Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
A. LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
1. Nguyên hàm là gì?
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nưa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \({F^\prime }(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K\).
Định lí:
1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.
Do đó \(F(x) + C,C \in \mathbb{R}\) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu \(\int f (x)dx = F(x) + C\).
2. Tính chất của nguyên hàm
Tỉnh chất 1: \({\left( {\int f (x)dx} \right)^\prime } = f(x)\) và \(\int {{f^\prime }} (x)dx = f(x) + C\)
Tính chất 2: \(\int k f(x)dx = k\int f (x)dx\) với k là hằng số khác 0 .
Tinh chất 3: \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]d{\rm{x}} = \int {f(x)d{\rm{x}} \pm \int {g(x)d{\rm{x}}} } } \)
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp |
Nguyên hàm của hàm số hợp (u=u(x)) |
\(\int d x = x + C\) |
\(\int d u = u + C\) |
\(\int {{x^\alpha }} dx = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne – 1)\) |
\(\int {{u^\alpha }} du = \frac{1}{{\alpha + 1}}{u^{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne – 1)\) |
\(\int {\frac{1}{x}} dx = \ln |x| + C\) |
\(\int {\frac{1}{u}} du = \ln |u| + C\) |
\(\int {{e^x}} dx = {e^x} + C\) |
\(\int {{e^u}} du = {e^u} + C\) |
\(\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(a > 0,a \ne 1)\) |
\(\int {{a^u}} du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C(a > 0,a \ne 1)\) |
\(\int {\sin } xdx = – \cos x + C\) |
\(\int {\sin } udu = – \cos u + C\) |
\(\int {\cos } xdx = \sin x + C\) |
\(\int {\cos } udu = \sin u + C\) |
\(\int {\frac{1}{{\cos 2}}} dx = \tan x + C\) |
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}} du = \tan u + C\) |
\(\int {\frac{1}{{\sin 2x}}} dx = – \cot x + C\) |
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = – \cot u + C\) |
II. TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của hàm số trên đoạn , hiệu số được gọi là tích phân từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số .
Kí hiệu là :
Vậy ta có :
Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa:
Trường hợp a>b, ta định nghĩa:
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :
(vì đều bằng )
2. Tính chất của tích phân
( với là hằng số)
(với )
Đặc biệt:
Nếu hàm y = f(x) là hàm số lẻ trên thì
Nếu hàm y = f(x) là hàm số chẵn trên thì
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
Hệ quả: Nếu thì ta có
2. Phương pháp từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
Hay
*Lưu ý: phương pháp giải tích phân tương tự phương pháp giải nguyên hàm, chỉ khác ở việc thêm cận cho tích phân
B. BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2. Hàm số là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 7. Tính
A. 4.
B. 4ln2.
C. 4/ln2.
D. 6.
Câu 8. Cho . Tìm m?
Câu 9. Tính
A. 0.
B. 9.
C. 18.
D. -9.
Câu 10. Tính
Câu 11: Tính
A. 2e2 – 2e + 4.
B. 2e3 + 2e + 2.
C. 2e2 – 2e + 8.
D. 2e2 + 2e + 8.
Câu 12: Cho
với a; b;c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a + b + c = 0.
B. a – 2b + c = 0.
C. a – b + c = -1.
D. a + 2b = 0.
Xem thêm