Giải Toán 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 31 SGK Hình học 12: Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay.

Lời giải:

Một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay: cái nón, lọ hoa, cái cốc (không quai), cái bát, chậu cây, …

Trả lời câu hỏi 2 trang 35 SGK Hình học 12: Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R. Hỏi hình nón đó có bán kính r của đường tròn đáy và góc ở đỉnh của hình nón bằng bao nhiêu ?

Lời giải:

Cắt mặt xung quanh của một hình nón tròn xoay dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn bán kính R

⇒ đường sinh có độ dài bằng R và chu vi đường tròn đáy (bán kính r) bằng nửa chu vi đường tròn bán kính R.

Chu vi đường tròn đáy hình nón chính là nửa chu vi đường tròn bán kính $R$ nên $2 π r = \frac{1}{2} .2 π R \Leftrightarrow r = \frac{R}{2}$

Ta có: $\sin \hat{A_{1}} = \frac{r}{l} = \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A_{1}} = 30^{0}$

Suy ra, góc ở đỉnh hình chóp: $\hat{A} = 2 \hat{A_{1}} = {2.30}^{0} = 60^{0}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 38 SGK Hình học 12: Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cạnh $a$ . Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông $A B C D$ và $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Lời giải:

Biểu diễn đường tròn ngoại tiếp hình vuông $A B C D$ cạnh $a$ như hình vẽ

Khi đó: Tâm đường tròn là giao điểm 2 đường chéo.

Bán kính đường tròn $= r = I A = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Diện tích đường tròn là: $π r^{2} = \frac{π a^{2}}{2}$

$\Rightarrow$ Diện tích xung quanh của hình trụ thỏa mãn đề bài $(l = a)$ là:

$S_{x q} = 2 π r l = 2 π a \frac{\sqrt{2}}{2} a = π a^{2} \sqrt{2}$

Diện tích khối trụ thỏa mãn đề bài $(h = a)$ là:

$V = B . h = \frac{π a^{2}}{2} a = \frac{π a^{3}}{2}$

Câu hỏi và bài tập (trang 39, 40 SGK Hình học 12)
Bài 1 trang 39 SGK Hình học 12: Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $r$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ . Từ những điểm $M$ thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với $(P)$ . Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa mặt trụ tròn xoay (SGK – 35).

Trong mặt phẳng (P) cho hai đưuòng thẳng $Δ$ và $l$ song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng $r$ . Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $Δ$ thì đường thẳng $l$ sinh tra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. Đường thẳng $Δ$ gọi là trục, đường thẳng $l$ là đường sinh và $r$ là bán kính của mặt trụ.

Lời giải:

Xét đường thẳng $∆$ đi qua điểm $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ .

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M \in (C)$ và $d$ vuông góc với $(P)$ . Do đó $d / / ∆$ .

Quay mặt phẳng $(Q)$ tạo bởi $d$ và $∆$ quanh đường thẳng $∆$ , thì đường thẳng $d$ vạch lên một mặt trụ tròn xoay. Mặt trụ này chứa tất cả những đường thẳng đi qua các điểm $M \in (C)$ và vuông góc với $(P)$ .

Trục của mặt trụ là $∆$ và bán kính của trụ bằng $O M = r$ .

Bài 2 trang 39 SGK Hình học 12: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:

a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.

b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng nó.

c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.

d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa mặt tròn xoay: Mặt trụ và mặt nón.

Lời giải:

a) Khi xoay ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư ta được hình trụ tròn xoay có đường cao là cạnh thứ tư còn bán kính hình trụ bằng độ dài của cạnh kề với cạnh thứ tư đó.

Ví dụ khi xoay ba cạnh của hình chữ nhật $A B C D$ quanh cạnh $C D$ ta đươc hình trụ tròn xoay có đường cao $C D$ và bán kính đáy $A D$ .

b) Khi xoay ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng nó ta được hình nón tròn xoay có chiều cao bằng chiều cao của tam giác cân, còn bán kính đáy bằng một nửa độ dài cạnh đáy của tam giác cân đó.

