Giải Toán 12 Ôn tập Chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Giải bài tập Toán lớp 12 Ôn tập Chương I – Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Câu hỏi và bài tập (trang 45 – 47 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 45 SGK Giải tích 12: Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) $y=-x^3+2x^2-x-7$

b) $y=\frac{x-5}{1-x}$

Phương pháp giải:

B1: Tính đạo hàm $y^{\prime }$

B2: Tìm nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$, các giá trị của x mà tại đó hàm số k xác định

B3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến

Biết rằng

a) Nếu $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (a;b)$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng đó.

b) Nếu $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (a;b)$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng đó.

Lời giải:

a)

Xét hàm số: $y=-x^3+2x^2-x-7$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x-1\Rightarrow y^{\prime }=0$

$\begin{array}{l}\iff -3x^2+4x-1=0\\ \iff \left(3x-1\right)\left(x-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}3x-1=0\\ x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=1\end{array}.\end{array}$

Hàm số đồng biến $\iff y^{\prime }>0$ $\iff -3x^2+4x-1>0$

$\begin{array}{l}\iff 3x^2-4x+1<0\\ \iff \left(3x-1\right)\left(x-1\right)<0\\ \iff \frac{1}{3}<x<1.\end{array}$

Hàm số nghịch biến $\iff y^{\prime }<0\iff -3x^2+4x-1<0$

$\begin{array}{l}\iff 3x^2-4x+1>0\\ \iff \left(3x-1\right)\left(x-1\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>1\\ x<\frac{1}{3}\end{array}.\end{array}$

Vậy hàm số đồng biến trong $(\frac{1}{3},1)$ và nghịch biến trong $(-\mathrm{\infty },\frac{1}{3})$ và $(1,+\mathrm{\infty }).$

b)

Xét hàm số:  $y=\frac{x-5}{1-x}=\frac{x-5}{-x+1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{1\}$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{1.1-5.1}{(1-x{)}^2}=\frac{-4}{{(1-x)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\in D$

Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng $(-\infty ,1)$ và $(1,+\infty )$.

Bài 2 trang 45 SGK Giải tích 12: Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số $y=x^4-2x^2+2.$

Phương pháp giải:

Các quy tắc tìm cực trị của hàm số:

Quy tắc 1:

B1. Tìm tập xác định.

B2. Tính $f^{\prime }(x)$. Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }(x)=0$ hoặc $f^{\prime }(x)$ không xác định.

B3. Lập bảng biến thiên.

B4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

B1. Tìm tập xác định.

B2. Tính $f^{\prime }(x)$. Giải phương trình  $f^{\prime }(x)=0$ và kí hiệu $x_i(i=1,2,3,\dots ..)$ là các nghiệm của nó.

B3. Tính $f^{″}(x)$ và $f^{″}(x_i).$

B4. Nếu $f^{″}(x_i)>0$ thì $x_i$ là điểm cực tiểu.

Nếu $f^{″}(x_i)<0$ thì $x_i$ là điểm cực đại.

Lời giải:

Xét hàm số: $y=x^4-2x^2+2$

Có đạo hàm là: $y^{\prime }=4x^3–4x\Rightarrow y^{\prime }=0$

$\begin{array}{l}\iff 4x^3-4x=0\iff 4x\left(x^2-1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}.\end{array}$

Đạo hàm cấp hai: $y^{″}=12x^2–4$

Ta có: $y^{″}(0)=-4<0\Rightarrow$ điểm  $x=0$ là điểm cực đại và $y_{CĐ}=y(0)=2.$

$y^{″}(-1)=8>0;y^{″}(1)=8>0$

$\Rightarrow x=1$ và $x=-1$ là các điểm cực tiểu,  $y_{CT}=y(\pm 1)=1$.

Bài 3 trang 45 SGK Giải tích 12: Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các đường tiệm cận của hàm số:

$y=\frac{2x+3}{2-x}$

Phương pháp giải:

– Cách tìm tiệm cận ngang:

Đường thẳng $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn 

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0\\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0\end{array}$

– Cách tìm tiệm cận đứng:

Đường thẳng $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn 

$\begin{array}{rl}& \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Lời giải:

Ta có:  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x+3}{2-x}=+\mathrm{\infty };$ $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2x+3}{2-x}=-\mathrm{\infty }$

$\Rightarrow x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+3}{2-x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{3}{x}}{\frac{2}{x}-1}=-2$ $\Rightarrow y=-2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4 trang 45 SGK Giải tích 12: Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lời giải:

* Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

* Sự biến thiên của hàm số

– Xét chiều biến thiên của hàm số

  + Tính đạo hàm $y^{\prime }$

  + Tại các điểm đó đạo hàm $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định

  + Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

* Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

– Nêu lưu ý đến tính chẵn, tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12: Cho hàm số $y=2x^2+2mx+m-1$ có đồ thị là $(C_m)$, $m$ là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1$

b) Xác định m để hàm số:

– Đồng biến trên khoảng $(-1,+\infty )$

– Có cực trị trên khoảng $(-1,+\infty )$

c) Chứng minh rằng $(C_m)$ luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Phương pháp giải:

a)

* Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

* Sự biến thiên của hàm số

– Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y^{\prime }$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

* Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

– Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

b)

+) Hàm số đồng biến trên $(a;b)\iff y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\ne \left(a;b\right).$ 

