(h.bs.8).$

Phương pháp giải:

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong đường tròn $R,$ độ dài $l$ của một cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $l=\frac{\pi Rn}{180}.$

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính $R,$ cung $n^{\circ }$ được tính theo công thức: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}$ hay $S=\frac{lR}{2}$

Lời giải:

Ta có $12$ hình viên phân có diện tích bằng nhau tạo nên cánh hoa đó.

Xét hình viên phân giới hạn bởi cung $\stackrel{⏜}{BO}$ và dây căng cung đó thì cung $\stackrel{⏜}{BO}$ là cung của đường tròn tâm $A$ bán kính $R.$

$OA=AB=OB=R$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AOB$ đều $\Rightarrow \widehat{OAB}={60}^0$

Diện tích hình quạt $AOB$ là:

$S^{\prime }=\frac{\pi R^2.60}{360}=\frac{\pi R^2}{6}$

 

Kẻ $AI\mathrm{\perp }BO$ tại I.

Trong tam giác vuông $AIO$ ta có: 

$AI=AO.\sin \widehat{AOI}$$=R.\sin {60}^0=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

$S_{\mathrm{\Delta }AOB}=\frac{1}{2}AI.AB$$=\frac{1}{2}.\frac{R\sqrt{3}}{2}.R=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

Diện tích $1$ hình viên phân là:

$S_1=S^{\prime }-S_{\mathrm{\Delta }AOB}$

 $=\frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\pi R^2-3R^2\sqrt{3}}{12}$

Diện tích của hình cánh hoa:

$S=12.S_1=12.\frac{2\pi R^2-3R^2\sqrt{3}}{12}$$=R^2\left(2\pi -3\sqrt{3}\right)$ (đơn vị diện tích)