20 Bài tập Hình bình hành (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Hình bình hành

A. Bài tập Hình bình hành

Bài 1. Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong hình dưới đây.

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên $\hat{B}=\hat{D}=60°$

Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có:

 $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$ suy ra $\hat{A}+\hat{C}=240°\Rightarrow \hat{A}=\hat{C}=120°$ .

Bài 2. Trong mỗi trường hợp sau, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không phải là hình bình hành? Vì sao?

Hướng dẫn giải

+ Tứ giác EFGH có $\hat{F}=360°-(\hat{E}+\hat{H}+\hat{G})=60°$

Suy ra $\hat{F}=\hat{H}$  mà $\hat{G}=\hat{E}$  nên theo dấu hiệu nhận biết của hình bình hành ta có tứ giác EFGH là hình bình hành.

+ Tứ giác MNPQ không là hình bình hành vì ta dễ dàng tính được $\hat{M}=100°\ne \hat{P}$

+ Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau: AB = CD và AD = BC.

Bài 3. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh Từ đó suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

+ Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD và AC.

Lại có: AB // CD nên $\widehat{OCN}=\widehat{OAM}$  (hai góc so le trong)

+ Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$  có:

$\widehat{OCN}=\widehat{OAM}$(chứng minh trên)

OA = OC (O là trung điểm AC)

$\widehat{AOM}=\widehat{CON}$(hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta OAM=\Delta OCN$  (góc – cạnh – góc)

Suy ra OM = ON hay O là trung điểm MN.

+ Xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, suy ra tứ giác MBND là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài 4. Hình bình hành ABCD có $\hat{B}=65°$. Tính các góc A, C, D.

Hướng dẫn giải

ABCD là hình bình hành nên ta có: và (tính chất hình bình hành)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360°$

Suy ra $2\hat{A}=360°-2\hat{B}=360°-2.65°=230°$.

Do đó $\hat{A}=\hat{C}=\frac{230°}{2}=115°$.

Vậy $\hat{A}=\hat{C}=115°$và $\hat{D}=65°$ .

Bài 5. Cho hình bình hành MNPQ (MQ < MN). Từ M kẻ đường phân giác của $\widehat{QMN}$ cắt QP tại E, từ P kẻ đường phân giác của $\widehat{NPQ}$ cắt MN tại F.

a) Chứng minh ∆MQE là tam giác cân.

b) Tứ giác MEPF là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) Ta có MNPQ là hình bình hành nên MN // PQ

Do đó $\widehat{QEM}=\widehat{EMN}$ (so le trong).

ME là đường phân giác của $\widehat{QMN}$ nên $\widehat{QME}=\widehat{EMN}=\frac{1}{2}\widehat{QMN}$

Suy ra .

Vậy tam giác MQE là tam giác cân tại Q.

b) Do ME là đường phân giác của $\widehat{NPQ}$ nên $\widehat{QME}=\widehat{EMN}=\frac{1}{2}\widehat{QMN}$

Do PF là đường phân giác của $\widehat{NPQ}$ nên $\widehat{NPF}=\widehat{QPF}=\frac{1}{2}\widehat{NPQ}$

Mà $\widehat{QMN}=\widehat{NPQ}$ (hai góc đối của hình bình hành)

Suy ra $\widehat{EMN}=\widehat{QPF}$ hay $\widehat{EMF}=\widehat{EPF}$ .

Mặt khác, MN // PQ nên $\widehat{EMF}=\widehat{MEQ}$ (so le trong)

Do đó $\widehat{MEQ}=\widehat{EPF}$ , mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ME // PF

Xét tứ giác MEPF có ME // PF và MF // PE nên là hình bình hành.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên: AD = BC và AD // BC.

Vì AD // BC nên $\widehat{ADH}=\widehat{CBK}$  (hai góc so le trong).

Ta có: $\text{AH}\perp \text{BD}$  và $\text{CK}\perp \text{BD}$ . Suy ra: $\widehat{\text{AHD}}=\widehat{\text{CKB}}=90°$  và AH // CK.

Xét ΔAHD và ΔCKB có:

$\widehat{\text{AHD}}=\widehat{\text{CKB}}=90°$

$\widehat{\text{ADH}}=\widehat{\text{CBK}}$

AD = BC (cmt)

Do đó ΔAHD = ΔCKB (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác AHCK có:

AH = CK và AH // CK

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF;

b) BE // DF.

Hướng dẫn giải

Vì E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC nên:

 $AE=DE=\frac{1}{2}AD$ và $\text{BF}=\text{CF}=\frac{1}{2}AD$

Mà AD = BC nên AE = CF.

Xét ΔABE và ΔCDF có:

AB = DC

$\widehat{\text{EAB}}=\widehat{\text{DCF}}$ (Vì ABCD là hình bình hành)

AE = CF

Suy ra ΔABE = ΔCDF (c.g.c)

Suy ra BE = DF.

Vậy BE = DF.

b) Xét tứ giác EBFD có: BE = DF và DE = BF

Suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành.

Do đó BE // DF.

B. Lý thuyết Hình bình hành

1. Hình bình hành và tính chất

+ Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

Ví dụ 1: Tứ giác ABCD là hình bình hành có AB // CD và AD // BC.

+ Định lí 1 (Tính chất của hình bình hành)

Trong hình bình hành:

a) Các cạnh đối bằng nhau;

b) Các góc đối bằng nhau;

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét: Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì thì bù nhau.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Hướng dẫn giải

Ta có:

AB // MN suy ra MN // AP (1)

MP // AC suy ra MP // AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ANMP là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo của hình bình hành ANMP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung điểm của đường chéo NP nên I cũng là trung điểm của đường chéo AM.

2. Dấu hiệu nhận biết

+ Định lí 2 (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh):

a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là một hình bình hành.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $CH\perp AB$  mà $AB\perp BD$  (giả thiết)

Suy ra CH // BD (1)

Tương tự ta có $BH\perp AC$  mà $AC\perp CD$  (giả thiết)

Suy ra BH // CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.

+ Định lí 3 (Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo):

a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành.

Video bài giảng Toán 8 Bài 12: Hình bình hành – Kết nối tri thức