Giải Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo)

chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )

Giải bài tập Toán 9 Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )

Trả lời câu hỏi giữa bài 

Trả lời câu hỏi 1 trang 28 SGK Toán 9 Tập 1 :Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt{\frac{4}{5}}$

b) $\sqrt{\frac{3}{125}}$ 

c) $\sqrt{\frac{3}{2a^3}}$ với a > 0

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức:

Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B\ge 0;B\ne 0$ ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}=\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{AB}}{B}khiB>0\\ -\frac{\sqrt{AB}}{B}khiB<0\end{array}$ 

Lời giải:

a)   $\sqrt{\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{4.5}{5.5}}=\frac{\sqrt{4.5}}{\sqrt{5^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

b) $\sqrt{\frac{3}{125}}=\sqrt{\frac{3.125}{125.125}}=\frac{\sqrt{3.125}}{\sqrt{{125}^2}}$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3.5.25}}}{\sqrt{{125}^2}}=\frac{5\sqrt{15}}{125}=\frac{\sqrt{15}}{25}$

c) $\sqrt{\frac{3}{2a^3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2a^3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2.2a}}=\frac{\sqrt{3}}{\left|a\right|\sqrt{2a}}=\frac{\sqrt{3}}{a\sqrt{2a}}$ $=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2a}}{a\sqrt{2a}.\sqrt{2a}}=\frac{\sqrt{6a}}{2a^2}$ 

Trả lời câu hỏi 2 trang 29 Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{5}{3\sqrt{8}};\frac{2}{\sqrt{b}}$ với b > 0

b) $\frac{5}{5-2\sqrt{3}};\frac{2a}{1-\sqrt{a}}$ với $a\ge 0$ và $a\ne 1$

c) $\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}};\frac{6a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ với a > b > 0 

a) Phương pháp giải:

Với hai biểu thức A, B mà $B>0,$ ta có 

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}.$

Lời giải:

+) $\frac{5}{3\sqrt{8}}=\frac{5\sqrt{8}}{3\sqrt{8}.\sqrt{8}}=\frac{5\sqrt{8}}{3.8}=\frac{5}{24}\sqrt{8}$ 

+) $\frac{2}{\sqrt{b}}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{b}.\sqrt{b}}=\frac{2}{b}\sqrt{b}$

b, c ) Phương pháp giải:

Với các biểu thức A, B, C mà $A\ge 0$ và $A\ne B^2$, ta có

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}.$ 

Lời giải:

b)

$\frac{5}{5-2\sqrt{3}}=\frac{5\left(5+2\sqrt{3}\right)}{\left(5-2\sqrt{3}\right)\left(5+2\sqrt{3}\right)}=\frac{5\left(5+2\sqrt{3}\right)}{25-12}=\frac{5\left(5+2\sqrt{3}\right)}{13}$

$\frac{2a}{1-\sqrt{a}}=\frac{2a\left(1+\sqrt{a}\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}=\frac{2a\left(1+\sqrt{a}\right)}{1-a}$

c) 

$\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\frac{4\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}=\frac{4\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}{7-5}=2\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$\frac{6a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{6a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(2\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{6a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{4a-b}$

Bài tập ( trang 29,30 SGK Toán 9)

Bài 48 trang 29 SGK Toán 9 Tập 1 :Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

$\sqrt{\frac{1}{600}};\sqrt{\frac{11}{540}};\sqrt{\frac{3}{50}};\sqrt{\frac{5}{98}};\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3}{)}^2}{27}}.$ 

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với $a\ge 0;b>0$.

+$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   $(a,b\ge 0)$.

+ Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B},$  $(B>0)$.

Lời giải:

+$\sqrt{\frac{1}{600}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{600}}$$=\frac{1}{\sqrt{6.100}}$$=\frac{1}{\sqrt{{6.10}^2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{6}.\sqrt{{10}^2}}$$=\frac{1}{10\sqrt{6}}$$=\frac{1.\sqrt{6}}{10.6}$$=\frac{\sqrt{6}}{60}$

+$\sqrt{\frac{11}{540}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{540}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{36.15}}$

$=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{36}.\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{6^2}.\sqrt{15}}$

$=\frac{\sqrt{11}}{6\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{11}.\sqrt{15}}{6.15}$

$=\frac{\sqrt{11.15}}{90}=\frac{\sqrt{165}}{90}$.