Ví dụ: Tam giác $A B C$ cân tại $A$ có trục đối xứng $A H$ . Khi quay tam giác $A B C$ quanh $A H$ ta được hình nón có đường cao $A H$ và bán kính đáy bằng $\frac{B C}{2}$ .

c) Khi xoay một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được khối nón tròn xoay.

d) Khi xoay một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh ta được khối trụ tròn xoay.

Bài 3 trang 39 SGK Hình học 12: Cho hình nón tròn xoay có đường cao $h = 20 c m$ , bán kính đáy $r = 25 c m$ .

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.

b) Tính thể tích của khối nón được tạo bởi hình nón đó.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là $12 c m$ . Tính diện tích thiết diện đó.

Phương pháp giải:

a) Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{x q} = π r l$ trong đó $r$ là bán kính đáy và $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

b) Thể tích của khối nón: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ trong đó $r$ là bán kính đáy và $h$ là độ dài đường cao của hình nón.

c) Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác cân. Tính diện tích tam giác cân $S = \frac{1}{2} a h$ .

Lời giải:

a) Giả sử $S B = l$ là độ dài đường sinh, $S O = h$ là chiều cao hình nón.

Trong tam giác vuông $S O B$ ta có:

$\begin{aligned} S B^{2} = S O^{2} + O B^{2} \\ = h^{2} + r^{2} = 20^{2} + 25^{2} = 1025 \\ \Rightarrow S B = \sqrt{1025} \end{aligned}$

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S_{x q} = π r l$ $= π .25 \sqrt{1025} \approx 2514, 5 (c m^{2})$

b) Thể tích khối nón là:

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {.25}^{2} .20$ $\approx 13083, 3 (c m^{3})$

c) Giả sử thiết diện $S A B$ đi qua đỉnh $S$ cắt đường tròn đáy tại $A$ và $B$ . Gọi $I$ là trung điểm của dây cung $A B$ . Từ tâm $O$ của đáy vẽ $O H$ vuông góc với $S I$ .

Ta có ${\begin{matrix} A B ⊥ O I \\ A B ⊥ S O \end{matrix} \Rightarrow A B ⊥ (S O I)$ $\Rightarrow A B ⊥ O H$

Từ đó ${\begin{matrix} O H ⊥ A B \\ O H ⊥ S I \end{matrix} \Rightarrow O H ⊥ (S A B)$ $\Rightarrow O H = 12 c m$

Trong tam giác vuông $S O I$ ta có: $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O I^{2}} + \frac{1}{O S^{2}}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{O I^{2}} = \frac{1}{O H^{2}} - \frac{1}{O S^{2}} \\ = \frac{1}{12^{2}} - \frac{1}{20^{2}} = \frac{256}{57600} = \frac{1}{225} \\ \Rightarrow O I = 15 c m \end{aligned}$

Xét tam giác vuông $O A I$ ta có $A I^{2} = O A^{2} - O I^{2} = 25^{2} - 15^{2} = 20^{2}$

Vậy $A I = 20 c m$ $\Rightarrow A B = 20.2 = 40 c m$

Ta có: $S I . O H = S O . O I$ $\Rightarrow S I = \frac{S O . O I}{O H} = \frac{20.15}{12} = 25 c m$

Vậy diện tích thiết diện $S A B$ là: $S_{S A B} = \frac{1}{2} S I . A B$ $= \frac{1}{2} 25.40 = 500 (c m^{2})$

Bài 4 trang 39 SGK Hình học 12: Trong không gian cho hai điểm $A, B$ cố định và có độ dài $A B = 20 c m$ . Gọi $d$ là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng bằng $10 c m$ . Chứng tỏ rằng đường thẳng $d$ luôn luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa hình nón: Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $d$ và $Δ$ cắt nhau tại điểm $O$ vào tạo thành góc $β$ với $0^{0} < β < 90^{0}$ .

Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $Δ$ thì đường thẳng $d$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$ .

Đường thẳng $Δ$ gọi là trục, đường thẳng $d$ gọi là đường sinh và góc $2 β$ gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

Lời giải:

Kẻ $B H ⊥ d$ ta có $B H = 10 c m$ . Gọi $α = \hat{B A H}$

Ta có $\sin α = \frac{B H}{A B} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 30^{0} = c o n s t$ .

