Giải VBT Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
I. Kiến thức trọng tâm
Câu 1 trang 114 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:
Trong một tam giác đường trung trực của mỗi ………… được gọi là đường trung trực của tam giác đó (Hình 88).
Lời giải:
Trong một tam giác đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó (Hình 88).
Câu 2 trang 114 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:
– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua ………….. điểm (Hình 88)
– Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác ………….. ba đỉnh của tam giác đó.
Lời giải:
– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm (Hình 88)
– Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
II. Luyện tập
Câu 1 trang 114 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải:
Xét hai tam giác ABD và ACD, ta có:
AB = AC (tính chất tan giác cân)
AD là cạnh chung
= (do AD là tia phân giác góc A)
Suy ra ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)
Do đó DB = DC (hai cạnh tương ứng)
Ta có AB = AC và DB = DC
Suy ra AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Vậy AD là đường trung trực của tam giác ABC.
Câu 2 trang 115 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 90 điểm O có phải là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC không?
Lời giải:
Đường thẳng đi qua O và trung điểm của đoạn thẳng AB không vuông góc với AB suy ra O không thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó O không phải là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
III. Bài tập
Câu 1 trang 115 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O thoả mãn OA = OB = OC. Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải:
Vì OA = OB nên O thuộc đường trung trực của cạnh AB của tam giác ABC.
Vì OB = OC nên O thuộc đường trung trực của cạnh BC của tam giác ABC.
Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.
Câu 2 trang 115 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Lời giải:
a) ABC là tam giác nhọn
b) ABC là tam giác vuông tại A
c) ABC là tam giác có góc A tù
Câu 3 trang 116 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G.
Do G cũng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC nên G thuộc đường trung trực của BC
Mà MB = MC nên M thuộc đường trung trực của BC
Do đó đường thẳng GM là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Mà A thuộc đường thẳng GM nên AB = AC
Chứng minh tương tự ta cũng có BC = BA, suy ra AB = AC = BC
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 4 trang 117 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải:
Do I thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC nên IB = IC.
Suy ra tam giác IBC là tam giác cân tại I.
Suy ra = (hai góc đáy của tam giác cân).
Vì BI là tia phân giác góc B nên = 2 .
Vì CI là tia phân giác góc C nên = 2.
Suy ra = . Chứng minh tương tự ta cũng có = .
Do đó = = . Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5 trang 117 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC. Đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại O nằm trong tam giác. M là trung điểm của BC. Chứng minh:
a) OM BC;
b) = .
Lời giải:
a) Vì ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường trung trực của các cạnh AB và AC cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.
Vì BM = CM nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra OM là trung trực của đoạn thẳng BC hay OM ⊥ BC.
b) Xét hai tam giác vuông OMB và OMC, ta có
OM là cạnh chung, MB = MC (giả thiết)
Suy ra ∆OMB = ∆OMC (hai cạnh góc vuông).
Do đó = (hai góc tương ứng).
Câu 6 trang 117 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G. Biết rằng G cũng là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP. Chứng minh tam giác ABC đều.
Lời giải:
Do G là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP nên GM = GN = GP.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên GA = 2GM, GB = 2GN, GC = 2GP
Suy ra GA = GB = GC.
Do GB = GC, MB = MC nên GM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Mà A thuộc đường thẳng GM nên AB = AC.
Do GC = GA, NC = NA nên GN là đường trung trực của đoạn thẳng CA. Mà B thuộc đường thẳng GN nên BA = BC
Suy ra AB = AC = BC. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.