Giải Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Trả lời câu hỏi giữa bài
Trả lời câu hỏi 1 trang 71 SGK Giải tích 12: Cho biết năm $2003$, Việt Nam có $80902400$ người và tỉ lệ tăng dân số là $1,47$. Hỏi năm $2010$ Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi ?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $T=A{\left(1+r\right)}^N$

Lời giải:

Từ năm $2003$ đến năm $2010$ là $7$ năm.

Vậy năm $2010$ Việt Nam sẽ có số người là: $80902400.{\left(1+0.0147\right)}^7=89603511,14.$

Trả lời câu hỏi 2 trang 71 SGK Giải tích 12: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ ? Với cơ số bao nhiêu ?

$\begin{array}{rl}& a)y=(\sqrt{3}{)}^x\\ & b)y=5^{\frac{x}{3}}\\ & c)y=x^{-4}\\ & d)y=4^{-x}\end{array}$

Phương pháp giải: 

Hàm số $y=a^x(0<a\ne 1)$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

Lời giải:

Các hàm số mũ là $y=(\sqrt{3}{)}^x$ với cơ số là $\sqrt{3}$; $y=5^{\frac{x}{3}}$ với cơ số là $5^{\frac{1}{3}}$; $y=4^{-x}$ với cơ số là $4^{-1}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 75 SGK Giải tích 12: Tìm đạo hàm của hàm số: $y=\ln (x+\sqrt{(1+x^2)})$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=[\ln (x+\sqrt{1+x^2}){]}^{\prime }\\ & =\frac{(x+\sqrt{1+x^2}{)}^{\prime }}{x+\sqrt{1+x^2}}\end{array}$

$=\frac{1+\frac{{\left(1+x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ $=\frac{1+\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ $=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$

$=\frac{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$ $=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 77 SGK Giải tích 12: Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36. 

Lời giải:

Đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36 đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x.$

Câu hỏi và bài tập (trang 77, 78 SGK Giải tích 12)
Bài 1 trang 77 SGK Giải tích 12: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y=4^x$;

b) $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$.

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

– Tính $y^{\prime }$, tìm các điểm mà tại đó $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

– Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

– Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

– Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

– Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

– Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải:

a)

Đồ thị hàm số $y=4^x$ 

*) Tập xác định: $\mathbb{R}$

*) Sự biến thiên:

$y^{\prime }=4^x\ln 4>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

– Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

– Giới hạn đặc biệt:

   $\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=0\\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Tiệm cận ngang: $y=0$.

– Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0;1)$, đi qua điểm $(1;4)$ và qua các điểm $(\frac{1}{2};2)$, $(-\frac{1}{2};\frac{1}{2})$, $(-1;\frac{1}{4})$.

b)

Đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ 

*) Tập xác định: $\mathbb{R}$

*) Sự biến thiên:

$y^{\prime }={\left(\frac{1}{4}\right)}^x.\ln \left(\frac{1}{4}\right)$$=-{\left(\frac{1}{4}\right)}^x\ln 4<0\mathrm{\forall }x\in R$

– Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

– Giới hạn:

  $\begin{array}{rl}& \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=0\end{array}$

Tiệm cận ngang $y=0$

– Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0;1),$ đi qua điểm $(1;\frac{1}{4}$) và qua các điểm $(-\frac{1}{2};2),(-1;4).$

Bài 2 trang 77 SGK Giải tích 12: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=2x{e}^x+3sin2x$;

b) $y=5x^2-2^x\cos x$;

c) $y=\frac{x+1}{3^x}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x,{\left(\sin kx\right)}^{\prime }=k\cos kx$ và quy tắc tính đạo hàm của một tích: ${\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }.v+u.v^{\prime }$.

Lời giải:

a)

$y^{\prime }=(2x{e}^x{)}^{\prime }+3(\sin 2x{)}^{\prime }$

$=2.(x{)}^{\prime }{e}^x+2x(e^x{)}^{\prime }+3.2\cos 2x$

$=\mathrm{2.1.}{e}^x+2x.e^x+6\cos 2x$

$=2\left(1+x\right)e^x+6\cos 2x$

b)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(5x^2\right)}^{\prime }-{\left(2^x\cos x\right)}^{\prime }\\ =5.2x-\left({\left(2^x\right)}^{\prime }.\cos x+2^x.{\left(\cos x\right)}^{\prime }\right)\\ =10x-\left(2^x.\ln 2.\cos x-2^x.\sin x\right)\\ =10x-2^x\left(\ln 2\cos x-\sin x\right)\end{array}$

c)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=\frac{{\left(x+1\right)}^{\mathrm{\prime }}{.3}^x-\left(x+1\right).{\left(3^x\right)}^{\mathrm{\prime }}}{{\left(3^x\right)}^2}\\ =\frac{3^x-\left(x+1\right){.3}^x\ln 3}{{\left(3^x\right)}^2}\\ =\frac{3^x\left(1-\left(x+1\right)\ln 3\right)}{{\left(3^x\right)}^2}\\ =\frac{1-\left(x+1\right)\ln 3}{3^x}\end{array}$