Đường thẳng $d$ cắt AB tại điểm A và tạo thành góc $30^{0}$ nên đường thẳng $d$ luôn thuộc mặt nón nhận đường thẳng $A B$ làm trục và có góc ở đỉnh bằng $2 α = 60^{0}$

Bài 5 trang 39 SGK Hình học 12: Một hình trụ có bán kính đáy $r = 5 c m$ và có khoảng cách giữa hai đáy bằng $7 c m$ .

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục $3 c m$ . Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.

Phương pháp giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ $S_{x q} = 2 π r h$ ,

Thể tích khối trụ $V = π r^{2} h$ .

Với $r; h$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục ta được thiết diện là một hình chữ nhật với một kích thước của hình chữ nhật bằng chiều cao hình trụ.

Sử dụng định lí Pytago để đính cạnh còn lại của hình chữ nhật sau đó tính diện tích hình chữ nhật đó.

Lời giải:

a) Theo đầu bài, hình trụ có chiều cao $h = 7 c m$ và bán kính đáy $r = 5 c m$ .

Vậy diện tích xung quanh bằng: $S_{x q} = 2 π r h = 2 π .5 .7 = 70 π$ ( $c m^{2}$ )

Thể tích của khối trụ là: $V = π r^{2} h = π {.5}^{2} .7 = 175 π$ ( $c m^{3}$ )

Thiết diện là hình chữ nhật có một cạnh bằng chiều cao của hình trụ bằng $7 c m$ .

Giả sử thiết diện là $A B B_{1} A_{1}$ . Ta có $A A_{1} = 7 c m$ .

Gọi $H$ là trung điểm của $A B$ ta có:

${\begin{cases} O H ⊥ A B \\ O H ⊥ A_{1} A \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (A B B_{1} A_{1})$

Suy ra $d (O; (A B B_{1} A_{1})) = O H$ .

Lại có: $O O_{1} / / (A A_{1} B_{1} B)$ nên $O H = d (O; (A A_{1} B_{1} B)) = d (O O_{1}, (A A_{1} B_{1} B)) = 3 c m$

Do tam giác $O A H$ vuông tại $H$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) nên áp dụng định lí Pitago ta có: $A H^{2} = O A^{2} - O H^{2} = 25 - 9 = 16$ .

$\Rightarrow A H = 4 c m \Leftrightarrow A B = 8 c m$ .

Vậy diện tích của thiết diện là: $S = A B . A A_{1} = 8.7 = 56$ ( $c m^{2}$ ).

Bài 6 trang 39 SGK Hình học 12: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh $2 a$ . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.

Phương pháp giải:

+) Tính độ dài đường sinh $l$ và bán kính đáy $r$ của hình nón.

+) Tính độ dài đường cao của hình nón, sử dụng công thức $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$ .

+) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó: $S_{x q} = π r l, V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Lời giải:

Theo đề bài, đường kính của hình tròn đáy của nón bằng $2 a$ .

Vậy bán kính $r = a$ và độ dài đường sinh của hình nón $l = 2 a$ .

Suy ra chiều cao của hình nón: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{3}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{x q} = π r l = π . a .2 a = 2 a^{2} π$

Thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3} π r^{2} . h = \frac{1}{3} π a^{2} . a \sqrt{3} = \frac{π a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Bài 7 trang 39 SGK Hình học 12: Một hình trụ có bán kính $r$ và chiều cao $h = r \sqrt{3}$ .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.

b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

c) Cho hai điểm $A$ và $B$ lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng $A B$ và trục của hình trụ bằng $30^{0}$ . Tính khoảng cách giữa đường thẳng $A B$ và trục của hình trụ.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức: $S_{x q} = 2 π r h, S_{t p} = 2 π r h + π r^{2}$ với $r; h$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.

b) Áp dụng công thức: $V = π r^{2} h$ .

c) +) Giả sử trục của hình trụ là $O_{1} O_{2}$ và $A$ nằm trên đường tròn tâm $O_{1}$ , $B$ nằm trên đường tròn tâm $O_{2}$ . Kẻ $B B_{1}$ // $O_{1} O_{2}$ $\Rightarrow \hat{(A B; O_{1} O_{2})} = \hat{(A B; B B_{1})} = \hat{A B B_{1}}$ .