+) Hàm số nghịch biến trên $(a;b)\iff y^{\prime }<0\mathrm{\forall }x\ne \left(a;b\right).$ 

c) Đồ thị hàm số $(C_m)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m\iff y=f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$

Lời giải:

$y=2x^2+2mx+m-1$ $(C_m)$. Đây là hàm số bậc hai, có đồ thị là parabol, bề lõm quay lên trên.

a) Với $m=1$ ta có hàm số: $y=2x^2+2x.$

Tập xác định $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=4x+2.$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 4x+2=0\iff x=\frac{-1}{2}$

+) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{-1}{2};+\mathrm{\infty }\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{-1}{2}\right)$

+) Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{-1}{2}$; $y_{CT}=\frac{-1}{2}$

+) Giới hạn:

   $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục $Ox$ tại hai điểm $(-1;0)$ và $(0;0)$

Cắt $Oy$ tại $(0;0).$

b)

Tổng quát $y=2x^2+2mx+m-1$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$

Có $y^{\prime }=4x+2m=0\Rightarrow y^{\prime }=0$

$\iff 4x+2m=0\iff x=\frac{-m}{2}$

Suy ra $y^{\prime }>$ 0 với $x>\frac{-m}{2};y^{\prime }<0$ với $x<\frac{-m}{2}$ , tức là hàm số nghịch biến trên $(-\mathrm{\infty };\frac{-m}{2})$ và đồng biến trên $(\frac{-m}{2};+\mathrm{\infty })$

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1,+\infty )$ thì phải có điều kiện $(-1;+\mathrm{\infty })\subset (\frac{-m}{2};+\mathrm{\infty })$

$\iff \frac{-m}{2}\le -1\iff m\ge 2$

ii) Hàm số đạt cực trị tại  $x=\frac{-m}{2}$ .

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng $(-1;+\infty )$, ta phải có:

$\begin{array}{rl}& \frac{-m}{2}\in (-1,+\mathrm{\infty })\\ & \iff \frac{-m}{2}>-1\iff 1>\frac{m}{2}\iff m<2\end{array}$

c)

$(C_m)$ luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $x=\frac{-m}{2}$

$\iff$ phương trình $2x^2+2mx+m–1=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: ${\Delta }^{\prime }=m^2–2m+2$ $=(m-1{)}^2+1>0,\forall m$

Vậy $(C_m)$ luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.

Cách khác

Nhận thấy: $-\frac{m^2}{2}+m-1$$=-\frac{1}{2}\left(m^2-2m+2\right)$$=-\frac{1}{2}{\left(m-1\right)}^2-\frac{1}{2}<0$ với mọi m.

Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi $m$.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng $y=0$ (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).

Bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(C)$ của hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+9x+2.$

b) Giải bất phương trình $f^{\prime }(x-1)>0.$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0,$ biết rằng $f^{″}(x_0)=-6.$

Phương pháp giải:

a)

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

– Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y^{\prime }$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

– Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

b) Tính đạo hàm $y=f^{\prime }(x).$ Thay $x-1$ vào vị trí của $x$ để tính $f^{\prime }(x-1)$ và giải bất phương trình $f^{\prime }(x-1)>0.$

c) Giải phương trình $f^{″}(x_0)=-6$ để tìm $x_0.$ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ theo công thức: $y=y^{\prime }(x_0)(x-x_0)+y(x_0).$
Lời giải:

a)

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên:  

Ta có:$y^{\prime }=-3x^2+6x+9.$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x+9=0$

$\begin{array}{l}\iff -3\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x+1=0\\ x-3=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}.\end{array}$

– Hàm số đồng biến trên khoảng: $(-1;3)$, nghịch biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(3;+\mathrm{\infty })$

– Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại $x=3$; $y_{CĐ}=29$

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$; $y_{CT}=-3$

– Giới hạn:

   $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$
   $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$

-Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục $Oy$ tại điểm $(0;2)$

Đồ thị hàm số nhận $I(1;13)$ làm tâm đối xứng.

b)

$y=f(x)=-x^3+3x^2+9x+2$

$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9$. 

$\Rightarrow f^{\prime }(x-1)=-3(x-1{)}^2+6(x-1)+9$

$=-3\left(x^2-2x+1\right)+6x-6+9$ $=-3x^2+6x-3+6x+3$

= $-3x^2+12x$

$\Rightarrow f^{\prime }(x-1)>0$ $\iff -3x^2+12x>0\iff 0<x<4$

c)

Có $f^{″}(x)=-6x+6$

$f^{″}(x_0)=-6\iff -6x_0+6=-6$ $\iff x_0=2$

Do đó: $f^{\prime }(2)=9,f(2)=24$.

Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại $x_0=2$ là:

$y=f^{\prime }(2)(x-2)+f(2)$ $\iff y=9(x-2)+24$ $\iff y=9x+6.$

Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số: $y=x^3+3x^2+1.$

b) Dựa vào đồ thị $(C)$, biện luận số nghiệm của phương trình sau theo $m$: $x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}.$

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị $(C).$

Phương pháp giải:

a)

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

– Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y^{\prime }$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

– Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

b) Số nghiệm của phương trình $f(x)=\frac{m}{2}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=\frac{m}{2}.$ Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.

c) Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Viết pt đường thẳng $AB$ đi qua 2 điểm $A,B$ ta làm như sau:

+ Tìm tọa độ $\overrightarrow{AB}$ suy ra tọa độ VTPT của đt.