+ $\sqrt{\frac{3}{50}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25.2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{25}.\sqrt{2}}$

$=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5^2}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{5.2}$

$=\frac{\sqrt{3.2}}{10}=\frac{\sqrt{6}}{10}$

+ $\sqrt{\frac{5}{98}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{98}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49.2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{49}\sqrt{2}}$

$=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7^2}.\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{7\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{2}}{7.2}$

$=\frac{\sqrt{5.2}}{14}=\frac{\sqrt{10}}{14}$.

+$\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3}{)}^2}{27}}=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}}{\sqrt{27}}=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}}{\sqrt{9.3}}$

$=\frac{\sqrt{(1-\sqrt{3}{)}^2}}{\sqrt{3^2.3}}$$=\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}$

Vì $1<3\iff \sqrt{1}<\sqrt{3}\iff 1<\sqrt{3}$ $\iff 1-\sqrt{3}<0$

$\iff |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1.$

Do đó: $\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{9}=\frac{3-\sqrt{3}}{9}.$

Bài 49 trang 29 SGK Toán 9 Tập 1 :Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$ab\sqrt{\frac{a}{b}};\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^2}};\sqrt{\frac{9a^3}{36b}};3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.$

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau:

      + $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,  với $a\ge 0,b>0$.

      +  $\sqrt{a^2}=|a|$

      +  Nếu $a\ge 0$ thì $|a|=a$

      + Nếu $a<0$ thì $|a|=-a$

      + $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$,   $(b>0)$.

Lời giải:

Theo đề bài các biểu thức đều có nghĩa.

+ Ta có

$ab\sqrt{\frac{a}{b}}=ab\sqrt{\frac{a.b}{b.b}}=ab\sqrt{\frac{ab}{b^2}}=ab\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}=ab\frac{\sqrt{ab}}{\left|b\right|}.$

*) Nếu $b>0$  thì $|b|=b\Rightarrow ab\frac{\sqrt{ab}}{\left|b\right|}=ab\frac{\sqrt{ab}}{b}=a\sqrt{ab}$. 

*) Nếu $b<0$  thì $|b|=-b\Rightarrow ab\frac{\sqrt{ab}}{\left|b\right|}=-ab\frac{\sqrt{ab}}{b}=-a\sqrt{ab}$.

+ Ta có:

$\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b.a}{a.a}}=\frac{a}{b}\sqrt{\frac{ab}{a^2}}$

$=\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a^2}}$$=\frac{a}{b}.\frac{\sqrt{ab}}{|a|}$$=\frac{a\sqrt{ab}}{b|a|}$

*) Nếu $a>0$ thì $|a|=a\Rightarrow \frac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=\frac{a\sqrt{ab}}{ab}=\frac{\sqrt{ab}}{b}.$

*) Nếu $a<0$ thì  $|a|=-a\Rightarrow \frac{a\sqrt{ab}}{b|a|}=-\frac{a\sqrt{ab}}{ab}=-\frac{\sqrt{ab}}{b}.$

+ Ta có:

$\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^2}}=\sqrt{\frac{b}{b^2}+\frac{1}{b^2}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^2}}$

                    $=\frac{\sqrt{b+1}}{\sqrt{b^2}}=\frac{\sqrt{b+1}}{|b|}$.

*) Nếu $b>0$  thì $|b|=b\Rightarrow \frac{\sqrt{b+1}}{|b|}=\frac{\sqrt{b+1}}{b}$.

*) Nếu $-1\le b<0$  thì $|b|=-b\Rightarrow \frac{\sqrt{b+1}}{|b|}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}$.

+ Ta có:

$\sqrt{\frac{9a^3}{36b}}=\sqrt{\frac{9}{36}}.\sqrt{\frac{a^3}{b}}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{\frac{a^3.b}{b.b}}$

$=\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{a^2.ab}{b^2}}$$=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{a^2}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b^2}}$

$=\frac{1}{2}.\frac{|a|\sqrt{ab}}{|b|}=\frac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}$.

*) Nếu $a\ge 0,b>0$ thì $|a|=a,|b|=b\Rightarrow \frac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}$.

*) Nếu $a<0,b<0$ thì $|a|=-a,|b|=-b\Rightarrow \frac{|a|\sqrt{ab}}{2|b|}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}$.

