20 Bài tập Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều

A. Bài tập Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều

Bài 1.Phát biểu sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại để có phát biểu đúng.

a) Hình chóp tam giác đều có các mặt bên và mặt đáy là các tam giác cân.

b) Hình chóp tam giác đều có 3 mặt bên là các tam giác cân.

c) Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình chữ nhật.

d) Hình chóp tứ giác đều có 1 đỉnh, 4 mặt bên và 1 mặt đáy.

Hướng dẫn giải

Phát biểu	Đúng/ Sai	Sửa lại để có phát biểu đúng (Đối với phát biểu sai)
a) Hình chóp tam giác đều có các mặt bên và mặt đáy là các tam giác cân.	Sai	Hình chóp tam giác đều có mặt đáy là tam giác đều và các mặt bên là các tam giác cân.
b) Hình chóp tam giác đều có 3 mặt bên là các tam giác cân.	Đúng
c) Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình chữ nhật.	Sai	Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.
d) Hình chóp tứ giác đều có 1 đỉnh, 4 mặt bên và 1 mặt đáy.	Đúng

Bài 2.Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên SC = 9 cm, cạnh đáy AB = 4 cm. Hãy cho biết:

a) Mặt bên và đỉnh của hình chóp.

b) Độ dài các cạnh bên và cạnh đáy còn lại của hình chóp.

c) Số đo mỗi góc của mặt đáy.

Hướng dẫn giải

a) Hình chóp tam giác đều S.ABC có 3 mặt bên là SAB, SAC, SBC và đỉnh S.

b) Vì ba mặt bên SAB, SBC, SCA là các tam giác cân bằng nhau nên SA = SB = SC

Mà SC = 9 cm, suy ra SA = SB = 9 cm.

Vì mặt đáy ABC là tam giác đều nên AB = BC = CA

Mà AB = 4 cm, suy ra BC = AC = 4 cm.

c) Vì mặt đáy ABC là tam giác đều nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\widehat{BAC}=60°$

Bài 3.Cho hình chóp tứ giác đều O.DEGH có cạnh bên OD = 10 cm và cạnh đáy DE = 7 cm. Hãy cho biết:

a) Mặt bên, mặt đáy và đường cao của hình đó. Mặt đáy và các mặt bên của hình chóp là hình gì?

b) Độ dài các cạnh bên và cạnh đáy còn lại của hình đó

c) Số đo mỗi góc của mặt đáy.

Hướng dẫn giải

a) Hình chóp tứ giác đều O.DEGH có 4 mặt bên là ODE, OEG, OGH, OHD; mặt đáy là DEGH.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của mặt đáy.

Khi đó OI là đường cao của hình chóp tứ giác đều O.DEGH.

b) Vì bốn mặt bên ODE, OEG, OGH, OHD là các tam giác cân bằng nhau nên OD = OE = OG = OH.

Mà OD = 10 cm, suy ra OE = OG = OH = 10 cm.

Vì mặt đáy DEGH là hình vuông nên DE = EG = GH = HD

Mà DE = 7 cm, suy ra EG = GH = HD = 7 cm.

c) Vì mặt đáy DEGH là hình vuông nên $\widehat{DEG}=\widehat{EGH}=\widehat{GH\text{D}}=\widehat{H\text{D}E}=90°$

Bài 4.Trong các tấm bìa dưới đây, tấm bìa nào gấp được thành hình chóp tứ giác đều, hình chóp tam giác đều?

Hướng dẫn giải

Hình chóp tam giác đều có tất cả các mặt đều là tam giác, bao gồm 1 mặt đáy là tam giác đều và 3 mặt bên là tam giác cân.

Hình chóp tứ giác đều có 5 mặt, bao gồm 1 mặt đáy là hình vuông và 4 mặt bên là tam giác cân.

Khi đó tấm bìa hình b và hình c không gấp được hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều.

Hình a) khi gấp lại thì được một hình chóp tứ giác đều.

Hình d) có 4 mặt đều là tam giác đều, tuy nhiên không gấp được hình chóp tam giác đều.

Bài 5: Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều S.ABC như hình vẽ bên dưới

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi đáy của hình chóp tam giác đều là: $\frac{1}{2}.\left(5+5+5\right)=\frac{15}{2}$  (cm).

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều là: d = SH = 6 cm.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là: $S_{xq}=\frac{15}{2}.6=45$  (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều là 45 cm².

