Nguyên lý dirichlet và nguyên lý cực hạn trong toán tổ hợp

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÍ CỰC HẠN

A- Lý thuyết chung 

• Nguyên lí cực hạn có dạng đơn giản như sau:
 Nguyên lí 1: Trong một tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất.
Nguyên lí 2: Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất.
Nguyên lí này dùng để giải các bài toán mà trong tập hợp có các đối tượng phải xét của nó tồn tại các đối tượng có GTLN, GTNN theo một nghĩa nào đó. Nguyên lí cực
hạn thường được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác đặc biệt là phương pháp phản chứng. Nguyên lí này được vận dụng trong trường hợp tập các giá trị cần khảo
sát là tập hữu hạn (Nguyên lí 1) hoặc vô hạn nhưng tồn tại GTLN hoặc GTNN (Nguyên lí 2). Để vận dụng được nguyên lí cực hạn giải các bài tập hình học tổ hợp, người ta thường dùng một lược đồ chung để giải bài tập như sau:
– Đưa bài toán đang xét về dạng sử dụng nguyên lí 1 hoặc nguyên lí 2 để chứng tỏ rằng tất cả các giá trị cần khảo sát của bài toán có GTLN hoặc GTNN.
– Xét bài toán tương ứng khi nó nhận GTNN hoặc GTLN này. 
– Chỉ ra một mâu thuẫn hoặc đưa ra giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn GTLN hoặc GTNN mà ta đang khảo sát. Theo nguyên lí của PP phản chứng ta suy ra điều phải chứng
minh.
B- Vận dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng bốn đường tròn có đường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín tứ giác đã cho Lấy M là một điểm tùy ý trên tứ giác lồi. Có hai khả năng xảy ra
1) Nếu M nằm trên đường biên của tứ giác lồi, tức là M nằm trên một cạnh của tứ giác ABCD. Khi đó M nằm trong
đường tròn có đường kính là cạnh ấy. Trong trường hợp này kết luận của bài toán hiển nhiên đúng. 

2) Nếu M nằm bên trong tứ giác lồi ABCD. Khi đó ta có $\widehat{AMB }+\widehat{BMC}+\widehat{CMD}+\widehat{DMA}=360o$. Theo nguyên lý cực hạn tồn tại max $\left\{\widehat{AMB},\widehat{BNC},\widehat{CMD},\widehat{DMA}\right\}=\widehat{BMC}$.Khi đó $\widehat{BMC}\ge 90o\left(1\right)$.  Từ (1) suy ra M nằm trong hoặc cùng lắm là nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy dĩ nhiên M bị
phủ bởi đường tròn này. Như thế do M là điểm tùy ý của tứ giác ABCD, ta suy ra bốn hình tròn phủ kín tứ giác lồi đã cho. Đó là điều phải chứng minh. 

Xem thêm