Tài liệu Biến đổi các phân thức hữu tỉ – Đại số toán 8 gồm các nội dung sau:
I. Phương pháp giải
– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn
II. Một số ví dụ
– Gồm 5 ví dụ minh họa đa dạng cho dạng bài tập Biến đổi các phân thức hữu tỉ đáng nhớ có lời giải chi tiết
III. Bài tập vận dụng
– Gồm 26 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh rèn luyện cách giải các bài tập Biến đổi các phân thức hữu tỉ
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. Phương pháp giải
· Một biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ.
· Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.
· Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.
II. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức:
Giải
Tìm cách giải. Đối với những biểu thức phức tạp, nhiều tầng lớp phân thức, chúng ta nên biến đổi dần dần ở tử thức của từng phân thức trước. Sau đó được biểu thức đơn giản hơn, rồi rút gọn tiếp.
Trình bày lời giải
Ta có:
Ví dụ 2. Cho biểu thức
a) Rútt gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
Giải
Tìm cách giải. Những biểu thức có nhiều ngoặc, chúng ta thực hiện trong ngoặc tròn trước, sau đó thực hiện đến ngoặc vuông. Khi thực hiện chúng ta nên rút gọn biểu thức nếu có thể nhằm đưa về những phân thức đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có
\[A = \left[ {\frac{3}{2} – \frac{{{x^6} + {x^4} – {x^4} – 1}}{{{x^2} + 1}}.\frac{{{x^3} – 4{x^2} + x – 4}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {{x^6} – 1} \right)}}} \right]:\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)}}\]
\[ = \left[ {\frac{3}{2} – \frac{{{x^6} – 1}}{{{x^2} + 1}}\frac{{\left( {x – 4} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {x + 6} \right)\left( {{x^6} – 1} \right)}}} \right].\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}\]
\[ = \left[ {\frac{3}{2} – \frac{{x – 4}}{{x + 6}}} \right].\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}\]
\[ = \frac{{3x + 18 – 2x + 8}}{{2\left( {x + 6} \right)}}.\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}}\]
\[ = \frac{{x + 26}}{{2\left( {x + 6} \right)}}\frac{{3\left( {x + 6} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 26} \right)}} = \frac{{3x – 6}}{{2x + 6}}\]
b) Tập xác định \[x \notin \left\{ {1;2; – 3; – 6; – 26} \right\}\]
\[\begin{array}{l}A \in Z\\ \Rightarrow 2A = \frac{{6x – 12}}{{2x + 6}} = \frac{{3x – 6}}{{x + 3}}\\ = 3 – \frac{{15}}{{x + 3}} \in Z\end{array}\]
Suy ra các trường hợp sau:
|
\[x + 3\] |
1 |
-1 |
3 |
-3 |
5 |
-5 |
15 |
-15 |
|
x |
-2 |
-4 |
0 |
-6 |
2 |
-8 |
12 |
-18 |
So sánh với tập xác định và thử lại thì \[x \in \left\{ { – 2; – 4;0; – 8;12; – 18} \right\}\] thì \[A \in Z\]
Ví dụ 3. Cho biểu thức \[M = \left( {\frac{{{a^2} + a – 2}}{{{a^{n + 1}} – 3{a^n}}}} \right)\left[ {\frac{{{{\left( {a + 2} \right)}^2} – {a^2}}}{{4{a^2} – 4}} – \frac{3}{{{a^2} – a}}} \right]\left( {n \in {N^*}} \right)\]
a) Rút gọn M.
b) Với \[a > 2\]. Chứng minh rằng: \[0 < M < 1\]
Giải
a, Ta có:
\[M = \frac{{\left( {a – 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{a^n}\left( {a – 3} \right)}}.\left[ {\frac{{4a + 4}}{{4\left( {a + 1} \right)\left( {a – 1} \right)}} – \frac{3}{{a\left( {a – 1} \right)}}} \right]\]
\[ = \frac{{\left( {a – 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{a^n}\left( {a – 3} \right)}}\left[ {\frac{{4a}}{{4a\left( {a – 1} \right)}} – \frac{{12}}{{4a\left( {a – 1} \right)}}} \right]\]
\[ = \frac{{\left( {a – 1} \right)\left( {a + 2} \right)}}{{{a^n}\left( {a – 3} \right)}}.\left[ {\frac{{a – 3}}{{a\left( {a – 1} \right)}}} \right] = \frac{{a + 2}}{{{a^{n + 1}}}}\]
b) Ta có: \[M = \frac{{a + 2}}{{{a^{n + 1}}}} < \frac{{a + a}}{{{a^{n + 1}}}}\] (vì \[a < 2\])
\[ \Rightarrow M < \frac{{2a}}{{{a^{n + 1}}}} = \frac{2}{{{a^n}}} < \frac{2}{{{2^n}}} < 1\]
mặt khác: \[a + 2 > 0;{a^{n + 1}} > 0 \Rightarrow M > 0\]
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1} \right){{\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{y}} \right)}^2}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} – \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)}}\]
Giải
Ta có:
\[P = \frac{{\frac{{{x^2} + {y^2} + xy}}{{xy}}{{\left( {\frac{{x – y}}{{xy}}} \right)}^2}}}{{\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}}}\]
\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}:\frac{{{x^4} + {y^4} – \left( {{x^2} + {y^2}} \right)xy}}{{{x^2}{y^2}}}\]
\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}:\frac{{{x^4} + {y^4} – {x^3}y – {y^3}x}}{{{x^2}{y^2}}}\]
\[ = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\frac{{{x^2}{y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {{x^3} – {y^3}} \right)}}\]
\[\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + xy + {y^2}}}{{xy}}.\frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{{x^2}{y^2}}}.\frac{{{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\\ = \frac{1}{{xy}}\end{array}\]
Ví dụ 5. Giả sử x, y, z là các số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức:
\[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + y\left( {\frac{1}{z} + \frac{1}{x}} \right) + z\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = – 2\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\end{array} \right.\]
Hãy tính giá trị của biểu thức: \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\]
Giải
Tìm cách giải. Bài toán này thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện của biến số. Quan sát, nhận thấy bài toán có hai điều kiện nhưng có ba biến số (số biến nhiều hơn số điều kiện). Do điều kiện hai đơn giản, không phân tích tiếp được. Với điều kiện thứ nhất, chúng ta biến đổi và nhận thấy phân tích thành nhân tử được, tìm được mối quan hệ giữa hai trong ba biến. Từ đó tìm được cách giải sau.