+ Viết pt đường thẳng theo công thức $$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)=0$$

Lời giải:

a)

$y=x^3+3x^2+1$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow y^{\prime }=0\iff 3x\left(x+2\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=0\\ x+2=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}.\end{array}$

– Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };-2)$ và $(0;+\mathrm{\infty })$, nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2$; $y_{CĐ}=5$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$; $y_{CT}=1$.

– Giới hạn: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

– Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao $Oy$ tại $(0;1)$

Đồ thị hàm số nhận $I(-1;3)$ làm tâm đối xứng.

b)

Số nghiệm của phương trình $x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}$ chính là số giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $(d)$: $y=\frac{m}{2}$ 

Từ đồ thị ta thấy:

– Với $\frac{m}{2}<1\iff m<2$ : $(d)$ cắt $(C)$ tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

– Với $\frac{m}{2}=1\iff m=2$: $(d)$ tiếp xúc với $(C)$ tại 1 điểm và cắt $(C)$ tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

– Với $1<\frac{m}{2}<5\iff 2<m<10$: $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.

– Với  $\frac{m}{2}=5\iff m=10$: $(d)$ cắt $(C)$ tại 1 điểm và tiếp xúc với $(C)$ tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

– Với $\frac{m}{2}>5\iff m>10$: $(d)$ cắt $(C)$ tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.

Vậy, nếu $m<2$ hoặc $m>10$ thì phương trình có $1$ nghiệm duy nhất.

+ Nếu $m=2$ hoặc $m=10$ thì phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.

+ Nếu $2<m<10$ thì phương trình có $3$ nghiệm phân biệt.

c)

Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là $A(-2,5)$, điểm cực tiểu là $B(0,1)$. 

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;-4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{AB}}=\left(4;2\right)$ là VTPT của $AB.$

$AB$ đi qua $A(-2;5)$ và nhận $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(4;2\right)$ làm VTPT nên có pt:

$4\left(x+2\right)+2\left(y-5\right)=0$$\iff 4x+2y-2=0$ $\iff 2x+y-1=0$

Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12: Cho hàm số: $f(x)=x^3–3m{x}^2+3(2m-1)x+1$ ($m$ là tham số).

a) Xác định $m$ để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số $m$, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Xác định $m$ để $f^{″}(x)>6x.$

Phương pháp giải:

a)  Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên tập xác định $\iff f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định.

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu $\iff y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Tính $f^{″}(x)$ sau đó giải bất phương trình $f^{″}(x)>6x.$

Lời giải:

a)

$y=f(x)=x^3–3m{x}^2+3(2m-1)x+1$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=3x^2-6mx+3(2m-1)=3(x^2–2mx+2m–1)$

Hàm số đồng biến trên $D=\mathbb{R}$ $\iff y^{\prime }\ge 0,\forall x\in R$

$\iff x^2–2mx+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$

$\iff {\Delta }^{\prime }\le 0$. Mà ${\Delta }^{\prime }=m^2–1.(2m-1)$

$\iff m^2–2m+1\le 0\iff (m-1{)}^2\le 0\iff m=1.$

(Vì ${\left(m-1\right)}^2\ge 0,\mathrm{\forall }m$ nên ${\left(m-1\right)}^2\le 0$ chỉ xảy ra khi $m-1=0$)

b)

Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

$\iff$ phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff x^2-2mx+2m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0$. Mà ${\Delta }^{\prime }=m^2–1.(2m-1)$

$\iff (m-1{)}^2>0\iff m\ne 1.$

c)

Ta có: $f(x)=x^3–3m{x}^2+3(2m-1)x+1$

$\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2–3.2mx+3(2m-1)=3x^2-6mx+3(2m-1)$

$\Rightarrow f^{″}(x)=6x–6m$

Để $f^{″}(x)>6x\iff 6x–6m>6x$

$\iff -6m>0$

$\iff m<0.$

Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số  $f(x)=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị $(C)$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f^{″}(x)=0.$

c) Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $x^4-6x^2+3=m.$

Phương pháp giải:

a)

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

– Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y^{\prime }$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

– Tìm cực trị

– Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

– Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

– Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

– Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

– Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

b) Giải phương trình $f^{″}(x)=0$ để tìm $x_0.$ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ theo công thức: $y=y^{\prime }(x_0)(x-x_0)+y(x_0).$

c) Đưa phương trình về dạng: $\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}=\frac{m}{2}.$ Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải:

a)

Xét hàm số y = $f(x)=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}$  $(C)$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=2x^3-6x=2x(x^2–3)$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=3\end{array}$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{3}\end{array}.$

– Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\mathrm{\infty };-\sqrt{3})$ và $(0;\sqrt{3})$, đồng biến trên khoảng $(-\sqrt{3};0)$ và $(\sqrt{3};+\mathrm{\infty })$.

