Giải Toán 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 22 sgk Toán 8 Tập 1: Tính nhanh $15.64+25.100+36.15+60.100$

Phương pháp giải: Nhóm hạng tử $1$ với $3$, hạng tử $2$ với $4$. Tìm nhân tử chung sau đó phân tích thành nhân tử.

Lời giải:

$15.64+25.100+36.15+60.100$

$=(15.64+36.15)+(25.100+60.100)$

$=15.(64+36)+100.(25+60)$

$=15.100+100.85$

$=100.(15+85)$

$=100.100$

$=10000$

Trả lời câu hỏi 2 trang 22 sgk Toán 8 Tập 1: Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài: Hãy phân tích đa thức $x^4-9x^3+x^2-9x$ thành nhân tử.

Bạn Thái làm như sau:

$x^4-9x^3+x^2-9x$

$=x(x^3-9x^2+x-9).$

Bạn Hà làm như sau:

$x^4-9x^3+x^2-9x$

$=(x^4-9x^3)+(x^2-9x)$

$=x^3(x-9)+x(x-9)$

$=(x-9)(x^3+x).$

Bạn An làm như sau:

$x^4-9x^3+x^2-9x$

$=(x^4+x^2)-(9x^3+9x)$

$=x^2(x^2+1)-9x(x^2+1)$

$=(x^2-9x)(x^2+1)$

$=x(x-9)(x^2+1).$

Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn.

Phương pháp giải: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Lời giải:

Lời giải của các bạn đều thỏa mãn yêu cầu đề bài là phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên lời giải của bạn An cho kết quả ở dạng tốt nhất với 3 nhân tử.

Câu hỏi và bài tập (trang 22, 23 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 47 trang 22 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích cá đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2-xy+x-y$;

b) $xz+yz-5(x+y)$;

c) $3x^2-3xy-5x+5y$.

Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Cách 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên với nhau và hai hạng tử cuối với nhau

Cách 2: Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 3, nhóm hạng tử thứ 2 và thứ 4

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& x^2-xy+x-y\\ & =(x^2-xy)+\left(x-y\right)\\ & =x\left(x-y\right)+\left(x-y\right)\\ & =\left(x-y\right)\left(x+1\right)\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}{x}^2-xy+x-y\\ =\left(x^2+x\right)+\left(-xy-y\right)\\ =\left(x.x+x\right)-\left(xy+y\right)\\ =x\left(x+1\right)-y\left(x+1\right)\\ =\left(x+1\right)\left(x-y\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& xz+yz-5\left(x+y\right)\\ & =\left(xz+yz\right)-5\left(x+y\right)\\ & =z\left(x+y\right)-5\left(x+y\right)\\ & =\left(x+y\right)\left(z-5\right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& 3x^2-3xy-5x+5y\\ & =(3x^2-3xy)+\left(-5x+5y\right)\\ & =3x\left(x-y\right)-5\left(x-y\right)\\ & =\left(x-y\right)\left(3x-5\right)\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}3x^2-3xy-5x+5y\\ =\left(3x^2-5x\right)+\left(-3xy+5y\right)\\ =x\left(3x-5\right)-\left(3xy-5y\right)\\ =x\left(3x-5\right)-y\left(3x-5\right)\\ =\left(3x-5\right)\left(x-y\right)\end{array}$ 

Bài 48 trang 22 sgk Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^2+4x-y^2+4$;

b) $3x^2+6xy+3y^2-3z^2$;

c) $x^2-2xy+y^2-z^2+2zt-t^2$.

Phương pháp giải: – Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử và phương pháp dùng hằng đẳng thức.