(Chú ý: Theo đề bài $\sqrt{\frac{9a^3}{36b}}$ có nghĩa nên $a,b$ cùng dấu, do đó chỉ cần xét 2 trường hợp $a,b$ cùng âm hoặc cùng dương). 

+ Ta có:

$3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy.\sqrt{\frac{2.xy}{xy.xy}}=3xy.\frac{\sqrt{2xy}}{\sqrt{(xy{)}^2}}$

$=3xy.\frac{\sqrt{2xy}}{|xy|}$ $=\frac{3xy.\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}$.

(Vì theo đề bài $\sqrt{\frac{2}{xy}}$ có nghĩa nên $\frac{2}{xy}>0\iff xy>0\Rightarrow |xy|=xy$.)

Bài 50 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{5}{\sqrt{10}};\frac{5}{2\sqrt{5}};\frac{1}{3\sqrt{20}};\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\frac{y+b.\sqrt{y}}{b.\sqrt{y}}.$ 

Phương pháp giải:

+ $(\sqrt{a}{)}^2=a$,   với $a\ge 0$.

+ $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$,   $(b>0)$.

+ $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$,   nếu $A,B\ge 0$. 

+ $\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}$,   nếu $A<0,B\ge 0$.

Lời giải:
+ Ta có: 

$\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5.\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{(\sqrt{10}{)}^2}=\frac{5\sqrt{10}}{10}$

$=\frac{5.\sqrt{10}}{5.2}$$=\frac{\sqrt{10}}{2}$.

+ Ta có:

$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5.\sqrt{5}}{2\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.(\sqrt{5}.\sqrt{5})}=\frac{5\sqrt{5}}{2(\sqrt{5}{)}^2}$

$=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

+ Ta có:

$\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1.\sqrt{20}}{3\sqrt{20}.\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}.\sqrt{20})}=\frac{\sqrt{20}}{3.(\sqrt{20}{)}^2}$

              $=\frac{\sqrt{20}}{3.20}=\frac{\sqrt{2^2.5}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{2.30}=\frac{\sqrt{5}}{30}$.

+ Ta có:

$\frac{(2\sqrt{2}+2)}{5.\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2).\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}.\sqrt{2}+2.\sqrt{2}}{5.(\sqrt{2}{)}^2}$

                    $=\frac{2.2+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{2(2+\sqrt{2})}{5.2}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}$.

+ Ta có:

 $\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{(y+b\sqrt{y}).\sqrt{y}}{b\sqrt{y}.\sqrt{y}}=\frac{y\sqrt{y}+b\sqrt{y}.\sqrt{y}}{b.(\sqrt{y}{)}^2}$

                    $=\frac{y\sqrt{y}+b(\sqrt{y}{)}^2}{by}=\frac{y\sqrt{y}+by}{by}$

                    $=\frac{y(\sqrt{y}+b)}{b.y}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}$.

Cách khác:

$\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{{\left(\sqrt{y}\right)}^2+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}$$=\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{y}+b\right)}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}$

Bài 51 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{3}{\sqrt{3}+1};\frac{2}{\sqrt{3}-1};\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\frac{b}{3+\sqrt{b}};\frac{p}{2\sqrt{p}-1}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

+ Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A\ge 0$ và $A\ne B^2$, ta có:

              $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B^2}$

Lời giải:

+ Ta có:

$\frac{3}{\sqrt{3}+1}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3\sqrt{3}-3.1}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}$

$=\frac{3\sqrt{3}-3}{3-1}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$.

+ Ta có:

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}{)}^2-1^2}$

$=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$.

+ Ta có:

$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3}).(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{(2+\sqrt{3}{)}^2}{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}$

$=\frac{2^2+\mathrm{2.2.}\sqrt{3}+(\sqrt{3}{)}^2}{4-3}$

$=\frac{7+4\sqrt{3}}{1}=7+4\sqrt{3}$.

+ Ta có:

$\frac{b}{3+\sqrt{b}}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{(3+\sqrt{b})(3-\sqrt{b})}$

$=\frac{b(3-\sqrt{b})}{3^2-(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{b(3-\sqrt{b})}{9-b};(b\ne 9)$.