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$; $y_{CĐ}=\frac{3}{2}$

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $x=-\sqrt{3}$ và $x=\sqrt{3}$; $y_{CT}=y(\pm \sqrt{3})=-3$

– Giới hạn:

   $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{limy}=+\mathrm{\infty }$

– Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.

b)

Ta có: $y^{″}=6x^2–6$

$\Rightarrow y^{″}=0\iff 6x^2–6=0$ $\iff x^2-1=0\iff x=\pm 1.$

Có $y^{\prime }(-1)=4;y^{\prime }(1)=-4;y(\pm 1)=-1$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(-1,-1)$ là : $y=4(x+1)–1=4x+3.$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $(1,-1)$ là: $y=-4(x-1)–1=-4x+3.$

c)

Ta có: $x^4-6x^2+3=m$ $\iff \frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}=\frac{m}{2}$ (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d$ : $y=\frac{m}{2}$

Từ đồ thị ta thấy:

$\frac{m}{2}<-3\iff m<-6$ thì $d$ và $(C)$ không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.

$\frac{m}{2}=-3\iff m=-6$ thì $d$ và $(C)$ có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

$-3<\frac{m}{2}<\frac{3}{2}\iff -6<m<3$ thì d và $(C)$ có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.

$\frac{m}{2}=\frac{3}{2}\iff m=3$ thì $d$ và $(C)$ có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.

$\frac{m}{2}>\frac{3}{2}\iff m>3$ thì $d$ và $(C)$ có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

Vậy:

+) $m<-6$ thì phương trình vô nghiệm.

+) $m=-6$ hoặc $m>3$ thì PT có 2 nghiệm.

+) $m=3$ thì PT có 3 nghiệm.

+) $–6<m<3$ thì PT có 4 nghiệm.

Bài 10 trang 46 SGK Giải tích 12: Cho hàm số: $y=-x^4+2m{x}^2-2m+1$ ( $m$ là tham số) có đồ thị $(C_m).$

a) Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

b) Với giá trị nào của m thì $(C_m)$ cắt trục hoành?

c) Xác định m để $(C_m)$ có cực đại, cực tiểu.

Phương pháp giải:

a) Số cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình: $y^{\prime }=0.$ Biện luận số cực trị của hàm số tức là biện luận số nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0.$

b) $(C_m)$ cắt trục hoành $\iff$ phương trình $y=f(x)=0$ có nghiệm.

c) Hàm số có cực đại và cực tiểu  $\iff$ phương trình $y^{\prime }=f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải:

a)

$y=-x^4+2m{x}^2-2m+1$ $(C_m).$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Ta có: $y^{\prime }=-4x^3+4mx=-4x(x^2-m)$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff -4x(x^2-m)=0$ $\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}.$

+) Với $m\le 0$ thì $y^{\prime }$ có một nghiệm $x=0$ và đổi dấu $+$ sang $–$ khi qua nghiệm này.

Do đó hàm số có một điểm cực đại là $x=0$

+) Với $m>0$ phương trình $y^{\prime }=0$ có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có điểm 3 cực trị.

Do đó, hàm số có 2 điểm cực đại là $x=\pm \sqrt{m}$ và có một điểm cực tiểu là $x=0$.

b)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $(C_m)$ và trục hoành là: 

$\begin{array}{l}-x^4+2m{x}^2-2m+1=0\\ \iff \left(x^4-1\right)-2m\left(x^2-1\right)=0\\ \iff \left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-2m\left(x^2-1\right)=0\\ \iff \left(x^2-1\right)\left(x^2-2m+1\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}{x}^2-1=0\\ x^2-2m+1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm 1\\ x^2=2m-1\end{array}.\end{array}$

Ta thấy phương trình hoành độ giao điểm luôn có nghiệm $x=\pm 1$ với mọi m nên $(C_m)$ luôn cắt trục hoành.

Cách khác:

– Xét $m\le 0$, phương trình $y^{\prime }=0$ có nghiệm duy nhất $x=0.$

Ta có bảng biến thiên :

$(C_m)$ cắt trục hoành $\iff 1–2m\ge 0$

$\iff m\le \frac{1}{2}$

Kết hợp $m\le 0$ ta được $m\le 0$ (1)

– Xét $m>0$, phương trình $y^{\prime }=0$ có 3 nghiệm 0 ; $\pm \sqrt{m}$

Ta có bảng biến thiên :

$(C_m)$ cắt trục hoành $\iff (m-1{)}^2=0\iff m\ne 1$

Kết hợp với $m>0$ ta được $m>0$ (2)

Kết hợp (1) và (2) suy ra $(C_m)$ cắt trục hoành với mọi $m\in R.$

c)

Theo lời giải câu a, ta thấy ngay: với $m>0$ thì đồ thị $(C_m)$ có cực đại và cực tiểu.

Bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}.$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, đường thẳng $y=2x+m$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N.$

c) Xác định m sao cho độ dài $MN$ là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm $S$ bất kì của $(C)$ luôn cắt hai tiệm cận của $(C)$ tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $S$ là trung điểm của $PQ$.

Phương pháp giải:

a) Khảo sát và vẽ đồ thi qua các bước đã được học.

b) Chứng minh phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ với mọi $m.$
c) Với hai điểm $M$ và $N$ tìm được ở câu trên, tính độ dài đoạn thẳng $MN$ theo công thức: $MN=\sqrt{{\left(x_N-x_M\right)}^2+{\left(y_N-y_M\right)}^2}=\sqrt{f\left(x\right)}.$

+) Khảo sát  và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ từ đó suy ra độ dài nhỏ nhất của $MN.$

d) Gọi $S(x_0;y_0)$ là 1 điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số $(C).$ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $S$ là: $\mathrm{\Delta }:y=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0.$

+) Tìm các giao điểm $P,Q$ của tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ với các đường tiệm cận.