Bài 3 trang 77 SGK Giải tích 12: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y={\log }_2\left(5-2x\right)$ ;

b) $y={\log }_3(x^2-2x)$ ;

c) $y={\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-4x+3\right)$;
d) $y={\log }_{0,4}\frac{3x+2}{1-x}$.

Phương pháp giải:

Hàm số $y={\log }_{a}f\left(x\right)\left(0<a\ne 1\right)$ xác định khi và chỉ khi $f\left(x\right)>0$.

Lời giải:

a)

Hàm số $y={\log }_2\left(5-2x\right)$ xác định khi và chỉ khi: 

$5-2x>0\iff x<\frac{5}{2}.$

Vậy hàm số $y={\log }_2\left(5-2x\right)$ có tập xác định là $D=\left(-\mathrm{\infty };\frac{5}{2}\right).$

b)

Hàm số $y={\log }_3(x^2-2x)$ xác định khi và chỉ khi:

$x^2-2x>0\iff [\begin{array}{l}x>2\\ x<0\end{array}$

Vậy hàm số $y={\log }_3(x^2-2x)$ có tập xác định là $D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$.

c)

Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-4x+3\right)$ xác định khi và chỉ khi

$x^2-4x+3>0\iff [\begin{array}{l}x>3\\ x<1\end{array}$

Vậy hàm số $y={\log }_{\frac{1}{5}}\left(x^2-4x+3\right)$ có tập xác định là $D=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

d)

Hàm số $y={\log }_{0,4}\frac{3x+2}{1-x}$ xác định khi và chỉ khi:

$\frac{3x+2}{1-x}>0$

$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}3x+2>0\\ 1-x>0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}3x+2<0\\ 1-x<0\end{array}\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x>-\frac{2}{3}\\ x<1\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x<-\frac{2}{3}\\ x>1\end{array}\left(VN\right)\end{array}$$\iff -\frac{2}{3}<x<1$

Vậy hàm số $y={\log }_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}$ có tập xác định là $D=\left(-\frac{2}{3};1\right)$.

Chú ý:

Các em cũng có thể lập bảng xét dấu các nhị thức bậc nhất như sau:

Bài 4 trang 78 SGK Giải tích 12: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y=\log x$;

b) y = ${\log }_{\frac{1}{2}}x$.

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

– Tính $y^{\prime }$, tìm các điểm mà tại đó $y^{\prime }$ bằng 0 hoặc không xác định.

– Xét dấu $y^{\prime }$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

– Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

– Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

– Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

– Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

– Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải:

a)

Đồ thị hàm số $y=\log x$.

*) Tập xác định: $D=(0;+\mathrm{\infty })$

*) Sự biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{1}{x\ln 10}>0,\mathrm{\forall }x\in D$

– Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$

– Giới hạn đặc biệt:

  $\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Hàm số có tiệm cận đứng là: $x=0$

– Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ và đi qua điểm $(10;1)$, $(\frac{1}{10};-1)$.

b)

Đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$.

*) Tập xác định: $D=(0;+\mathrm{\infty })$

*) Sự biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{-1}{x\ln 2}<0,\mathrm{\forall }x\in D$

– Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$

– Giới hạn: 

  $\begin{array}{rl}& \underset{x\to 0^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Hàm số có tiệm cận đứng $x=0$.

– Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ và đi qua điểm $(\frac{1}{2};1)$, điểm phụ $(2;-1)$, $(4.-2)$, $(\frac{1}{4};2)$.

