Giải VBT Toán lớp 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
I. Kiến thức trọng tâm
Câu 1 trang 101 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng ………… với đoạn thẳng tại ………….. của đoạn thẳng ấy.
Lời giải:
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
Câu 2 trang 101 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:
– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì ……………… hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì …………….. đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Lời giải:
– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
II. Luyện tập
Câu 1 trang 101 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết = . Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lời giải:
Ta có: = (giả thiết);
+ = 180o (hai góc kề bù)
Suy ra = = 90o
Vậy đường thẳng AM vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm M của nó nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Câu 2 trang 101 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Hình 67 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài của mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
Vì mái nhà bên trái dài 3 m nên OA = 3 m.
Do điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OB = OA = 3 m.
Vậy chiều dài của mái nhà bên phải là 3 m.
Câu 3 trang 102 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A.
a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC không? Vì sao?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC và cắt BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC không? Vì sao?
Lời giải:
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Suy ra điểm A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Xét hai tam giác vuông ABH và ACH, ta có:
AB = AC, AH là cạnh chung.
Suy ra ∆ABH = ∆ACH (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Do đó HB = HC. Vì đường thẳng AH vuông góc với đoạn thẳng BC tại trung điểm H của nó nên AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
III. Bài tập
Câu 1 trang 102 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 69 đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chứng minh = .
Lời giải:
Vì điểm C, D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA = CB, DA = DB
Xét hai tam giác CDA và CDB, ta có:
CA = CB, DA = DB, CD là cạnh chung.
Suy ra ∆CDA = ∆CDB (c.c.c). Do đó = (hai góc tương ứng)
Câu 2 trang 103 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 70 đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
a) AB // CD;
b) ∆MNC = ∆MND;
c) = ;
d) AD = BC, = ;
e) = .
Lời giải:
a) Vì a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng AB và CD nên AB a; CD a. Suy ra AB // CD.
b) Xét hai tam giác vuông MNC và MND, ta có:
NC = ND (giả thiết); MN là cạnh chung.
Suy ra ∆MNC = ∆MND (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
c) Vì ∆MNC = ∆MND nên = (1)
Ta có: và , và là các cặp góc kề nhau; = = 90o
Suy ra + = = 90o và + = = 90o
Do đó = 90o – và = 90o – (2)
Từ (1) và (2) suy ra =
d) Vì ∆MNC = ∆MND nên MC = MD
Xét hai tam giác AMD và BMC, ta có:
AM = BM (giả thiết), = , MD = MC (chứng minh ở trên)
Suy ra ∆AMD = ∆BMC (c.g.c)
Do đó AD = BC ( hai cạnh tương ứng); = (hai góc tương ứng)
e) Vì ∆MNC = ∆MND nên = (hai góc tương ứng)
Vì ∆BMC = ∆AMD nên = (hai góc tương ứng)
Suy ra + = +
Mà và , và là các cặp góc kề nhau nên từ đó suy ra:
Câu 3 trang 104 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Gọi a, b lần lượt là đường trung trực của đoạn thẳng AB và BC. Chứng minh rằng a // b.
Lời giải:
– Vì a là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên a AB (tính chất đường trung trực) suy ra a ⊥ AC.
– Vì b là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên b BC (tính chất đường trung trực) suy ra b ⊥ AC.
Vì a và b cùng vuông góc với AC nên a // b.
Câu 4 trang 104 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điểm M không thuộc đường thẳng d và đoạn thẳng AB sao cho đường thẳng d cắt đoạn thẳng MB tại điểm I. Chứng minh:
a) MB = AI + IM;
b) MA < MB.
Lời giải:
a) Vì điểm I thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên AI = BI.
Do đó: MB = BI + IM = AI + IM
b) Xét tam giác MIA, ta có MA < AI + IM (bất đẳng thức tam giác)
mà AI + IM = MB (chứng minh trên), suy ra MA < MB.
Câu 5 trang 104 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AB < CD, AD = BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Đường thẳng qua I song song với AD cắt đoạn thẳng KD tại M. Đường thẳng qua I song song với BC cắt KC tại N Hình 73. Chứng minh:
a) IM = IN;
b) IK là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD.
Lời giải:
Vẽ các đoạn thẳng IC, ID. Xét hai tam giác ADI và MID, ta có
= (hai góc so le trong);
ID là cạnh chung;
= (hai góc so le trong).
Suy ra ∆ADI = ∆MID (g.c.g). Do đó AD = MI, IA = DM (các cặp cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự ta có BC = IN, IB = NC
a) Vì AD = BC, AD = MI, BC = IN nên IM = IN.
b) Vì IA = IB, IA = DM, IB = CN nên DM = CN. Mà KC = KD nên KM = KN.
Vì IM = IN và KM = KN nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Suy ra IK MN. Do đó IK CD. Mà AB // CD nên IK AB.
Vì IK CD, KC = KD nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng CD.
Vì IK AB, IA = IB nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng AB.