+) Khi đó $S$ là trung điểm của $PQ\iff \{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{x_P+x_Q}{2}\\ y_0=\frac{y_P+y_Q}{2}\end{array}.$

Lời giải:

a)

Xét hàm số: $y=\frac{x+3}{x+1}$

Tập xác định : $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1\}$

* Sự biến thiên:

 $y^{\prime }=\frac{-2}{{(x+1)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\in D$ 

– Hàm số nghịch biến trên khoảng: $(-\mathrm{\infty };-1)$ và $(-1;+\mathrm{\infty })$

– Cực trị: Hàm số không có cực trị.

– Tiệm cận:

    $\begin{array}{rl}& \underset{x\to -1^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to -1^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=1\end{array}$

Tiệm cận đứng: $x=-1.$

Tiệm cận ngang: $y=1.$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao $Ox$ tại $(-3;0)$, giao $Oy$ tại $(0;3)$

Đồ thị hàm số nhận điểm $I(-1;1)$ làm tâm đối xứng.

 

b)

Xét phương trình có nghiệm là hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng (d): $y=2x+m$ (1) 

$\begin{array}{rl}& \frac{x+3}{x+1}=2x+m\iff x+3=(2x+m)(x+1)\\ & \iff 2x^2+(m+1)x+m-3=0,x\ne -1\end{array}$

$\Delta =(m+1{)}^2–4.2(m-3)=m^2+2m+1-8m+24=m^2–6m+25=(m-3{)}^2+16>0$

$\Rightarrow$ (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Lại có:  $f\left(-1\right)=2.{\left(-1\right)}^2-\left(m+1\right)+m-3=-2\ne 0$ hay phương trình (1) có nghiệm khác $-1$.

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$ với mọi $m.$

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M,N$ (hoành độ của $M,N$ chính là nghiệm của (1)).

c)

Gọi $M\left(x_M;y_M\right)$ và $N\left(x_N;y_N\right)$ là hai giao điểm của $(C)$ và đường tahnwgr $y=2x+m.$

Theo định lí Vi-et ta có:$\{\begin{array}{c}{x}_M+x_N=-\frac{m+1}{2}\hfill \\ x_M.x_N=\frac{m-3}{2}\hfill \end{array}$

$\begin{array}{l}M{N}^2={\left(x_M-x_N\right)}^2+{\left(y_M-y_N\right)}^2\\ ={\left(x_M-x_N\right)}^2+{\left[2x_M+m-\left(2x_N+m\right)\right]}^2\\ ={\left(x_M-x_N\right)}^2+4{\left(x_M-x_N\right)}^2\\ =5{\left(x_M-x_N\right)}^2\\ =5\left[{\left(x_M+x_N\right)}^2-4x_M{x}_N\right]\\ =5\left[{\left(-\frac{m+1}{2}\right)}^2-4.\frac{m-3}{2}\right]\\ =5\left(\frac{m^2+2m+1}{4}-2m+6\right)\\ =5.\frac{m^2-6m+25}{4}\\ =\frac{5}{4}\left[\left(m^2-6m+9\right)+16\right]\\ =\frac{5}{4}\left[{\left(m-3\right)}^2+16\right].\end{array}$

Ta có: ${\left(m-3\right)}^2\ge 0\mathrm{\forall }m\Rightarrow {\left(m-3\right)}^2+16\ge 16$

$\begin{array}{l}\Rightarrow M{N}^2\ge \frac{5}{4}.16=20.\\ \Rightarrow MN\ge 2\sqrt{5}.\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\iff m-3=0\iff m=3.$

Vậy độ dài $MN$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt{5}$ khi $m=3.$

d)

Giả sử $S(x_0;y_0)$ là điểm bất kì thuộc (C)

Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của (C) tại $S$ là:

$\begin{array}{rl}& y-y_0=y^{\prime }(x_0)(x-x_0)\\ & \iff y=\frac{-2}{{(x_0+1)}^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\end{array}$

Tiệm cận đứng: $x=-1$ và tiệm cận ngang: $y=1.$

Giả sử $\Delta$ cắt tiệm cận ngang tại $P(x_P;1)$. Khi đó: 

$\begin{array}{l}\frac{-2}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(x_P-x_0\right)+\frac{x_0+3}{x_0+1}=1\\ \iff -2x_P+2x_0+x_0^2+4x_0+3=x_0^2+2x_0+1\\ \iff -2x_P=-4x_0-2\\ \iff x_P=2x_0+1\\ \Rightarrow P\left(2x_0+1;1\right).\end{array}$

$\Delta$ cắt tiệm cận đứng tại $Q(-1;y_Q).$ Khi đó:

$\begin{array}{l}\frac{-2}{{\left(x_0+1\right)}^2}\left(-1-x_0\right)+\frac{x_0+3}{x_0+1}=y_Q\\ \iff 2+2x_0+x_0^2+4x_0+3=y_Q{\left(x_0+1\right)}^2\\ \iff x_0^2+6x_0+5=y_Q{\left(x_0+1\right)}^2\\ \iff \left(x_0+1\right)\left(x_0+5\right)=y_Q{\left(x_0+1\right)}^2\\ \iff y_Q=\frac{x_0+5}{x_0+1}.\\ \Rightarrow Q\left(-1;\frac{x_0+5}{x_0+1}\right)\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_P+x_Q=2x_0+1-1=2x_0=2x_S\\ y_P+y_Q=1+\frac{x_0+5}{x_0+1}=\frac{2x_0+6}{x_0+1}=\frac{2\left(x_0+3\right)}{x_0+1}=2y_0=2y_S.\end{array}$

Vậy $S$ là trung điểm của $PQ$.