Bài 5 trang 78 SGK Giải tích 12: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=3x^2-\ln x+4\sin x$;

b) $y=\log (x^2+x+1)$;

c) $y=\frac{{\log }_{3}x}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản:

${\left(x^n\right)}^{\prime }=n.x^{n-1}$

${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$

b) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: ${\left({\log }_{a}u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln a}$

c) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của thương: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }.v-u.v^{\prime }}{v^2}$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(3x^2\right)}^{\prime }-{\left(\ln x\right)}^{\prime }+4{\left(\sin x\right)}^{\prime }\\ =3.2x-\frac{1}{x}+4.\cos x\\ =6x-\frac{1}{x}+4\cos x\end{array}$

b)

$y^{\prime }=\frac{{\left(x^2+x+1\right)}^{{}^{\prime }}}{\left(x^2+x+1\right).ln10}$ = $\frac{2x+1}{\left(x^2+x+1\right).ln10}$.

c)

$y^{\prime }=\frac{{\left({\log }_3{x}^{}\right)}^{{}^{\prime }}.x-{\log }_{3}x.x^{\prime }}{x^2}$ = $\frac{\frac{1}{x.\ln 3}.x-{\log }_{3}x}{x^2}$ $=\frac{\frac{1}{\ln 3}-{\log }_{3}x}{x^2}$ $=\frac{1-\ln 3.{\log }_{3}x}{x^2.\ln 3}$ $=\frac{1-\ln 3.\frac{\ln x}{\ln 3}}{x^2\ln 3}$ $=\frac{1-\ln x}{x^2.\ln 3}$.

Lý thuyết Bài 4: Hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y=a^x$, hàm số lôgarit là hàm số có dạng  $y={\log }_{a}x$ ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ $y=a^x$ $(a>0,a\ne 1)$.

– Tập xác định: $\mathbb{R}$.

– Đạo hàm: $\forall x\in \mathbb{R},y^{\prime }=a^x\ln a$.

– Chiều biến thiên          

+) Nếu $a>1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0<a<1$ thì hàm số luôn nghịch biến

– Tiệm cận: trục $Ox$ là tiệm cận ngang.

– Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành  $(y=a^x>0\mathrm{\forall }x)$, và luôn cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ và đi qua điểm $(1;a)$.

3. Tính chất của hàm số lôgarit $y={\log }_{a}x$ $(a>0,a\ne 1)$.

– Tập xác định: $(0;+\infty )$.

– Đạo hàm $\forall x\in (0;+\infty ),y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$.

– Chiều biến thiên:  

+) Nếu $a>1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0<a<1$ thì hàm số luôn nghịch biến

– Tiệm cận: Trục $Oy$ là tiệm cận đứng.

– Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$ và đi qua điểm $(a;1)$.

4. Chú ý 

– Nếu $a>1$ thì $\ln a>0$, suy ra $(a^x{)}^{\prime }>0\mathrm{\forall }x$ và $({{\log }_a}^x)>0,\mathrm{\forall }x>0;$ 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu $0<a<1$ thì $\ln a<0$, $(a^x{)}^{\prime }<0$ và $({{\log }_a}^x)<0,\mathrm{\forall }x>0;$ ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

– Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

$(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x},\forall x\ne 0$ và $({\log }_a|x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a},\mathrm{\forall }x\ne 0.$

Sơ đồ tư duy về Hàm số mũ – Hàm số Lôgarit

Các dạng toán về hàm số mũ, hàm số logarit

1. Hàm số mũ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$.

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$.

– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Lưu ý: Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

${\left(u\pm v\right)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime };{\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime };{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

– Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$;      $\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$; $\underset{x\to 0}{lim}{\left(x+1\right)}^{\frac{1}{x}}=e$.

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$, tìm các nghiệm $x_1,x_2,...,x_n\in \left[a;b\right]$ của phương trình $y^{\prime }=0$.

– Bước 2: Tính $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_1\right),...,f\left(x_n\right)$.

– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

2. Hàm số logarit

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.

Hàm số ${\log }_a\left(u\left(x\right)\right)$ xác định $\{\begin{array}{l}a>0\\ u\left(x\right)>0\end{array}$

– Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).

+ Căn bậc hai $\sqrt{u\left(x\right)}$ xác định nếu $u\left(x\right)\ge 0$.

+ Phân thức $\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ xác định nếu $g\left(x\right)\ne 0$.

– Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

– Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

– Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$.

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$.

– Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

– Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Lưu ý: Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

– Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

${\left(u\pm v\right)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime };{\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime };{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

– Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

– Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ ; $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\log }_a\left(1+x\right)}{x}=\frac{1}{\ln a}$

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.

Phương pháp:

– Bước 1: Tính $y^{\prime }$, tìm các nghiệm $x_1,x_2,...,x_n\in \left[a;b\right]$ của phương trình $y^{\prime }=0$.

– Bước 2: Tính $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(x_1\right),...,f\left(x_n\right)$.

– Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.