Trình bày lời giải.
Từ đẳng thức: \[x\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) + y\left( {\frac{1}{z} + \frac{1}{x}} \right) + z\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = – 2\]
Ta có: \[2xyz + {x^2}z + {x^2}y + {y^2}z + {z^2}y + {z^2}x = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {xyz + {x^2}z} \right) + \left( {xyz + {y^2}z} \right) + \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right) + \left( {{z^2}x + {z^2}y} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\y + z = 0\\z + x = 0\end{array} \right.\]
Không mất tổng quát, giả sử \[x + y = 0 \Rightarrow {x^3} + {y^3} = 0\]
Từ \[{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1\] thì \[{z^3} = 1 \Rightarrow z = 1\]
Vậy \[P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{{x + y}}{{xy}} + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1\]
III. Bài tập vận dụng
1.1. Rút gọn
\[A = \left( {a + \frac{2}{{0,5a + 1}}} \right):\frac{{{a^3} – 8}}{{a + 2}} + \frac{2}{{2a – {a^2}}}\]
1.2. Rút gọn biểu thức:
a) \[A = \left( {1 + \frac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{2bc}}} \right).\frac{{1 + \frac{a}{{b + c}}}}{{1 – \frac{a}{{b + c}}}}.\frac{{{b^2} + {c^2} – {{\left( {b – c} \right)}^2}}}{{a + b + c}}\]
b) \[B = \left( {\frac{{{y^2} – yz + {z^2}}}{x} + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} – \frac{3}{{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}}}} \right).\frac{{\frac{2}{y} + \frac{2}{z}}}{{\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}}} + {\left( {x + y + z} \right)^2}\]
1.3. Cho \[A = \left( {\frac{1}{3} + \frac{3}{{{x^2} – 3x}}} \right):\left( {\frac{{{x^2}}}{{27 – 3{x^2}}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)\]
a) Rút gọn A
b) Tìm x để \[A < – 1\]
1.4. Cho biểu thức \[M = \frac{{{x^3} + 2{x^2} – x – 2}}{{{x^3} – 2{x^2} – 3x}}\left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} – {x^2}}}{{4{x^2} – 4}} – \frac{3}{{{x^2} – x}}} \right]\]
Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi \[M = 3\]
1.5. Cho biểu thức: \[A = \left( {\frac{x}{{{x^2} – 4}} + \frac{2}{{2 – x}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right):\left( {x – 2 + \frac{{10 – {x^2}}}{{x + 2}}} \right)\]
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A. Biết \[\left| x \right| = \frac{1}{2}\]
c) Tìm giá trị của x để \[A < 0\]
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
1.6. Cho \[Q = \frac{{12x – 45}}{{{x^2} – 7x + 12}} – \frac{{x + 5}}{{x – 4}} + \frac{{2x + 3}}{{3 – x}}\]
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị Q tại \[\left| x \right| = 3\]
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
1.7. Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điêu kiện: \[x > 0,y < 0\] và \[x + y = 1\].
a) Rút gọn biểu thức: \[A = \frac{{y – x}}{{xy}}:\left[ {\frac{{{y^2}}}{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}} – \frac{{2{x^2}y}}{{{{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)}^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{y^2} – {x^2}}}} \right]\]
b) Chứng minh rằng: \[A = – 4\]
1.8. Cho x, y, z thỏa mãn \[x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\] và \[xyz = 1\]
Tính giá trị \[M = \frac{{{x^6} + {y^6} + {z^6}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}\]
1.9. Cho \[a \notin \left\{ {0;1; – 1} \right\}\] và
\[{x_1} = \frac{{a – 1}}{{a + 2}};{x_2} = \frac{{{x_1} – 1}}{{{x_1} + 1}};{x_3} = \frac{{{x_2} – 1}}{{{x_2} + 1}};…\]
Tìm a nếu \[{x_{2020}} = 3\]
1.10. Cho \[M = \frac{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^6} – \left( {{x^6} + \frac{1}{{{x^6}}}} \right) – 2}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^3} + {x^3} + \frac{1}{{{x^3}}}}}\]
a) Rút gọn M.
b) Cho \[x > 0\], tìm giá trị nhỏ nhất của M.
1.11. Cho biểu thức \[A = \left[ {\left( {\frac{{1 – {x^3}}}{{1 – x}} + x} \right).\left( {\frac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} – x} \right)} \right]:\frac{{{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}\]
Chứng tỏ rằng biểu thức A dương với mọi \[x \ne \pm 1\]
1.12. Cho \[P = \left[ {\frac{{{x^2} – {y^2}}}{{{x^2} + 2xy + {y^2}}} + \frac{2}{{xy}}:{{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)}^2}} \right].\frac{1}{{x – y}}\]
Và \[Q = \frac{1}{{x + y}} + \frac{{2xy}}{{\left( {{x^2} – {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{3}{{{x^2} – 2x + 2}}\]
Với giá trị nào của x; y thì P – Q đạt giá trị nhỏ nhất.
Xem thêm