+ Ta có:

$\frac{p}{2\sqrt{p}-1}=\frac{p(2\sqrt{p}+1)}{(2\sqrt{p}-1)(2\sqrt{p}+1)}$

$=\frac{2p\sqrt{p}+p}{(2\sqrt{p}{)}^2-1^2}$ $=\frac{2p\sqrt{p}+p}{4p-1}$

Bài 52 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

+ Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A\ge 0,B\ge 0$ và $A\ne B$, ta có:

              $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$

Lời giải:
+ Ta có:

$\frac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}$

                   $=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{(\sqrt{6}{)}^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{6-5}$

                   $=\frac{2(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{1}=2(\sqrt{6}+\sqrt{5})$.

+ Ta có:

$\frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})}$

                    $=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}{)}^2-(\sqrt{7}{)}^2}$$=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7}$

                    $=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}$.

+ Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1.(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$

$=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}{)}^2-(\sqrt{y}{)}^2}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$

+ Ta có:

$\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}$

$=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}{)}^2-(\sqrt{b}{)}^2}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$.

Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) $\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2};$

b) $ab\sqrt{1+\frac{1}{a^2{b}^2}}$

c) $\sqrt{\frac{a}{b^3}+\frac{a}{b^4}}$

d) $\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Phương pháp giải:

+ $\sqrt{ab}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,  với $a,b\ge 0$.

+ $|a|=a$,  nếu $a\ge 0$ 

     $|a|=-a$  nếu $a<0$.

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:  Với hai số $a,b$ không âm, ta có:

$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{18}.\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3}{)}^2}$

                               $=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$

                               $=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

                               $=3\sqrt{2.3}-3(\sqrt{2}{)}^2$

                               $=3\sqrt{6}-3.2=3\sqrt{6}-6$.

(Vì  $2<3\iff \sqrt{2}<\sqrt{3}\iff \sqrt{2}-\sqrt{3}<0$

Do đó: $|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=-(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$).

b) Ta có: 

$ab\sqrt{1+\frac{1}{a^2{b}^2}}=ab\sqrt{\frac{a^2{b}^2}{a^2{b}^2}+\frac{1}{a^2{b}^2}}=ab\sqrt{\frac{a^2{b}^2+1}{a^2{b}^2}}$

                         $=ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{\sqrt{a^2{b}^2}}=ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{\sqrt{(ab{)}^2}}$

                         $=ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{|ab|}$

Nếu $ab>0$ thì $|ab|=ab$

          $\Rightarrow ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{|ab|}=ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2{b}^2+1}$.

Nếu $ab<0$ thì $|ab|=-ab$

           $\Rightarrow ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{|ab|}=ab\frac{\sqrt{a^2{b}^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2{b}^2+1}$.

c) Ta có: 

$\sqrt{\frac{a}{b^3}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{a.b}{b^3.b}+\frac{a}{b^4}}=\sqrt{\frac{ab}{b^4}+\frac{a}{b^4}}$

$=\sqrt{\frac{ab+a}{b^4}}=\frac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2{)}^2}}=\frac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\frac{\sqrt{ab+a}}{b^2}$.

(Vì $b^2>0$ với mọi $b\ne 0$ nên $|b^2|=b^2$).

d) Ta có:

$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a}{)}^2+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$=\sqrt{a}$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(a+\sqrt{ab}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\\ =\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{ab}.\sqrt{a}-\sqrt{ab}.\sqrt{b}}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}\\ =\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b}\\ =\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{a}}{a-b}\\ =\frac{\sqrt{a}\left(a-b\right)}{a-b}=\sqrt{a}\end{array}$

Bài 54 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa): 

$\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}};\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}};\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2};$

$\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}};\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}.$

Phương pháp giải:
+ $(\sqrt{a}{)}^2=a$,  với mọi $a\ge 0$.

+ $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,  với $a,b\ge 0$.

Lời giải:

* Ta có:

$\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2}{)}^2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{1+\sqrt{2}}$

$=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Cách khác:

$\begin{array}{l}\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}\\ =\frac{2.1-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}{1^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\\ =\frac{2-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-2}{1-2}\\ =\frac{-\sqrt{2}}{-1}=\sqrt{2}\end{array}$

Nhận xét: Cách làm thứ nhất phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu đơn giản hơn cách thứ hai.

* Ta có: 

$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3.5}-\sqrt{5.1}}{1-\sqrt{3}}$$=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{3}-\sqrt{5}.1}{1-\sqrt{3}}$

$=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{1-\sqrt{3}}=\frac{-\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}}=-\sqrt{5}$.