– Áp dụng các hằng đẳng thức:

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

$A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)$

Lời giải:

a)

$\begin{array}{rl}& x^2+4x-y^2+4\\ & =(x^2+4x+4)-y^2\\ & =\left(x^2+2.x.2+2^2\right)-y^2\\ & ={\left(x+2\right)}^2-y^2\\ & =\left(x+2-y\right)\left(x+2+y\right)\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& 3x^2+6xy+3y^2-3z^2\\ & =3.\left(x^2+2xy+y^2-z^2\right)\\ & =3.\left[\left(x^2+2xy+y^2\right)-z^2\right]\\ & =3.\left[{\left(x+y\right)}^2-z^2\right]\\ & =3\left(x+y-z\right)\left(x+y+z\right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{rl}& x^2-2xy+y^2-z^2+2zt-t^2\\ & =\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(-z^2+2zt-t^2\right)\\ & =\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(z^2-2zt+t^2\right)\\ & ={\left(x-y\right)}^2-{\left(z-t\right)}^2\\ & =\left[\left(x-y\right)-\left(z-t\right)\right].\left[\left(x-y\right)+\left(z-t\right)\right]\\ & =\left(x-y-z+t\right)\left(x-y+z-t\right)\end{array}$

Bài 49 trang 22 sgk Toán 8 Tập 1:

a) $37,5.6,5-7,5.3,4-6,6.7,5+3,5.37,5$

b) ${45}^2+{40}^2-{15}^2+80.45$.

Lời giải:
a)

Phương pháp giải: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Nhóm hạng tử thứ 1 và thứ 4, nhóm hạng tử thứ 2 và thứ 3.

Lời giải: 

b) 

Phương pháp giải: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhóm và phương pháp dùng hằng đẳng thức.

$\begin{array}{rl}& {\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2\\ & A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)\end{array}$

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& {45}^2+{40}^2-{15}^2+80.45\\ & =\left({45}^2+80.45+{40}^2\right)-{15}^2\\ & =\left({45}^2+\mathrm{2.45.40}+{40}^2\right)-{15}^2\\ & ={\left(45+40\right)}^2-{15}^2={85}^2-{15}^2\\ & =\left(85-15\right)\left(85+15\right)\\ & =70.100=7000\end{array}$

Bài 50 trang 23 sgk Toán 8 Tập 1: Tìm $x$, biết:

a) $x(x-2)+x-2=0$;

b) $5x(x-3)-x+3=0$.

Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp nhóm để phân tích vế trái thành tích $A.B=0$, khi đó hoặc $A=0$ hoặc $B=0$ ($A,B$ là các đa thức).

Chú ý: có nhân tử chung $x-2$

Lời giải: 

a)

$x(x-2)+x-2=0$

$(x-2)(x+1)=0$

$\Rightarrow x-2=0$ hoặc $x+1=0$

+) Với $x-2=0\Rightarrow x=2$

+) Với $x+1=0\Rightarrow x=-1$

Vậy $x=-1;x=2.$

b)

$5x(x-3)-x+3=0$

$5x(x-3)-(x-3)=0$

$(x-3)(5x-1)=0$

$\Rightarrow x-3=0$ hoặc $5x-1=0$

+) Với $x-3=0\Rightarrow x=3$

+) Với $5x-1=0\Rightarrow 5x=1$ $\Rightarrow x=\frac{1}{5}$

Vậy $x=\frac{1}{5};x=3.$

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

I. Các kiến thức cần nhớ:

1. Phương pháp: Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

– Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

2. Chú ý:

– Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.

– Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).

– Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.

– Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

Ví dụ: $x^2+xy-6x-6y$$=x\left(x+y\right)-6\left(x+y\right)$$=\left(x+y\right)\left(x-6\right)$

hoặc  $x^2+xy-6x-6y$$=\left(x^2-6x\right)+\left(xy-6y\right)$$=x\left(x-6\right)+y\left(x-6\right)$$=\left(x-6\right)\left(x+y\right)$

Các cách làm như trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

II. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phương pháp: Sử dụng cách nhóm hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 2: Tìm $\mathbf{x}$ .

Phương pháp: Sử dụng cách nhóm hạng tử để biến đổi về dạng tìm $x$ thường gặp.

Chẳng hạn $A.B=0\iff [\begin{array}{l}A=0\\ B=0\end{array}$

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp: + Biến đổi biểu thức để có thể sử dụng được điều kiện của đề bài.

+ Từ đó tính giá trị của biểu thức.