Giải SGK Toán 9 Ôn tập chương 3 Hình học

Giải bài tập Toán lớp 9 Ôn tập chương 3 Hình học

Bài 88 trang 103 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy nêu tên mỗi góc trong các hình dưới đây:

(Ví dụ. góc trên hình 66b) là góc nội tiếp).

Lời giải

a) Góc ở tâm.

b) Góc nội tiếp.

c) Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

d) Góc có đỉnh bên trong đường tròn.

e) Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Bài 89 trang 104 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Trong hình 67, cung AmB có số đo là ${60}^0$. Hãy:

a) Vẽ góc ở tâm chắn cung AmB. Tính góc AOB.

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn cung AmB. Tính góc ACB.

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA. Tính góc ABt.

d) Vẽ góc ADB có đỉnh D ở bên trong đường tròn. So sánh $\widehat{ADB}$ với $\widehat{ACB}$.

e) Vẽ góc AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn (E và C cùng phía đối với AB). So sánh $\widehat{AEB}$ với $\widehat{ACB}$.

Lời giải:

a)

Góc ở tâm chắn cung AmB là góc AOB

b)

Góc nội tiếp chắn cung AmB là góc ACB

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AmB}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

c)

Góc tạo bởi tiếp tuyến Bt và dây cung BA là góc ABt

d)

Góc ADB có đỉnh D nằm bên trong đường tròn

Mà góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB

e)

Góc AEB có đỉnh E nằm bên ngoài đường tròn

Mà góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB

Bài 90 trang 104 SGK Toán lớp 9 Tập 2: a) Vẽ hình vuông cạnh 4cm.

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó. Tính bán kính R của đường tròn này.

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó. Tính bán kính r của đường tròn này.

Lời giải:

a)

Vẽ hình vuông ABCD có cạnh 4cm (như hình vẽ)

b)

Vẽ 2 đường chéo AC và BD. Chúng cắt nhau tại O.

Đường tròn (O; OA) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Xét tam giác ACB vuông tại B (do ABCD là hình vuông)

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2\\ \Rightarrow AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}\\ \Rightarrow AC=\sqrt{4^2+4^2}\\ \Rightarrow AC=4\sqrt{2}\left(cm\right)\end{array}$

$\Rightarrow R=OA=\frac{AC}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2} \left(cm\right)$

c)

Kẻ OH vuông góc với AB tại H

Xét tam giác OAB có:

OB = OA (tính chất hình vuông)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

Nên OH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Do đó, H là trung điểm của AB

Xét tam giác CAB có:

O là trung điểm của AC (tính chất hình vuông)

H là trung điểm của AB  (chứng minh trên)

Do đó, OH là đường trung bình của tam giác CAB

$\Rightarrow OH=\frac{AD}{2}=\frac{4}{2}=2\left(cm\right)$

Hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD có tâm O và bán kính r = OH = 2cm.

Bài 91 trang 104 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Trong hình 68, đường tròn tâm O có bán kính R = 2cm, $\widehat{AOB}={75}^o$.

a) Tính sđ .

b) Tính độ dài hai cung AqB và ApB.

c) Tính diện tích hình quạt tròn OaqB.

Lời giải:

a)

Góc AOB là góc ở tâm chắn cung AqB

Bài 92 trang 104 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy tính diện tích miền gạch sọc trong các hình 69, 70, 71 (đơn vị độ dài: cm).

Lời giải:

Hình 69:

Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

Đo đạc ta có: R = 1,5cm, r = 1cm

Hình 70

Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn lớn và đường tròn nhỏ

Đo đạc ta có: R = 1,5cm, r = 1cm, $n={80}^0$

Hình 71

Diện tích hình vuông là: ${(1,5+1,5)}^2=3^2=9\left(c{m}^2\right)$

Diện tích hình tròn có thể được ghép bởi 4 hình quạt trắng bằng nhau là: $\pi .1,5^2\left(c{m}^2\right)$

Theo hình vẽ, diện tích phần gạch sọc bằng diện tích hình vuông trừ diện tích hình tròn nên ta có diện tích phần gạch sọc là:

$S=9-\pi .1,5^2=1,94\left(c{m}^2\right)$

Bài 93 trang 104 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 1cm. Hỏi:

a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng ?

b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng ?

c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu ?

Lời giải:

Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.

Chu vi bánh xe C là: 2. $\mathrm{\pi }$.1 = 6,28 (cm)

Chu vi bánh xe B là: 6,28.2 = 12,56 (cm)

Chu vi bánh xe A là: 6,28.3 = 18,84 (cm)

a)

Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là:

60 . 6,28 = 376,8 (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:

376,8 : 12,56 = 30 (vòng)

b)

Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là:

80 . 18,84 = 1507,2 (cm)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là:

1507,2 : 12,56 = 120 (vòng)

c)

Bán kính bánh xe B là: 12,56 : (2$\mathrm{\pi }$) = 12,56 : 6,28 = 2(cm)

Bán kính bánh xe A là: 18,84 : (2$\mathrm{\pi }$ ) = 18,84 : 6,28 = 3(cm)

Bài 94 trang 105 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường THCS theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (h.72). Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Có phải $\frac{1}{2}$ số học sinh là học sinh ngoại trú không ?

b) Có phải $\frac{1}{3}$ số học sinh là học sinh bán trú không?

c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm?

d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800 em.

