Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a ; b]. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int_a^b f (x)dx\).
Ta dùng kí hiệu \(\left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)\) để chỉ hiệu số F(b)-F(a). Vậy \(\int_a^b f (x)dx = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)\).
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_a^b f (x)dx\) hay \(\int_a^b f (t)dt\). Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] thì tích phân \(\int_a^b f (x)dx\) là diện tích S của hình thang thẳng x=a, x=b. Vậy \(S = \int_a^b f (x)dx.\)
2. Tính chất của tích phân
1. \(\int_a^a f (x)dx = 0\)
2. \(\int_a^b f (x)dx = – \int_b^a f (x)dx\)
3. \(\int_a^b f (x)dx + \int_b^c f (x)dx = \int_a^c f (x)dx(a < b < c)\)
4.\(\int_a^b k \cdot f(x)dx = k \cdot \int_a^b f (x)dx(k \in \mathbb{R})\)
5. \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]d{\rm{x}} = \int\limits_a^b {f(x)d{\rm{x}} \pm \int\limits_a^b {g(x)d{\rm{x}}} } } \)
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
a) \({\rm{I}} = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{{{(1 + x)}^3}}}} \).
b) \(I = \int_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx\).
c) \(I = \int_0^1 {\frac{{2x + 9}}{{x + 3}}} dx\).
d) \(I = \int_0^1 {\frac{x}{{4 – {x^2}}}} dx\).
-Hướng dẫn giải:
a)
\(\begin{array}{l}{\rm{I}} = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{{{(1 + x)}^3}}}} = \int_0^1 {\frac{{d(1 + x)}}{{{{(1 + x)}^3}}}} \\ = – \left. {\frac{1}{{2{{(1 + x)}^2}}}} \right|_0^1 = \frac{3}{8}\end{array}\).
b)
\(\begin{array}{l}I = \int_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}} dx = \int_0^1 {\left( {1 – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx\\ = (x – \ln (x + 1))||_0^1 = 1 – \ln 2\end{array}\).
c)
\(\begin{array}{l}I = \int_0^1 {\frac{{2x + 9}}{{x + 3}}} dx = \int_0^1 {\left( {2 + \frac{3}{{x + 3}}} \right)} dx\\ = \left. {(2x + 3\ln (x + 3))} \right|_0^1 = 3 + 6\ln 2 – 3\ln 3\end{array}\).
d)
\(\begin{array}{l}I = \int_0^1 {\frac{x}{{4 – {x^2}}}} dx = – \frac{1}{2}\int_0^1 {\frac{{d\left( {4 – {x^2}} \right)}}{{4 – {x^2}}}} \\ = \ln \left| {4 – {x^2}} \right|_0^1 = \ln \frac{3}{4}\end{array}\).
Bài tập áp dụng
1) \(I = \int_0^1 {{x^3}} {\left( {{x^4} – 1} \right)^5}dx\)
2) \(I = \int_0^1 {(\sqrt {2x} + \sqrt[3]{x} + 1)} dx\).
3) \(I = \int_0^1 x \sqrt {1 – x} dx\).
4) \(I = \int_0^{16} {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 9} – \sqrt x }}} \).
II. Dạng 2 : Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]d{\rm{x}} = \int\limits_a^b {f(x)d{\rm{x + }}\int\limits_a^b {g(x)d{\rm{x}}} } } \) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 2: Tính tích phân \(I = \int_{ – 2}^2 | x + 1|dx\).
Hướng dẫn giải
Nhận xét:
\(|x + 1| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 1,}&{}\\{ – x – 1,}&{}\end{array}} \right.\)
Do đó
\(\begin{array}{l}I = \int_{ – 2}^2 | x + 1|dx\\ = \int_{ – 2}^{ – 1} | x + 1|dx + \int_{ – 1}^2 | x + 1|dx\\ = – \int_{ – 2}^{ – 1} {(x + 1)} dx + \int_{ – 1}^2 {(x + 1)} dx\end{array}\)
\( = – \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_{ – 1}^2 = 5\)
Bài tập áp dụng
1)\(I = \int_{ – 4}^3 {\left| {{x^2} – 4} \right|} dx\)
2)\(I = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^3} – 2{x^2} – x + 2} \right|} dx\)
3)\(I = \int_0^3 {\left| {{2^x} – 4} \right|} dx\)
4)\(I = \int_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 2 |\sin x|dx\)
5)\(I = \int_0^\pi {\sqrt {1 + \cos 2x} } dx\)
III. Dạng 3. Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] và \(\alpha \le u(x) \le \beta \). Giả sử có thể viết \(f(x) = g(u(x)){u^\prime }(x),x \in [a;b]\), với g liên tục trên đoạn \([\alpha ;\beta ]\). Khi đó, ta có
\(I = \int_a^b f (x)dx = \int_{u(a)}^{u(b)} g (u)du\)
Ví dụ 3: Tính tích phân \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}} x\cos xdx\).