Bài 6: Một hình chóp tam giác đều S.ABC có diện tích đáy ABC là 27 cm² và chiều cao SO là 8cm. Tính thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC?

Hướng dẫn giải

Thể tích của hình chóp tam giác đều đó là: $V=\frac{1}{3}.27.8=72$  (cm³).

Vậy thể tích của hình chóp tam giác đều đó là 72 cm³.

Bài 7: Nhân dịp tết trung thu, Nam dự định làm một chiếc lồng đèn hình chóp tam giác đều. Chiếc đèn lồng được làm bằng một tấm bìa như hình bên dưới biết rằng các mặt đều là hình tam giác đều. Em hãy giúp Nam tính xem phải cần bao nhiêu mét vuông giấy vừa đủ để dán tất cả các mặt của chiếc đèn lồng. Biết rằng nếp gấp không đáng kể? (lấy $\sqrt{3}\approx 1,7$ ).

Hướng dẫn giải

Chu vi đáy của chiếc đèn lồng là: 10.3 = 30 (cm).

Diện tích xung quanh của chiếc đèn lồng là: $S_{xq}=\frac{1}{2}.30.8,7=130,5$  (cm²).

Diện tích mặt đáy của chiếc đèn lồng là: $S={10}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}\approx 42,5$  (cm²).

Diện tích giấy dán chiếc đèn lồng là: 130,5 + 42,5 = 173 (cm²).

Vậy diện tích giấy dán chiếc đèn lồng là 173 cm².

Bài 8: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 6 cm, độ dài trung đoạn bằng 5 cm và chiều cao bằng 4 cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó?

b) Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều đó?

Hướng dẫn giải

a) Chu vi đáy của hình chóp tứ giác đều là: 6 . 4 = 24 (cm).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là: $S_{xq}=\frac{1}{2}.24.5=60$  (cm²).

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là 60 cm².

b) Diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều là: 6 . 6 = 36 (cm²).

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là: $V=\frac{1}{3}.36.4=48$  (cm³).

Thể tích của hình chóp tứ giác đều là 48 cm³.

Bài 9: Tính chiều cao AH của hình chóp tứ giác đều A.MNPQ biết độ dài cạnh đáy hình vuông MNPQ là 8cm và thể tích của hình chóp tứ giác đều đó là 192 cm³?

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy MNPQ là: S = 8.8 = 64 (cm²).

Độ dài chiều cao AH là: $\frac{3.V_{A.MNPQ}}{S}=\frac{3.192}{64}=9$  (cm).

Vậy độ dài chiều cao AH là 9 cm.

Bài 10: Bác Khôi làm một chiếc hộp gỗ có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy của hình chóp là 6 m, trung đoạn của hình chóp là 5 m. Bác Khôi muốn sơn bốn mặt xung quanh của hộp gỗ. Cứ mỗi mét vuông sơn cần trả 30 000 đồng (tiền sơn và tiền công). Hỏi bác Khôi phải trả chi phí là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Chu vi đáy của chiếc hộp là: 6.4 = 24 (m).

Diện tích xung quanh của chiếc hộp là: $S_{xq}=\frac{1}{2}\mathrm{.24.5}=60$  (m²).

Diện tích sơn chính là diện tích xung quanh của chiếc hộp.

Do đó số tiền bác Khôi phải trả là: 60. 30 000 = 1 800 000 (đồng).

Vậy số tiền bác Khôi phải trả là 1 800 000 đồng.

B. Lý thuyết Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều

1. Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều

1.1. Hình chóp tam giác đều

Hình S.ABC (hình vẽ) là một hình chóp tam giác đều.

Trong hình này:

– S gọi là đỉnh.

– Mặt ABC là một tam giác đều và được gọi là mặt đáy (gọi tắt là đáy).

– Các đoạn thẳng SA, SB, SC bằng nhau và được gọi là các cạnh bên.

– Ba mặt SAB, SBC, SCA là các tam giác cân bằng nhau và được gọi là ba mặt bên.

– Các đoạn thẳng AB, BC, CA được gọi là cạnh đáy.

– Gọi O là trong tâm của mặt đáy, khi đó SO gọi là đường cao, độ dài SO gọi là chiều cao.

Ví dụ 1. Hãy cho biết mặt bên, mặt đáy, đường cao, độ dài cạnh bên, độ dài cạnh đáy của hình chóp tam giác đều trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Trong hình chóp tam giác đều O.MNP có:

– Ba mặt OMN, OMP, OPN là ba mặt bên.