Lời giải:

a)

Ta có: $\widehat{O_2}={90}^o=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$ nên ta kết luận có $\frac{1}{2}$ số học sinh là học sinh ngoại trú.

b)

Ta có:

 $\widehat{O_3}={180}^o-\widehat{O_2}-\widehat{O_1}={180}^o-{90}^o-{30}^o={60}^o=\frac{1}{3}\widehat{AOB}$

Nên ta kết luận có $\frac{1}{3}$ số học sinh là học sinh bán trú.

c)

Tỉ lệ phần trăm số học sinh nội trú chiếm là:

$\frac{\widehat{O_1}}{\widehat{AOB}}.100\%=\frac{30}{180}.100\%=16,7\%$

d)

Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh nội trú, ngoại trú, bán trú. Ta có:

Có $\frac{1}{2}$ số học sinh là học sinh ngoại trú nên $y=\frac{1}{2}.1800=900$ (em)

Có $\frac{1}{3}$ số học sinh là học sinh bán trú nên $z=\frac{1}{3}.1800=600$ (em)

Còn lại là học sinh nội trú : 1800 – 900 – 600 = 300 (em).

Bài 95 trang 105 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác ${90}^0$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) CD = CE ;    

b) Tam giác BHD cân ;    

c) CD = CH.

Lời giải:

a)

AD vuông góc với BC tại A’ nên $\widehat{AA‘B}={90}^o$

Vì $\widehat{AA‘B}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn hai cung AB và DC nên ta có: 

Mặt khác, BE vuông góc với AC tại B’ nên $\widehat{AB‘B}={90}^o$

Vì $\widehat{AB‘B}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn hai cung AB và CE nên ta có:

b)

Góc EBC là góc nội tiếp chắn cung BC

Góc CBD là góc nội tiếp chắn cung DC

Mà:

Xét tam giác BHD có:

BA’ vuông góc với HD tại A’  nên BA’ là đường cao

Mà: $\widehat{EBC}=\widehat{CBD}$ (chứng minh trên) nên BA’ cũng là đường phân giác

Do đó, tam giác BHD cân tại B.

c)

Tam giác BHD cân tại B nên BA’ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến và cũng là đường trung trực của đoạn thẳng HD

Điểm C nằm trên đường thẳng BA’

$\Rightarrow CH=CD$

Bài 96 trang 105 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) OM đi qua trung điểm của dây BC.

b) AM là tia phân giác của góc OAH.

Lời giải:

a)

Vì AM là tia phân giác của góc BAC (gt) nên ta có: $\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$

Mà góc BAM là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BM, góc MAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ MC

$\Rightarrow \stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{MC}$

Do đó, điểm M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC

Từ đó, ta suy ra OM vuông góc với BC và OM đi qua trung điểm của BC (định lí).

b)

Ta có:

OM vuông góc với BC  (chứng minh trên)

AH vuông góc với BC (gt)

Do đó, OM // AH

$\Rightarrow \widehat{HAM}=\widehat{AMO}$ (hai góc so le trong) (1)

Xét tam giác OAM có:

OA = OM (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác OAM cân tại O .

$\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{AMO}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{HAM}=\widehat{OAM}$

Do đó, AM là tia phân giác của góc OAH.

Bài 97 trang 105 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

a) ABCD là một tứ giác nội tiếp;

b) $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

c) CA là tia phân giác của góc SCB.

Lời giải:

a)

Tam giác ABC vuông tại A (gt)$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

Do đó, A thuộc đường tròn đường kính BC (1)

Mặt khác, D thuộc đường tròn đường kính MC

$\Rightarrow \widehat{BDC}=\widehat{MDC}={90}^o$

Do đó, D cũng thuộc đường tròn đường kính BC (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Do đó, tứ giác ABCD nội tiếp.

b)

Xét đường tròn đường kính BC:

Góc ABD và góc ACD đều là góc nội tiếp chắn cung AD

$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACD}$

c)

Xét đường tròn đường kính MC có:

Góc SCM và góc SDM đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung SM

$\Rightarrow \widehat{SCM}=\widehat{SDM}\Rightarrow \widehat{SCM}=\widehat{ADB}$

Xét đường tròn đường kính BD có:

Góc ADB và góc ACB đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung AB

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\widehat{SCM}=\widehat{ACB}$

Do đó, CA là tia phân giác của góc SCB.

Bài 98 trang 105 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn đó.

Lời giải:

Phần thuận:

Giả sử M là trung điểm của dây AB. Ta có OM vuông góc với AB (định lí)

Khi B di động trên (O), điểm M luôn nhìn OA cố định dưới góc vuông, vậy M thuộc đường tròn đường kính OA.

Phần đảo:

Lấy điểm M’ bất kì trên đường tròn đường kính OA.

Nối M’ với A, đường thẳng M’A cắt đường tròn (O) tại B’. Nối M’ với O ta có

Mà OM’ là một phần của đường kính nên M’ là trung điểm của AB’

Kết luận: Tập hợp các trung điểm của dây AB là đường tròn đường kính OA.

Bài 99 trang 105 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, $\widehat{BAC}={80}^o$, đường cao AH có độ dài là 2cm.

Lời giải:

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng tia Bx sao cho$\widehat{CBx}={80}^o$

+ Dựng tia By vuông góc với Bx tại B

+ Dựng đường trung trực BC cắt By tại O

+ Dựng đường tròn (O; OB)

+ Cung lớn BC chính là cung chứa góc ${80}^0$ trên đoạn BC

+ Lấy D là trung điểm BC. Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 2cm.

+ Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được tam giác ABC cần dựng

Chứng minh:

Theo cách dựng ta có BC = 6cm.

A thuộc cung chứa góc ${80}^0$ dựng trên đoạn BC $\Rightarrow \widehat{BAC}={80}^o$

Mặt khác, A thuộc d và d song song với BC và cách BC một khoảng 2cm, AH vuông góc với BC tại H

Vậy tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.