Bài 12 trang 47 SGK Giải tích 12: Cho hàm số: $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+6$

a) Giải phương trình $f^{\prime }(\sin x)=0$

b) Giải phương trình $f^{″}(cosx)=0$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f^{″}(x)=0$.

Phương pháp giải:

a) +) Tính đạo hàm $f^{\prime }(x)$ và $f^{″}(x).$

+) Thay $\sin x$ vào giải phương trình $f^{\prime }(\sin x)=0$.

b) Thay $\cos x$ vào giải phương trình $f^{″}(\cos x)=0$.

c) Giải phương trình $f^{″}(x)=0$ để tìm nghiệm $x_0.$

+) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo công thức: $y=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y\left(x_0\right).$

Lời giải:

a)

$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+6$

$\Rightarrow f^{\prime }(x)=x^2–x–4$

$\Rightarrow f^{″}(x)=2x–1$

a) Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(s\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})=0\iff {\sin }^{2}x-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-4=0\\ & \iff \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}(1)\\ & Do\frac{1-\sqrt{17}}{2}<-1,\frac{1+\sqrt{17}}{2}>1\end{array}$

Suy ra (1) vô nghiệm.

Cách 2: Đặt $t=\sin x$,$-1\le t\le 1$

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(t)=0\iff t^2-t-4=0\\ & \iff t=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}(1)\\ & Do\frac{1-\sqrt{17}}{2}<-1,\frac{1+\sqrt{17}}{2}>1\end{array}$

Suy ra $f^{\prime }(\sin x)=0$ vô nghiệm.

b)

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& f^{″}(\cos x)=0\iff 2\cos x-1=0\\ & \iff \cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\\ & \iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$

c)

$f^{″}\left(x\right)=0\iff 2x-1=0\iff x=\frac{1}{2}$

Ta có:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-4=\frac{-17}{4}\\ & f(\frac{1}{2})=\frac{1}{3}.\frac{1}{8}-\frac{1}{2}.\frac{1}{4}-4.\frac{1}{2}+6=\frac{47}{12}\end{array}$

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

$y=\frac{-17}{4}(x-\frac{1}{2})+\frac{47}{12}$ $\iff y=-\frac{17}{4}x+\frac{145}{24}$.

Bài tập trắc nghiệm (trang 47 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 47 SGK Giải tích 12: Số điểm cực trị của hàm số là: $y=-\frac{1}{3}{x}^3-x+7$

A. $1$           B. $0$             C. $3$            D. $2$

Phương pháp giải:

+) Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$ mà tại đó $y^{\prime }$ có đổi dấu từ âm sang dương hoặc ngược lại.

Lời giải:

$y^{\prime }=-x^2-1<0,\forall x\in \mathbb{R}$

Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định. Do đó hàm số không có cực trị.

Chọn đáp án B

Bài 2 trang 47 SGK Giải tích 12: Số điểm cực đại của hàm số $y=x^4+100$ là:

A. $0$               B. $1$               C. $2$            D. $3$

Phương pháp giải:

Điểm $x=x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ nếu: $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}.$

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=4x^3\Rightarrow y^{\prime }=0\iff x=0$.

Đạo hàm $y^{\prime }<0$  với $x<0$ và $y^{\prime }>0$ với $x>0$.

BBT:

Vậy hàm số chỉ có $1$ cực tiểu tại $x=0$ và không có điểm cực đại.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 3 trang 47 SGK Giải tích 12: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{1-x}{1+x}$ là

A. $1$            B. 2              C. $3$             D. $0$

Phương pháp giải:

– Đường thẳng $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$.

– Đường thẳng $x=x_0$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\begin{array}{l}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty };\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }$.

$\Rightarrow$  $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y$ $=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1-x}{1+x}$ $=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}=-1$

$\Rightarrow$  $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận.

Chọn đáp án B

Bài 4 trang 47 SGK Giải tích 12: Hàm số $y=\frac{2x-5}{x+3}$ đồng biến trên:

A. $\mathbb{R}$                            B. $(-\infty ,3)$        

C. $(-3,+\infty )$             D. $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-3\}$

Phương pháp giải:

+) Tìm TXĐ của hàm số.

+) Tính đạo hàm $y^{\prime }.$

+) Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Lời giải:

Tập xác định của hàm số : $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-3\}$

Có $y^{\prime }=\frac{11}{{(x+3)}^2}>0,\mathrm{\forall }x\in D$

Hàm số đồng biến trên $\left(-\mathrm{\infty };-3\right)$ và $\left(-3;+\mathrm{\infty }\right).$

Chọn đáp án C.