– Mặt MNP là mặt đáy.

– OG là đường cao.

– Độ dài các cạnh bên OM, ON, OP là 7 cm.

– Độ dài các cạnh đáy MN, NP, PM là 3 cm.

1.2. Hình chóp tứ giác đều

Hình S.ABCD (hình vẽ) là một hình chóp tứ giác đều.

Trong hình này:

– S gọi là đỉnh.

– Mặt ABCD là một hình vuông và được gọi là mặt đáy (gọi tắt là đáy).

– Các đoạn thẳng SA, SB, SC, SD bằng nhau và được gọi là các cạnh bên.

– Bốn mặt SAB, SBC, SCD, SDA là các tam giác cân bằng nhau và được gọi là bốn mặt bên.

– Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA được gọi là cạnh đáy.

– Gọi O là giao điểm hai đường chéo của mặt đáy, khi đó SO là đường cao, độ dài SO gọi là chiều cao.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều I.ABCD như hình vẽ:

a) Hãy cho biết đỉnh, mặt bên, cạnh đáy, chiều cao của hình chóp tứ giác đều đó.

b) Biết IB = 6 cm, CD = 4 cm. Tính độ dài các cạnh IA, IC, AB, AD.

Hướng dẫn giải

a) Trong hình chóp tứ giác đều I.ABCD có:

– Đỉnh là điểm I.

– Bốn mặt IAB, IBC, ICD, IDA là bốn mặt bên.

– Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA được gọi là cạnh đáy.

– Độ dài IO gọi là chiều cao.

b) Vì bốn mặt bên IAB, IBC, ICD, IDA là các tam giác cân bằng nhau nên IA = IB = IC

Mà IB = 6 cm.

Suy ra IA = IC = 6 cm.

Vì mặt đáy ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA

Mà CD = 4 cm

Suy ra AB = AD = 4 cm.

2. Tạo lập hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

2.1. Tạo lập hình chóp tam giác đều

Các bước tạo lập hình chóp tam giác đều:

– Bước 1. Trên một tấm bìa, vẽ một hình tam giác đều và ba hình tam giác cân có cạnh đáy là một trong các cạnh của tam giác đều (hình vẽ).

– Bước 2. Cắt tấm bìa như hình vẽ (cắt theo các đường màu đen), rồi gấp theo các đường màu đỏ ta được hình chóp tam giác đều (hình vẽ).

Ví dụ 3.Bạn Hoa dự định cắt và gấp một hộp quà từ tấm bìa như hình sau:

Hộp quà bạn Hoa dự định gấp có dạng hình gì?

Hướng dẫn giải

Hộp quà bạn Hoa định gấp có dạng hình chóp tam giác đều.

Ví dụ 4. Tạo lập hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 6 cm và độ dài cạnh bên là 5 cm.

Hướng dẫn giải

– Bước 1. Trên một tấm bìa, vẽ một hình tam giác đều có cạnh bằng 6 cm và ba hình tam giác cân có cạnh đáy là một trong các cạnh của tam giác đều, các cạnh bên bằng 5 cm (hình 1).

– Bước 2. Cắt tấm bìa như hình vẽ (cắt theo các đường màu đen), rồi gấp theo các đường màu đỏ ta được hình chóp tam giác đều.

2.2. Tạo lập hình chóp tứ giác đều

Các bước tạo lập hình chóp tứ giác đều:

– Bước 1. Trên một tấm bìa, vẽ một hình vuông và bốn hình tam giác cân có cạnh đáy là một trong các cạnh của hình vuông (hình vẽ).

– Bước 2. Cắt tấm bìa như hình vẽ (cắt theo các đường màu xanh), rồi gấp theo các đường màu đỏ ta được hình chóp tứ giác đều (hình vẽ).

Ví dụ 5. Tấm bìa nào sau đây có thể gấp thành hình chóp tứ giác đều?

Hướng dẫn giải

Tấm bìa Hình b) có thể gấp thành hình chóp tứ giác đều.

Tấm bìa Hình a) không thể gấp thành hình chóp tứ giác đều, vì khi gấp tạo lập hình chóp tứ giác đều thì có hai tam phải xếp chồng lên nhau, như vậy kết quả thiếu một mặt bên của hình chóp.

Video bài giảng Toán 8 Hình chóp tam giác đều – Hình chóp tứ giác đều – Chân trời sáng tạo