+) Xác định khoảng cách giữa AB và $O_{1} O_{2}$ bằng cách xác định đường vuông góc chung giữa hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) Theo công thức ta có:

$S_{x q} = 2 π r h = 2 \sqrt{3} π r^{2}$

$S_{t p} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 \sqrt{3} π r^{2} + 2 π r^{2}$

$= 2 (\sqrt{3} + 1) π r^{2}$ ( đơn vị thể tích)

b) $V$ trụ = $π R^{2} h = \sqrt{3} π r^{3}$

c) Giả sử trục của hình trụ là $O_{1} O_{2}$ và $A$ nằm trên đường tròn tâm $O_{1}$ , $B$ nằm trên đường tròn tâm $O_{2}$ ; $I$ là trung điểm của $O_{1} O_{2}$ , $J$ là trung điểm của $A B$ .

Ta chứng minh $I J$ là đường vuông góc chung của $O_{1} O_{2}$ và $A B$ .

Hạ $B B_{1}$ vuông góc với đáy, $J_{1}$ là hình chiếu vuông góc của $J$ xuống đáy.

Dễ thấy $J_{1}$ là trung điểm của $A B_{1}$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Ta có: ${\begin{cases} O_{1} J_{1} ⊥ A B_{1} \\ O_{1} J_{1} ⊥ B B_{1} \end{cases} \Rightarrow O_{1} J_{1} ⊥ (A B B_{1})$ .

Mà $I J / / O_{1} J_{1} \Rightarrow I J ⊥ (A B B_{1})$ $\Rightarrow I J ⊥ A B$ .

${\begin{cases} I J / / O_{1} J_{1} \\ O_{1} O_{2} ⊥ O_{1} J_{1} \end{cases} \Rightarrow I J ⊥ O_{1} O_{2}$ .

Vậy IJ là đường vuông góc chung của $O_{1} O_{2}$ và $A B$ $\Rightarrow d (A B; O_{1} O_{2}) = I J$

Ta có: $B B_{1}$ // $O_{1} O_{2}$ $\Rightarrow \hat{(A B; O_{1} O_{2})} = \hat{(A B; B B_{1})} = \hat{A B B_{1}}$ .

do vậy: $A B_{1} = B B_{1} . t a n 30^{0}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3} h = r$ .

Xét tam giác vuông $O_{1} J_{1} A$ vuông tại $J_{1}$ ta có:

$O_{1} J_{1}^{2}$ = $O_{1} A^{2}$ – $A J_{1}^{2} =$ $r^{2} - {(\frac{r}{2})}^{2} =$ $\frac{3}{4} r^{2}$ $\Rightarrow O_{1} J_{1} = \frac{r \sqrt{3}}{2}$

Vậy khoảng cách giữa $A B$ và $O_{1} O_{2}$ là: $\frac{\sqrt{3}}{2} r$ .

Bài 8 trang 40 SGK Hình học 12: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $(O; r)$ và $(O^{'}; r)$ . Khoảng cách giữa hai đáy là $O O^{'} = r . \sqrt{3}$ . Một hình nón có đỉnh là $O^{'}$ và có đáy là hình tròn $(O; r)$ .

a) Gọi $S_{1}$ là diện tích xung quanh của hình trụ và $S_{2}$ là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ .

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.

Phương pháp giải:

a) +) Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{x q} = 2 π R h$ với $R; h$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

+) Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{x q} = π r l$ với $r; l$ lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

+) Tính thế tích của khối nón: $V_{1} = \frac{1}{3} π r^{2} h$ và thể tích của hình trụ: $V = π r^{2} h$

+) Suy ra thể tích phần còn lại: $V_{2} = V - V_{1}$ .