+ Ta có:

$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}=\frac{(\sqrt{2}{)}^2.\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{4.2}-2}$

$=\frac{\sqrt{2}.(\sqrt{2}.\sqrt{3})-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}-2}$$=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{6}-\sqrt{6}}{2(\sqrt{2}-1)}$

$=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

+ Ta có: Điều kiện xác định: $1-\sqrt{a}\ne 0$ nên $a\ne 1$

$\frac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}=\frac{(\sqrt{a}{)}^2-\sqrt{a}.1}{1-\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{1-\sqrt{a}}$

                   $=\frac{-\sqrt{a}(1-\sqrt{a})}{1-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}$.

+ Ta có: Điều kiện xác định: $\sqrt{p}-2\ne 0$ nên $p\ne 4$

$\frac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{(\sqrt{p}{)}^2-2.\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}=\frac{\sqrt{p}(\sqrt{p}-2)}{\sqrt{p}-2}=\sqrt{p}$.

Bài 55 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Phân tích thành nhân tử (với $a,b,x,y$ là các số không âm)

a) $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$

b) $\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{x{y}^2}$

Phương pháp giải:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng:

                 -Phương pháp đặt nhân tử chung

                – Phương pháp nhóm hạng tử.

                – Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Sử dụng: $\sqrt{a}.\sqrt{a}=a,$  với $a\ge 0$.

Lời giải:

Ta có: 

$ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=(ab+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$

$=(ba+b\sqrt{a})+(\sqrt{a}+1)$

$=\left(b.\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{a}\right)+\left(\sqrt{a}+1\right)$

$=[(b\sqrt{a}).\sqrt{a}+b\sqrt{a}.1]+(\sqrt{a}+1)$

$=b\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+(\sqrt{a}+1)$

 $=(\sqrt{a}+1)(b\sqrt{a}+1)$.

b) 

Phương pháp giải:

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng:

                 -Phương pháp đặt nhân tử chung

                – Phương pháp nhóm hạng tử.

                – Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Sử dụng hằng đẳng thức:

           $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

           $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$

           $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

+ $(\sqrt{a}{)}^2=a,$  với $a\ge 0$.

Lời giải:

Ta có:

Cách 1: Sử dụng hằng đẳng thức số $7$:

$\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{x{y}^2}$

$=[(\sqrt{x}{)}^3-(\sqrt{y}{)}^3]+(\sqrt{x.xy}-\sqrt{y.xy})$

$=(\sqrt{x}-\sqrt{y}).[(\sqrt{x}{)}^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y}{)}^2]$

$+(\sqrt{x}.\sqrt{xy}-\sqrt{y}.\sqrt{xy})$

$=(\sqrt{x}-\sqrt{y}).[(\sqrt{x}{)}^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y}{)}^2]$

$+\sqrt{xy}.(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$=(\sqrt{x}-\sqrt{y}).[(\sqrt{x}{)}^2+\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y}{)}^2+\sqrt{xy}]$

$=(\sqrt{x}-\sqrt{y}).[(\sqrt{x}{)}^2+2\sqrt{x}.\sqrt{y}+(\sqrt{y}{)}^2]$

$=(\sqrt{x}-\sqrt{y}).(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2$.

 Cách 2: Nhóm các hạng tử:

$\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^{2}y}-\sqrt{x{y}^2}$

$=x\sqrt{x}-y\sqrt{y}+x\sqrt{y}-y\sqrt{x}$ (vì x, y>0)

$=(x\sqrt{x}+x\sqrt{y})-(y\sqrt{x}+y\sqrt{y})$

$=x(\sqrt{x}+\sqrt{y})-y(\sqrt{y}+\sqrt{x})$

$=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-y)$

$=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$=(\sqrt{x}+\sqrt{y}{)}^2(\sqrt{x}-\sqrt{y})$. 

Bài 56 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a) $3\sqrt{5};2\sqrt{6};\sqrt{29};4\sqrt{2}$

b) $6\sqrt{2};\sqrt{38};3\sqrt{7};2\sqrt{14}.$

Phương pháp giải:

+ Sử dụng quy tắc đưa thừa số vào trong dấu căn:

            Với $A\ge 0,B\ge 0$ ta có: $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}.$

            Với $A<0,B\ge 0$  ta có: $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$.