Hướng dẫn giải
Đặt u=sin x. Ta có du=cos x dx. Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow u(0) = 0;x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
Khi đó \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}} x\cos xdx = \int_0^1 {{u^2}} du = \left. {\frac{1}{3}{u^3}} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\).
Bài tập áp dụng
1) \(I = \int_0^1 x \sqrt {{x^2} + 1} dx\)
2) \(I = \int_0^1 x \sqrt[3]{{x + 1}}dx\)
3) \(I = \int_1^e {\frac{{\sqrt {1 + \ln x} }}{x}} dx\).
4) \(I = \int_e^{{e^2}} {\frac{{dx}}{{2x\sqrt {2 + \ln x} }}} \).
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
|
|
Dấu hiệu |
Có thể đặt |
Ví dụ |
|
1 |
Có \(\sqrt {f(x)} \) |
\(t = \sqrt {f(x)} \) |
\(I = \int_0^3 {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {x + 1} }}} \). Đặt \(t = \sqrt {x + 1} \) |
|
2 |
Có \({(ax + b)^n}\) |
t=a x+b |
\(I = \int_0^1 x {(x + 1)^{2016}}dx.\) Đăt t=x-1 |
|
3 |
Có \({a^{f(x)}}\) |
t=f(x) |
\(I = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{e^{\tan x + 3}}}}{{{{\cos }^2}x}}} dx.\) Đặt t=tan x+3 |
|
4 |
Có \(\frac{{dx}}{x}\) và ln x |
t=ln x hoặc biểu thức chứa ln x |
\(I = \int_1^e {\frac{{\ln xdx}}{{x(\ln x + 1)}}} .\) Đặt t=ln x+1 |
|
5 |
Có exdx |
t=ex hoặc biểu thức chứa ex |
\(I = \int_0^{\ln 2} {{e^{2x}}} \sqrt {3{e^x} + 1} dx.\) Đặt \(t = \sqrt {3{e^x} + 1} \) |
|
6 |
Có sin xdx |
t=cos x |
\(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^3}} x\cos xdx.\) Đăt t=sin x |
|
7 |
Có cos xdx |
t= sin x dx |
\(I = \int_0^\pi {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{2\cos x + 1}}} dx\) Đặt t=2 cos x+1 |
|
8 |
Có \(\frac{{d{\rm{x}}}}{{{{\cos }^2}x}}\) |
t=tan x |
\(I = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^4}x}}} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)} \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\) |
|
9 |
Có \(\frac{{d{\rm{x}}}}{{{{\sin }^2}x}}\) |
t=cot x |
\(I = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{{e^{\cot x}}}}{{1 – \cos 2x}}} dx = \int {\frac{{{e^{\cot x}}}}{{2{{\sin }^2}x}}} dx\). Đặt t=cot x |
2) Đối biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a ; b]. Giả sử hàm số \(x = \varphi ({\rm{t}})\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \({[\alpha ;\beta ]^{(*)}}\) sao cho \(\varphi (\alpha ) = a,\varphi (\beta ) = b\) và \(a \le \varphi (t) \le b\) với mọi \(t \in [\alpha ;\beta ]\). Khi đó:
\(\int_a^b f (x)dx = \int_\alpha ^\beta f (\varphi (t)){\varphi ^\prime }(t)dt.\)
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
1. \(\sqrt {{a^2} – {x^2}} :\) đặt \(x = \left| a \right|\sin t\),\(t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)
2. \(\sqrt {{x^2} – {a^2}} \) : đặt ; \(t \in \left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\backslash \{ 0\} \)
3. \(\sqrt {{x^2} + {a^2}} 😡 = \left| a \right|\tan t\); \(t \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)
4. \(\sqrt {\frac{{a + x}}{{a – x}}} \) hoặc \(\sqrt {\frac{{a – x}}{{a + x}}} \) : đặt x=a.cos 2t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1,2,3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân \(I = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \) thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân \(I = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \) thì nên đổi biến dạng 1.
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
a)\(I = \int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx\).
b)\(I = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} \)
Hướng dẫn giải
a) Đặt x=sin t ta có d x=cos t dt. Đồi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\).
Vậy \(I = \int_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} | \cos t|dt = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } tdt = \left. {\sin t} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1\).
b) Đặt x=tan t, ta có \(dx = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\). Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \to t = 0}\\{x = 1 \to t = \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right.\).
Vậy \(I = \int_0^1 {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} d t = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4}\).
IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí: Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a ; b] thì \(\int_a^b u (x){v^\prime }(x)dx = \left. {(u(x)v(x))} \right|_a^b – \int_a^b {{u^\prime }} (x)v(x)dx\)
hay viết gọn là \(\int_a^b u dv = \left. {uv} \right|_a^b – \int_a^b v du\). Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính \(I = \int_a^b P (x) \cdot Q(x)dx\)
|
Dạng hàm |
P(x): Đa thức Q(x): sin (kx) hay cos (kx) |
P(x): Đa thức Q(x)= ekx |
P(x) : Đa thức Q(x): ln(ax+b) |
P(x): Đa thức Q(x): \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)hay \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) |
|
Cách đặt |
u=P(x) dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
u=P(x) dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
u=ln(ax+b) dv=P(x)dx |
u=P9x) dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân |
Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) \(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} x \sin xdx\).
b) \(I = \int_0^{e – 1} x \ln (x + 1)dx\)
Hướng dân giải
a) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = x}\\{dv = \sin xdx}\end{array}} \right.\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = dx}\\{v = – \cos x}\end{array}} \right.\)
Do đó
\(\begin{array}{l}I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} x \sin xdx = \left. {( – x\cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx\\ = 0 + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1.\end{array}\)
b) Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln (x + 1)}\\{dv = xdx}\end{array}} \right.\) ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = \frac{1}{{x + 1}}dx}\\{v = \frac{{{x^2} – 1}}{2}}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l}I = \int_0^{e – 1} x \ln (x + 1)dx\\ = \left[ {\ln (x + 1)\frac{{{x^2} – 1}}{2}} \right]_0^{e – 1} – \frac{1}{2}\int_0^{e – 1} {(x – 1)} dx\\ = \frac{{{e^2} – 2e + 2}}{2} – \left. {\frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)} \right|_0^{e – 1}\end{array}\)
\( = \frac{{{e^2} – 2e + 2}}{2} – \frac{1}{2}\frac{{{e^2} – 4e + 3}}{2} = \frac{{{e^2} + 1}}{4}.\)
Bài tập áp dụng
1)\(I = \int_0^1 {(2x + 2)} {e^x}dx\)
2)\(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 x \cdot \cos xdx\)
3)\(I = \int_0^{2\pi } {{x^2}} \cdot \sin \frac{x}{2}dx\)
4)\(I = \int_0^1 {{{(x + 1)}^2}} {e^{2x}}dx\)
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Câu 1. Cho hai hàm số f, g liên tục trên đoạn [a ; b] và số thụ̣c k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]d{\rm{x}} = \int\limits_a^b {f(x)d{\rm{x + }}\int\limits_a^b {g(x)d{\rm{x}}} } } \).
B. \(\int_a^b f (x)dx = – \int_b^a f (x)dx\).
C. \(\int_a^b k f(x)dx = k\int_a^b f (x)dx\).
D. \(\int_a^b x f(x)dx = x\int_a^b f (x)dx\).
Câu 2. Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) và số thụuc dương a. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?
A. \(\int_a^a f (x)dx = 0\).
B. \(\int_a^a f (x)dx = 1\).
C. \(\int_a^a f (x)dx = – 1\).
D. \(\int_a^a f (x)dx = f(a)\).
Câu 3. Tích phân \(\int_0^1 d x\) có giá trị bằng
A. -1.
B. 1.
C. 0 .
D. 2 .
Câu 4. Cho số thực a thỏa mãn \(\int_{ – 1}^a {{e^{x + 1}}} dx = {e^2} – 1\), khi đó a có giá trị bằng
A. 1 .
B. \( – 1\).
C. 0 .
D. 2 .
Câu 5. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn \([0;\pi ]\) đạt giá trị bằng 0 ?
A. f(x)=cos 3 x.
B. f(x)=sin 3 x.
C. \(f(x) = \cos \left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)\).
D. \(f(x) = \sin \left( {\frac{x}{4} + \frac{\pi }{2}} \right)\).
Câu 6. Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
A. \(\int_1^{{e^2}} {\ln } xdx\).
B. \(\int_0^1 2 dx\).
C. \(\int_0^\pi {\sin } xdx\).
D. \(\int_0^2 x dx\).
Câu 7. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn \(\int_{ – 1}^1 f (x)dx = \int_{ – 2}^2 f (x)dx\) ?
A. \(f(x) = {e^x}\).
B. f(x)=cos x.
C. f(x)=sin x.
D. f(x)=x+1.
Câu 8. Tích phân \(I = \int_2^5 {\frac{{dx}}{x}} \) có giá trị bằng
A. \(3\ln 3\).
B. \(\frac{1}{3}\ln 3\).
C. \(\ln \frac{5}{2}\).
D. \(\ln \frac{2}{5}\).
Câu 9. Tích phân \(I = \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng
A. \(\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}\).
B. \(2\ln 3\).
C. \(\frac{1}{2}\ln 3\).
D. \(2\ln \frac{1}{3}\).
Câu 10. Nếu \(\int_{ – 2}^0 {\left( {4 – {e^{ – x/2}}} \right)} dx = K – 2e\) thì giá trị của K là
A. 12,5 .
B. 9 .
C. 11 .
D. 10 .
Xem thêm