+) Tính tỉ số: $\frac{V_{1}}{V_{2}}$

Lời giải:

a) Hình trụ có chiều cao $l = h = r \sqrt{3}$ và bán kính đáy $r$ nên diện tích xung quanh hình trụ là:

$S_{1} = 2 π r . h = 2 π r . r \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} π r^{2}$

Với $M$ là một điểm bất kì thuộc đường tròn $(O)$ thì $O^{'} M$ là một đường sinh của hình nón ta có:

$l^{'} = O^{'} M = \sqrt{O O^{' 2} + O M^{2}} = \sqrt{3 r^{2} + r^{2}} = 2 r$

Hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l = 2 r$ nên diện tích xung quanh hình nón là:

$S_{2} = π r l^{'} = π . r .2 r = 2 π r^{2}$

Vậy: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2 \sqrt{3} π r^{2}}{2 π r^{2}} = \sqrt{3}$

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.

Gọi V là thể tích khối trụ ta có: $V = π r^{2} h$

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối nón ta có: $V_{1} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Gọi $V_{2}$ là thế tích phần còn lại ta có: $V_{2} = V - V_{1} = π r^{2} h - \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{2}{3} π r^{2} h$

Vậy tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{1}{3} π r^{2} h}{\frac{2}{3} π r^{2} h} = \frac{1}{2}$ .

Cách khác:

Tính trực tiếp như sau:

Thể tích khối trụ là:

$V_{trụ} = π r^{2} h = π r^{2} . r \sqrt{3} = π r^{3} \sqrt{3}$

Thể tích khối nón là:

$V_{nón} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π r^{2} . r \sqrt{3} = \frac{π r^{3} \sqrt{3}}{3}$

Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:

$V = V_{trụ} - V_{nón} = π r^{3} \sqrt{3} - \frac{π r^{3} \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} π r^{3}$

Mặt xung quanh của hình nón chia khối tru thành hai phần, tỉ số thể tích hai phần đó là:

$\frac{V}{V_{nón}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} π r^{3} : \frac{π r^{3} \sqrt{3}}{3} = 2$

Bài 9 trang 40 SGK Hình học 12: Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a \sqrt{2}$ .

a) Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

b) Cho một dây cung $B C$ của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $(S B C)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc $60^{0}$ . Tính diện tích tam giác $S B C$ .

Phương pháp giải:

a) +) Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền chính là đường kính của đường tròn đáy của hình nón. Từ đó suy ra bán kính đáy $r$ của hình nón.

+) Độ dài đường sinh $l$ của hình nón chính là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

+) Áp dụng công thức $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}}$ , tính độ dài đường cao của hình nón.

+) Tính diện tích xung quanh $S_{x q} = π r l$ , diện tích đáy $S_{đ} = π r^{2}$ và thể tích của khối nón: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ .

b) Xác định góc giữa (SBC) và mặt đáy.

Nhận xét $Δ S B C$ là tam giác cân, hạ đường cao $S M$ của tam giác cân đó thì $M$ là trung điểm của $B C$ .

+) Dựa vào định lí Pitago tính $S M$ và $B C$ .

+) $S_{Δ S B C} = \frac{1}{2} S M . B C$

Lời giải:

a) Tam giác $S A B$ vuông cân tại S nên $S A = S B = a$ .

Cạnh huyền chính bằng đường kính đáy do vậy bán kính đáy $r = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ , đường sinh $l = a$ .

Gọi $h$ là độ dài đường cao của hình nón ta có: $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy $S_{x q} = π r l =$ $\frac{\sqrt{2}}{2} π a^{2}$ ( đơn vị diện tích)

$S_{đ á y}$ = $π r^{2}$ = $π \frac{a^{2}}{2}$ ( đơn vị diện tích);

$V$ nón = $\frac{1}{3} π r^{2} h$ $= \frac{\sqrt{2}}{12} π a^{3}$ (đơn vị thể tích)

b) Gọi tâm đáy là $O$ và trung điểm cạnh $B C$ là $M$ ta có: $O M ⊥ B C$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Ta có:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} B C ⊥ O M \\ B C ⊥ S O \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S O M) \Rightarrow B C ⊥ S M \\ {\begin{cases} (S B C) \cap (A B C) = B C \\ S M ⊥ B C \\ O M ⊥ B C \end{cases} \\ \Rightarrow \hat{((S B C); (A B C))} = \hat{(S M; O M)} = \hat{S M O} = 60^{0} \end{array}$

Ta có: $S M = \frac{S O}{\sin 60} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

$O M = S O . \cot 60 = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Ta có $∆ O M B$ vuông ở $M$ nên $B M^{2} = B O^{2} - O M^{2} = \frac{a^{2}}{3}$

Vậy $B M = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow B C = 2 B M = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$

Do đó $S = \frac{S M . B C}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{3} a^{2}$ (đơn vị diện tích).