Lưu ý:

Khi kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến thì không kết luận gộp, chẳng hạn: $(a;b)\cup (c;d)$ hay $R\mathrm{\setminus }\left\{a\right\}$ mà chỉ được kết luận từng khoảng rời nhau, như là:$(a;b)$ và $(c;d);$ $\left(-\mathrm{\infty };a\right)$ và $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bài 5 trang 47 SGK Giải tích 12: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-5$

A. Song song với đường thẳng $x=1.$

B. Song song với trục hoành.

C. Có hệ số góc dương.

D. Có hệ số góc bằng $-1.$

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ điểm cực tiểu $(x_0;y_0)$ của đồ thị hàm số $y=f(x).$

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0;y_0)$ theo công thức: $y=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0.$

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=x^2–4x+3=0$ $\iff x=1,x=3$

$y^{″}=2x-4,$

$y^{″}(1)=-2<0$ nên $x=1$ là điểm cực đại của hàm số.

$y^{″}(3)=2>0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu có hệ số góc $y^{\prime }(3)=0$.

Do đó tiếp tuyến song song với trục hoành.

Chọn đáp án B

Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ

1. Các kiến thức cần nhớ

Công thức tịnh tiến hệ tọa độ:

Cho điểm $I\left(x_0;y_0\right),M\left(x;y\right)$ đối với hệ tọa độ $Oxy$

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow{OI}$ là: $\{\begin{array}{l}x=X+x_0\\ y=Y+y_0\end{array}$

Khi đó điểm $I\left(0;0\right),M\left(X,Y\right)$ đối với hệ tọa độ $IXY$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ mới:

Cho đường cong $\left(C\right):y=f\left(x\right)$ trong hệ tọa độ $Oxy$, khi đó phương trình của $\left(C\right)$ trong hệ tọa độ $IXY$ là:

$Y=f\left(X+x_0\right)-y_0$

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số:

Nếu hàm số $Y=g\left(X\right)$ là hàm số lẻ (trong hệ tọa độ mới $IXY$) thì điểm $I\left(x_0;y_0\right)$ trong hệ tọa độ $Oxy$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$

2. Một số dạng thường gặp

Dạng 1: Tìm công thức chuyển hệ tọa độ.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính tọa độ điểm $I$ (nếu cần).

– Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ $\{\begin{array}{l}x=X+x_0\\ y=Y+y_0\end{array}$

Dạng 2: Viết phương trình đường cong sau khi chuyển hệ tọa độ.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm tọa độ điểm $I$ (nếu cần)

– Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ $\{\begin{array}{l}x=X+x_0\\ y=Y+y_0\end{array}$

– Bước 3: Viết phương trình đường cong đối với hệ tọa độ mới: $Y=f\left(X+x_0\right)-y_0$

Dạng 3: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(ad-bc\ne 0\right)$

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm tọa độ điểm $I$: $\{\begin{array}{l}{x}_0=-\frac{d}{c}\\ y_0=\frac{a}{c}\end{array}$

– Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ $\{\begin{array}{l}x=X+x_0\\ y=Y+y_0\end{array}$

– Bước 3: Viết phương trình đường cong đối hệ tọa độ mới: $Y=f\left(X+x_0\right)-y_0$.

– Bước 4: Chứng minh $g\left(-X\right)=-g\left(X\right)=-Y$ suy ra hàm số $Y=g\left(X\right)$ là hàm số lẻ và kết luận.

Dạng 4: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba. 

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime },y^{″}$, giải phương trình $y^{″}=0$ tìm nghiệm $x_0\Rightarrow$ điểm $I\left(x_0;y_0\right)$

– Bước 2: Viết công thức chuyển hệ tọa độ $\{\begin{array}{l}x=X+x_0\\ y=Y+y_0\end{array}$

– Bước 3: Viết phương trình đường cong đối hệ tọa độ mới: $Y=f\left(X+x_0\right)-y_0$.

– Bước 4: Chứng minh $g\left(-X\right)=-g\left(X\right)=-Y$ suy ra hàm số $Y=g\left(X\right)$ là hàm số lẻ và kết luận.

Các dạng toán về hàm phân thức có tham số
Dạng 1: Xét các tính chất của hàm số có bảng biến thiên cho trước. (Khoảng đơn điệu của hàm số, tiệm cận, tâm đối xứng của đồ thị hàm số,…)

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.

+ Tại điểm $x_0$ mà $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}y=\pm \mathrm{\infty }$ hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}y=\pm \mathrm{\infty }$ thì $x=x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, khi đó $x_0$ là nghiệm của mẫu thức.

+ Nếu có $y=y_0$ tại điểm $x=\pm \mathrm{\infty }$ thì $y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, khi đó $y_0=\frac{a}{c}$.

– Bước 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng $\left(a;b\right)\supset \left(c;d\right)$ thì nó cũng đồng biến trên $\left(c;d\right)$.

– Bước 3: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Giao điểm $I\left(x_0;y_0\right)$ của  đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

HS có thể xét tính đúng sai của từng đáp án, đối chiếu với bảng biến thiên để loại đáp án, không nhất thiết phải thực hiện tuần tự từng bước ở trên, tránh mất nhiều thời gian.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số thể đồ thị hàm số có tâm đối xứng thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận $\iff \{\begin{array}{l}c\ne 0\\ ad-bc\ne 0\end{array}$.