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: Với hai số $a,b$ không âm, ta có:

           $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Lời giải:

Ta có:

a) 

$\{\begin{array}{c}3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}\hfill \\ 2\sqrt{6}=\sqrt{2^2.6}=\sqrt{4.6}=\sqrt{24}\hfill \\ 4\sqrt{2}=\sqrt{4^2.2}=\sqrt{16.2}=\sqrt{32}\hfill \end{array}$

Vì: $24<29<32<45\iff \sqrt{24}<\sqrt{29}<\sqrt{32}<\sqrt{45}$

                                        $\iff 2\sqrt{6}<\sqrt{29}<4\sqrt{2}<3\sqrt{5}$

b)

$\{\begin{array}{c}6\sqrt{2}=\sqrt{6^2.2}=\sqrt{36.2}=\sqrt{72}\hfill \\ 3\sqrt{7}=\sqrt{3^2.7}=\sqrt{9.7}=\sqrt{63}\hfill \\ 2\sqrt{14}=\sqrt{2^2.14}=\sqrt{4.14}=\sqrt{56}\hfill \end{array}$

Vì: $38<56<63<72\iff \sqrt{38}<\sqrt{56}<\sqrt{63}<\sqrt{72}$

$\iff \sqrt{38}<2\sqrt{14}<3\sqrt{7}<6\sqrt{2}$

Bài 57 trang 30 SGK Toán 9 Tập 1 :Hãy chọn câu trả lời đúng.

$\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$ khi $x$ bằng

(A) $1$;

(B) $3$;

(C) $9$;

(D) $81$.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

Ta sử dụng:

+ $\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}$,   nếu $A,B\ge 0$.

+ $\sqrt{x}=a\iff (\sqrt{x}{)}^2=a^2,$ với $x,a\ge 0$.

Lời giải:
Ta có:

$\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$

$\sqrt{5^2.x}-\sqrt{4^2.x}=9$

$\iff 5\sqrt{x}-4\sqrt{x}=9$

$\iff (5-4)\sqrt{x}=9$

$\iff \sqrt{x}=9$

$\iff (\sqrt{x}{)}^2=9^2$

$\iff x=81$

Chọn đáp án D. $81$

Lý thuyết Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai ( tiếp theo )

1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với hai biểu thức A, B mà $AB\ge 0$ và $B\ne 0$, ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A\cdot B}}{\left|B\right|}.$

Ví dụ: Với $x\ne 0$ ta có: $\sqrt{\frac{11}{x}}=\frac{\sqrt{11.x}}{\left|x\right|}$

2. Trục căn thức ở mẫu 

Với hai biểu thức A, B mà $B>0,$ ta có

$\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}.$

Với các biểu thức A, B, C mà $A\ge 0$ và $A\ne B^2$, ta có

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^2}.$ 

Với các biểu thức A, B, C mà $A\ge 0$, $B\ge 0$ và $A\ne B$, ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}.$ 

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{3}{\sqrt{x}+2}$ với $x\ge 0$ 

Ta có: 

$\begin{array}{l}\frac{3}{\sqrt{x}+2}=\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\frac{3\sqrt{x}-6}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-4}\\ =\frac{3\sqrt{x}-6}{x-4}\end{array}$

CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn

 Sử dụng các công thức

* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức $A,B$ mà $B\ge 0$, ta có $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}=\{\begin{array}{l}A\sqrt{B}\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A\ge 0\\ -A\sqrt{B}\mathrm{k}\mathrm{h}\mathrm{i}A<0\end{array}$

* Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}$ với $A\ge 0$ và $B\ge 0$

+) $A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}$ với $A<0$ và $B\ge 0$

Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ

$0\le A<B\iff \sqrt{A}<\sqrt{B}$

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$.

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

+) Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B\ge 0;B\ne 0$, ta có $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}$

+) Với các biểu thức $A,B$ mà $B>0$, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$

+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A\ge 0,A\ne B^2$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C\left(\sqrt{A}-B\right)}{A-B^2};\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C\left(\sqrt{A}+B\right)}{A-B^2}$

+) Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A\ge 0,B\ge 0,A\ne B$ ta có

$\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{A-B}$; $\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B}$

Dạng 5: Giải phương trình

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện

+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản

+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.