50 Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung (có đáp án)- Toán 11

Bài tập Toán 8 Chương 1 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

A. Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 3:  Tính hợp lí                                             

Bài 4:  Tính giá trị biểu thức

Bài 5: Tìm x, biết

Bài 6: 

a) ${15}^n+{15}^{n+2}$ chia hết cho 113 với mọi số tự nhiên  

b) $n^4-n^2$ chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên  

ĐS:

B. Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

I. Lý thuyết

– Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

– Phương pháp đặt nhân tử chung là một phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử có chung nhân tử:

 

A.B + A.C = A.(B + C)

II. Các dạng bài

1. Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

b, Ví dụ minh họa:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2. Dạng 2: Các bài toán liên quan

a. Phương pháp giải:

 

Phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để làm một số bài toán tính nhanh, tính giá trị biểu thức, tìm x,…

b. Ví dụ minh họa

VD1: Tính nhanh:

a, 75.20,9 + 5² .20,9

= 20,9.(75 + 5²)

= 20,9.100

= 2090

b, 98,6.199 – 990.9,86

= 98,6.199 – 99.10.9,86

= 98,6.199 – 98,6.99

= 98,6.(199 – 99)

= 98,6.100

= 9860

VD2: Tính giá trị biểu thức:

a, A = a(b + 3) – b(3 + b) tại a = 2, b = 3

A = a(b + 3) – b(b + 3)

= (b + 3)(a – b)

Thay a = 2, b = 3 vào biểu thức A ta được:

A = (3 + 3)(2 – 3) = – 6

b, B = b² – 8b – c(8 – b) tại b = 1, c = 2

Ta có:

B = b² – 8b – c(8 – b)

= -b(8 – b) – c(8 – b)

= (8 – b)(- b – c)

Thay b = 1, c = 2 vào biểu thức B, ta được:

B = (8 – 1)(- 1 – 2)

= -21

VD3: Tìm x, biết:

3. Dạng 3: Chứng minh các bài toán số nguyên:

a. Phương pháp giải:

Phân tích các biểu thức đã cho một cách hợp lí thành các tích và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

b. Ví dụ minh họa:

Chứng minh:

a, 25ⁿ⁺¹-25ⁿ chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n$\ne 0$

Ta có:

25ⁿ⁺¹ – 25ⁿ

= 25ⁿ (25 – 1)

= 24.25ⁿ

Ta lại có: 24 = 4.6 

25ⁿ = 25.25^n-1

$\Rightarrow$25ⁿ⁺¹ – 25ⁿ = 4.6.25.25^n-1

= 100.6.25$⋮$100 với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Vậy 25ⁿ⁺¹ – 25ⁿ chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n

b, n²(n – 1) – 2n(n – 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Ta có:

n²(n – 1) – 2n(n – 1)

= (n – 1)(n² – 2n)

= (n – 1).n.(n – 2)

= (n – 2).(n – 1).n

Ta có: n – 2, n – 1, n là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết 6

$\Rightarrow$n²(n – 1) – 2n(n – 1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

c, 50ⁿ⁺² – 50ⁿ⁺¹ chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n.

Ta có:

50ⁿ⁺² – 50ⁿ⁺¹

= 50ⁿ (50² – 50)

= 50ⁿ (2500 – 50)

= 2450.50ⁿ

= 245.10.50ⁿ $⋮$245 với mọi STN n

Vậy 50ⁿ⁺² – 50ⁿ⁺¹ chia hết cho 245 với mọi số tự nhiên n.

Xem thêm