– Bước 2: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm 2 tiệm cận $I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$.

– Bước 3: Thay tọa độ tâm đối xứng vào điều kiện đề bài để tìm $m$.

– Bước 4: Kết hợp với điều kiện ở bước 1 để kết luận điều kiện của $m$.

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1:  Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận $\iff \{\begin{array}{l}c\ne 0\\ ad-bc\ne 0\end{array}$.

– Bước 2: Tìm phương trình hai đường tiệm cận $x=-\frac{d}{c};y=\frac{a}{c}$.

– Bước 3: Thay vào điều kiện đề bài để tìm $m$.

– Bước 4: Kết hợp với điều kiện ở bước 1 để kết luận điều kiện của $m$.

Dạng 4: Tìm điều kiện cho các hệ số trong hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có đồ thị cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng $x=x_0\Rightarrow -\frac{d}{c}=x_0$.

+ Tiệm cận ngang $y=y_0\Rightarrow \frac{a}{c}=y_0$.

– Bước 2: Tìm điểm đi qua của đồ thị hàm số (thường là giao của đồ thị hàm số với $Ox,Oy$)

+ Giao điểm của đồ thị hàm số với $Ox$ là $\left(-\frac{b}{a};0\right)$.

+ Giao điểm của đồ thị hàm số với $Oy$ là $\left(0;\frac{b}{d}\right)$.

– Bước 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $\Rightarrow ad-bc$.

Các dạng toán về tương giao đồ thị

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

– Bước 2: Giải phương trình tìm $x$, rồi từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

Dạng 2: Tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Đối với dạng bài này, ta cũng có thể sử dụng phương pháp ở trên, nhưng đối với bài toán không tìm được hết các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thì ta có thể sử dụng phương pháp dưới đây:

Phương pháp:

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

– Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ trên TXĐ.

+ Tính $h^{\prime }\left(x\right)$, giải phương trình $h^{\prime }\left(x\right)=0$ tìm các nghiệm và các điểm $h^{\prime }\left(x\right)$ không xác định.

+ Xét dấu $h^{\prime }\left(x\right)$ và lập bảng biến thiên.

– Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$.

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ và $y=g\left(x\right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $h\left(x\right)$ với trục hoành (đường thẳng $y=0$)

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để phương trình $f\left(x\right)=g\left(m\right)$ có nghiệm trên đoạn cho trước.

Phương pháp:

– Bước 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$.

+ Tính $f^{\prime }\left(x\right)$, giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ tìm các nghiệm thuộc đoạn $\left[a;b\right]$ và các điểm $f^{\prime }\left(x\right)$ không xác định.

+ Xét dấu $f^{\prime }\left(x\right)$ và lập bảng biến thiên.

– Bước 2: Nêu điều kiện để phương trình $f\left(x\right)=g\left(m\right)$ có một, hai,… nghiệm là đường thẳng $y=g\left(m\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại một điểm, hai điểm,… trên đoạn $\left[a;b\right]$, từ đó suy ra điều kiện của $g\left(m\right)$.

– Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình ẩn $m$ ở trên và tìm điều kiện của $m$.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được $m$ và $x$)

– Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm $f\left(x\right)=0$

– Bước 2: Tính $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c,{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=b^2-3ac$

– Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình $f\left(x\right)=0$ có nghiệm:

+) Phương trình có $1$ nghiệm duy nhất nếu đồ thị hàm số không có điểm cực trị nào hoặc có hai điểm cực trị cùng nằm về một phía đối với trục hoành

$\iff [\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\le 0\\ \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)>0\end{array}\end{array}$ với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$.

+) Phương trình có 2 nghiệm nếu $f\left(x_1\right)=0$ hoặc $f\left(x_2\right)=0$ với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$.

+) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành

$\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\\ f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)<0\end{array}$

– Bước 4: Kết luận giá trị cần tìm của $m$.

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 $y=f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2+c$ cắt trục hoành.

(Áp dụng cho những bài toán không tách riêng được $m$ và $x$)

– Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left(x\right)=0$

– Bước 2: Đặt $t=x^2\ge 0$, phương trình trở thành $a{t}^2+bt+c=0(\ast )$.

– Bước 3: Nêu điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm:

+ Phương trình bậc 4 có 4 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm phân biệt dương $\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ S>0\\ P>0\end{array}$

+ Phương trình bậc 4 có 3 nghiệm phân biệt nếu (*) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng $0$$\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }>0\\ S>0\\ P=0\end{array}$

+ Phương trình bậc 4 có 2 nghiệm phân biệt nếu (*) có hai nghiệm trái dấu, hoặc 1 nghiệm kép dương $\iff [\begin{array}{l}P<0\\ \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=0\\ S>0\end{array}\end{array}$

+ Phương trình bậc 4 có 1 nghiệm duy nhất nếu (*) có 1 nghiệm kép bằng $0$ hoặc có 1 nghiệm bằng $0$ và 1 nghiệm âm $\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=0\\ S=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}P=0\\ S<0\end{array}\end{array}$

+ Phương trình bậc 4 vô nghiệm nếu (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm hoặc nghiệm kép âm$\iff [\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }<0\\ \{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\ge 0\\ S<0\\ P>0\end{array}\end{array}$.

– Bước 4: Kết luận điều kiện của $m$