Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
A. LÍ THUYẾT CƠ BẢN
§1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
I. Sự tạo thành mặt tròn xoay:
-Trong KG, cho mp (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường (C). Khi quay (P) quanh ∆ một góc 3600 thì mỗi điểm M trên (C) vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc ∆ và nằm trên mp vuông góc với ∆. Khi đó (C) sẽ tạo nên một hình đgl mặt tròn xoay. (C) đgl đường sinh của mặt tròn xoay đó. ∆ đgl trục của mặt tròn xoay.
II. Mặt nón tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mp (P) có hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc nhọn β. Khi quay (P) xung quanh ∆ thì d sinh ra một mặt tròn xoay đgl mặt nón tròn xoay đỉnh O. ∆ gọi là trục, d gọi là đường sinh, góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.
2. Mặt nón tròn xoay và khối nón tròn xoay
a) Cho \(\Delta \)OIM vuông tại I. Khi quay nó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình đgl hình nón tròn xoay.
– Hình tròn (I, IM): mặt đáy
– O: đỉnh
– OI: đường cao
– OM: đường sinh
– Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi OM: mặt xung quanh.
b) Khối nón tròn xoay là: Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó đgl khối nón tròn xoay.
3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay
Cho hình nón N có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy bằng r. Gọi Sxq là diện tích xung quanh hình nón và VN là thể tích khối nón. Ta có: \({S_{xq}} = \pi rl,{V_N} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Diện tích toàn phần của hình nón:
Stp = Sxq + Sđáy
– Một hình chóp đgl nội tiếp hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón.
– Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn và độ dài đường sinh.
– Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn
III. Mặt trụ tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mp (P) cho hai đường thẳng \[\Delta \] và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh \[\Delta \] thì l sinh ra một mặt tròn xoay đgl mặt trụ tròn xoay. \[\Delta \] gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ đó.
2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
a) Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình đgl hình trụ tròn xoay. – Hai đáy.
– Đường sinh.
– Mặt xung quanh.
– Chiều cao.
b) Khối trụ tròn xoay là: Phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó đgl khối trụ tròn xoay.
b) Khối nón tròn xoay là: Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó đgl khối nón tròn xoay.
3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ Cho hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy bằng r. Gọi Sxq là diện tích xung quanh hình trụ và VT là thể tích khối trụ Ta có: \({S_{xq}} = 2\pi rl\) và \({V_T} = \pi {r^2}h\)
Diện tích toàn phần của hình trụ:
Stp = Sxq + 2Sđáy
-Một hình lăng trụ đgl nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
– Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
– Thể tích khối trụ là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
§2. MẶT CẦU
I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu
1. Mặt cầu
– Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) đgl mặt cầu tâm O bán kính r. Kí hiệu S(O; r).
– Như vậy: \(S\left( {O;r} \right) = \left\{ {M\left| {OM = r} \right.} \right\}\)
– Nếu điểm M nằm trên mặt cầu (S) thì đoạn thẳng OM được gọi là bán kính của mặt cầu (S).
– Một mặt cầu được xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính.
2. Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu. Khối cầu
Cho S(O; r) và điểm A bất kì.
– OA = r ⇔ A nằm trên (S)
– OA < r ⇔ A nằm trong (S)
– OA > r ⇔ A nằm ngoài (S) Tập hợp các điểm thuộc S(O; r) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó đgl khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r.
3. Biểu diễn mặt cầu
Hình biểu diễn của mặt cầu qua phép chiếu vuông góc là một hình tròn.
Vẽ một đường tròn có tâm và bán kính là tâm và bán kính của mặt cầu.
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; r) và mp (P).
Đặt h = d(O, (P)).
– h > r ⇔ (P) và (S) không có điểm chung.
– h < r ⇔ (P) cắt (S) theo đường tròn tâm H, bán kính \[r’ = \sqrt {{r^2} – {h^2}} \].
+ Điểm H gọi là tiếp điểm của(S) & (P). + Mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
Chú ý:
– Điều kiện cần và đủ để (P) tiếp xúc với S(O; r) tại H là (P) vuông góc với OH tại H.
– Nếu h = 0 thì (P) cắt (S) theo đường tròn tâm O bán kính r. Đường tròn này đgl đường tròn lớn và (P) đgl mặt phẳng kính của mặt cầu (S).
III. Giao của mặt cầu với đường thẳng. Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu S(O; r) và đường thẳng ∆. Gọi d = d(O, \(\Delta \)).
– d > r ⇔ \(\Delta \) và (S) không có điểm chung.
– d = r ⇔ \(\Delta \) tiếp xúc với (S).
– d < r ⇔ \(\Delta \) cắt (S) tại hai điểm M, N phân biệt.
Chú ý :
– Điều kiện cần và đủ để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) tại điểm H là \(\Delta \) vuông góc với bán kính OH tại H. \(\Delta \) đgl tiếp tuyến, H đgl tiếp điểm.
– Nếu d = 0 thì \(\Delta \) đi qua tâm O và cắt (S) tại hai điểm A, B. AB là đường kính của (S).
Nhận xét
a) Qua một điểm A nằm trên mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến của (S). Tất cả các tiếp tuyến này đều nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A.
b) Qua một điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với (S). Các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ A đến các tiếp điểm đều bằng nhau.
B. BÀI TẬP
Câu 1: Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao a√3 .
Câu 2: Hình trụ (H) có diện tích xung quanh là 6π(cm2) và thể tích khối trụ là 9π(cm3). Chiều cao của hình lăng trụ là :
A. 1(cm)
B. 3(cm)
C. 1/2 (cm)
D. 2(cm)
Câu 3: Cho hình nón tròn xoay có đường cao 12cm và đường kính đáy 10cm. Độ dài đường sinh của hình nón là :
A. √119 (cm)
B. 17(cm)
C. 15(cm)
D. 13(cm)
Câu 4:Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3, góc ở đỉnh là 120° . Tính thể tích của khối nón đó theo a .
Câu 5:Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60° . Diện tích xung quanh Sxq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:
Câu 6: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a và có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có diện tích là 2a2 . Diện tích xung quanh của hình trụ là :
A. 4πa2
B. 3πa2
C. 2πa2
D. πa2
Câu 7:Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6π (cm) và thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) .
A. 48π (cm3)
B. 24π (cm3)
C. 72π (cm3)
D. 
(cm3)
Câu 8: Cho khối trụ có diện tích toàn phần là 6πa2 và thể tích là 2πa3. Bán kính đáy của hình trụ là :
A. 3a/2
B. a
C. 2a/3
D. 2a
Câu 9: Tam giác ABC vuông đỉnh A có ∠ ABC = 60o và AB = a. Quay miền trong và các cạnh của tam giác ABC quanh trục AB thì ta được khối nón (N). Thể tích của khối nón (N) là :
Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Thể tích khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là :
Câu 11:Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên mặt phẳng đáy sao cho OI = R√3 . Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho OA ⊥ OI . Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Khi đó, diện tích xung quanh Sxq của hình nón và thể tích V của khối nón là:
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy và SA = 2a.Góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o . Bán kính mặt cầu tâm S và tiếp xúc với BD theo a là :
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa SA và đáy là 60o . Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) là :
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A và BC = a. Cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC tại với mặt phẳng (ABC) một góc là 60o. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :
A. a√3
B. a√2
C. a√3/2
D. a
Xem thêm