Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN  

Khái quát nội dung tài liệu chuyên đề phương trình nghiệm nguyên:
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ … để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là: Phương pháp dùng tính chất chia hết; Phương pháp xét số dư từng vế;  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức; Phương pháp dùng tính chất của số chính phương; Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.
B. Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. Phương pháp dùng tính chia hết
+ Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn.
+ Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số.
+ Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
II. Phương pháp sử dụng tính chẵn lẻ của ẩn hoặc xét số dư từng vế
+ Dạng 1: Sử dụng tính chẵn lẻ.
+ Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ và xét số dư từng vế.
[ads]
III. Phương pháp dùng bất đẳng thức
+ Dạng 1: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển.
+ Dạng 2: Sắp xếp thứ tự các ẩn.
+ Dạng 3: Chỉ ra nghiệm nguyên.
+ Dạng 4: Sử dụng điều kiện ∆ ≥ 0 để phương trình bậc hai có nghiệm.
IV. Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
+ Dạng 1: Dùng tính chất về chia hết của số chính phương.
+ Dạng 2: Biến đổi phương trình về dạng trong đó là các đa thức hệ số nguyên là số nguyên dương, k là số tự nhiên.
+ Dạng 3: Xét các số chính phương liên tiếp.
+ Dạng 4: Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương.
+ Dạng 5: Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên liên tiếp đó bằng 0.
+ Dạng 6: Sử dụng tính chất: Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.
V. Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
+ Dạng 1: Phương pháp lùi vô hạn.
+ Dạng 2: Nguyên tắc cực hạn.

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên $3x + 17y = 159$(1)

Hướng dẫn giải 
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên $17y⋮ 3$=> y $⋮$3 (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).  

Đặt y = 3t (t $\in$Z) thay vào phương trình ta được 3x + 17.3t = 159 <=> x + 17t = 53
Do đó: $\left\{\begin{array}{l}x = 53 – 17t\\ y = 3t\end{array}\right.(t \in Z)$ Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho  

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53 – 17t, 3t) với t là số nguyên tùy ý.

Xem thêm