50 Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác (có đáp án)- Toán 8

Bài tập Toán 8 Chương 3 Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

A. Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho Δ ABC vuông tại A có AB = 3 cm, BC = 5 cm, AD là đường phân giác của Δ ABC. Chọn phát biểu đúng?

A. BD = $\frac{20}{7}$ cm; CD = $\frac{15}{7}$ cm

B. BD = $\frac{15}{7}$ cm; CD = $\frac{20}{7}$ cm

C. BD = 1,5 cm; CD = 2,5 cm

D. BD = 2,5 cm; CD = 1,5 cm

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AC = $\sqrt{(B{C}^2 – A{B}^2)}$ = $\sqrt{(5^2 – 3^2)}$ = 4( cm )

Δ ABC, AD là đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ ( D ∈ BC )

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Khi đó ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{(DB + DC)}=\frac{AB}{\left(AB+AC\right)}$

hay $\frac{DB}{5}=\frac{3}{3+4}$ ⇒ DB = $\frac{15}{7}$ cm; DC = $\frac{20}{7}$ ( cm )

Chọn đáp án B.

Bài 2: Cho Δ ABC có BD là đường phân giác, AB = 8 cm, BC = 10 cm, AC = 6cm. Chọn phát biểu đúng?

A. DA = $\frac{8}{3}$ cm, DC = $\frac{10}{3}$ cm

B. DA = $\frac{10}{3}$ cm, DC = $\frac{8}{3}$ cm

C. DA = 4 cm, DC = 2 cm

D. DA = 3,5 cm, DC = 2,5 cm

Lời giải:

BD là đường phân giác của Δ ABC

Ta có: $\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}\iff \frac{DA}{(DA + DC)}=\frac{AB}{(AB + BC)}$

Hay $\frac{DA}{6}=\frac{8}{(8 + 10)}\Rightarrow DA=\frac{\left(6.8\right)}{18}=\frac{8}{3}$ ( cm ); DC = $\frac{10}{3}$ (cm)

Chọn đáp án A.

Bài 3: Cho Δ ABC có $\hat{A}$ = 90^o, AD là đường phân giác. Chọn phát biểu đúng?

A. $\frac{1}{AD}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}$

B. $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}$

C. $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{2}{AD}$

D. $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}$ = 1

Lời giải:

Δ ABC có AD là đường phân giác

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ và $\frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}$

+ AC là phân giác góc ngoài của Δ ABD

Có: $\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}$

+ AB là phân giác góc ngoài của Δ ADC

Có: $\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}$

Khi đó ta có: $\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}$ = 1 ⇒ $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho Δ ABC. Tia phân giác góc trong của góc A cắt BC tại D. Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21. Tính kết quả đúng của độ dài cạnh x ?

A. x = 14   

B. x = 12

C. x = 8  

 D. x = 6

Lời giải:

Δ ABC có AD là phân giác trong của góc A.

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{(BC – DB)}=\frac{AB}{AC}$

Hay $\frac{9}{(21 – 9)}=\frac{6}{x}\Rightarrow x=\frac{(12.6)}{9}$ = 8

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho Δ ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D. Tỉ số diện tích của Δ ABD và Δ ACD là?

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{3}$

Lời giải:

Đường phân giác $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D

Ta có: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

Chọn đáp án C.

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 4cm ; AC = 9cm.Gọi AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$. Tính tỉ số $\frac{CD}{BD}$

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ABC ta có:

Chọn đáp án B

Bài 7: Cho tam giác ABC có AC = 4cm, AB = 6cm và BC = 8cm. Gọi AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$. Tính BD?

A. 4,2 cm    

B. 4,8cm

C. 5,2cm    

D. 5,4cm

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 10cm . Gọi AD là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$. Tính CD?

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC nên:

Suy ra : DB = DC.

Mà DB + DC = BC nên:

Chọn đáp án C

Bài 9: Cho tam giác ABC có AD là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$. Biết AB = 3cm, BD = 4cm, CD = 6cm. Tính AC?

A. 4cm    

B. 5cm

C. 6cm    

D. 4,5cm

Lời giải:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Suy ra:

Chọn đáp án D

Bài 10: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của góc $\widehat{BAC}$.

Biết AB = 12 cm; AC = 8cm và BC = 15cm. Tính tỉ số $\frac{BM}{BD}$

Lời giải:

Do M là trung điểm của BC nên:

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có:

Suy ra:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Suy ra:

Do đó:

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luận có giải

Bài 1: Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là đường phân giác của tam giác ABC, khi đó  ?

Lời giải

Bài 2 Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là đường phân giác của tam giác ABC. Xét các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:

Lời giải

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên: 

Vậy chỉ có 2 khẳng định đúng.

Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. Khi đó AD = ?

Lời giải

Mà tam giác ABC cân tại A nên AC = AB = 15cm

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Độ dài AD là?

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago có: BC² = AB² + AC²

Bài 5 Cho tam giác ABC,  , AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H Є BC). Tia phân giác của   cắt HB tại D. Tia phân giác của  cắt HC tại E. Tính DH?

Lời giải

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

⇔ 15² + 20² = BC² ⇒ BC = 25

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + HB²

⇔ 15² = 12² + HB²

⇒ HB² = 81 ⇒ HB = 9

⇒ HC = BC – HB = 25 – 9 = 16

Vì AD là phân giác của tam giác ABH nên:

Bài 6 Vẽ tam giác ABC, biết:

AB = 3cm; AC = 6cm; $\hat{A}$ = 100^o.

Dựng đường phân giác AD của góc A (bằng compa, thước thẳng), đo độ dài các đoạn thẳng DB, DC rồi so sánh các tỉ số

(h.20).

Lời giải

BD ≈ 2 cm; DC ≈ 4 cm

Bài 7 Xem hình 23a.

a) Tính $\frac{x}{y}$.

b) Tính x khi y = 5.

Lời giải

a) Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

Bài 8 Tính x trong hình 23b.

Lời giải

Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác, ta có

Bài 9 Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

 

Hình 24

Lời giải:

Bài 10 Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và diện tích của tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}$.

Lời giải:

Kẻ AH là đường cao của tam giác ABC

Ta có:

Vậy tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD bằng $\frac{m}{n}$.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC (h.25).

Bài 2 Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm và BC = 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Bài 3 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự tại E và F (h.26). Chứng minh rằng OE = OF

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích tam giác ABC là S.

b) Khi cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi rằng diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?

Bài 5 Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau:

Hình 27

Bài 6 Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những giá trị từ các kích thước đã cho.

Bài 7 Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

 

Bài 8 Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n và AD là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng .

Bài 9 Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC. (h. 25)

Bài 10 Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự là E và F.

Chứng minh rằng:

a) $\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}$;     

b) $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}$;    

c) $\frac{DE}{DA}=\frac{CF}{CB}$.

B. Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Tổng quát: Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có: DB/DC = AB/AC hay DB/AB = DC/AC

Ví dụ: Cho Δ ABC có AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC ) sao cho DB = 2cm, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh DC.

Hướng dẫn:

Áp dụng định lí trên ta có: Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có DB/AB = DC/AC hay 2/3 = DC /4 ⇒ DC = (2.4)/ 3 = 8/3 = 2,(6 ) ( cm )

2. Chú ý

Định lí vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

AE’ là phân giác của góc BAxˆ ( AB ≠ AC )

Ta có: AB/AC = E’B/E’C hay E’B/AB = E’C/AC