Bài 10 trang 40 SGK Hình học 12: Cho hình trụ có bán kính $r$ và có chiều cao cũng bằng $r$ . Một hình vuông $A B C D$ có hai cạnh $A B$ và $C D$ lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh $B C$ và $A D$ không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Phương pháp giải:

+) Dựa vào định lí Pitago tính độ dài IB, từ đó suy ra độ dài đường chéo AC và BD của hình vuông.

+) Tính độ dài cạnh của hình vuông và diện tích hình vuông đó.

+) Xác đinh góc giữa hai mặt phẳng: Gọi $E$ là trung điểm của $A B$ , chứng minh góc giữa $(A B C D)$ và mặt đáy bằng góc $I E O$ .

Lời giải:

Do tính chất đối xứng của $(A B C D)$ nên $(A B C D)$ cắt $O O^{'}$ tại trung điểm $I$ của $O O^{'}$ . $I$ cũng là giao điểm của hai đường chéo $A C, B D$ .

Xét tam giác vuông $I O B$ ta có: $I B^{2} = I O^{2} + O B^{2}$

$\Rightarrow I B = \sqrt{{(\frac{r}{2})}^{2} + r^{2}} = \frac{r \sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow A C = B D = 2 I B = r \sqrt{5}$ .

Do ABCD là hinh vuông nên $A B = \frac{A C}{\sqrt{2}} = \frac{r \sqrt{10}}{2}$

Vậy $S_{A B C D} = {A B}^{2} = \frac{5 r^{2}}{2}$ .

Gọi $E$ là trung điểm của $A B$

$\Rightarrow O E ⊥ A B, I E ⊥ A B$ .

$\Rightarrow \hat{I E O}$ là góc giữa $(A B C D)$ và mặt đáy của hình trụ.

Ta có: $I E = \frac{1}{2} A D = \frac{r \sqrt{10}}{4}, O I = \frac{r}{2}$ .

Xét tam giác vuông IOE có: $O E = \sqrt{I E^{2} - O I^{2}}$ $= \sqrt{{(\frac{r \sqrt{10}}{4})}^{2} - {(\frac{r}{2})}^{2}}$ $= \frac{r \sqrt{6}}{4}$

$c o s \hat{I E O} = \frac{O E}{I E} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Lý thuyết Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay

Trong không gian cho mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $Δ$ và một đường C . Khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh $Δ$ một góc $360^{o}$ thì mỗi điểm $M$ trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm $O$ thuộc $Δ$ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với $Δ$ . Như vậy khi quay mặt phẳng $(P)$ quanh đường thẳng $Δ$ thì đường C sẽ tao nên một hình được goi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng $Δ$ được gọi là trục của mặt tròn xoay.

II. Mặt nón tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $d$ và $Δ$ cắt nhau tại điểm $O$ và tạo thành góc $β$ với $0^{o} < β < 90^{o}$ .

Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $Δ$ thì đường thẳng $d$ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh $O$ (gọi tắt là mặt nón)

Đường thẳng $Δ$ là trục, đường thẳng $d$ goi là đường sinh và góc $2 β$ goi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

a) Cho tam giác OIM vuông tại I, quay xung quanh cạnh OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (hay hình nón)

Đỉnh: Điểm O

Mặt đáy: Hình tròn tâm I, bán kính IM

Chiều cao của nón: Độ dài đoạn OI

Đường sinh: Đoạn OM

Mặt xung quanh của hình nón: Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI.

b) Khối nón (tròn xoay): là phần không gian giới hạn bởi môt hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

$S_{x q} = π r l$

Trong đó: r: bán kính đáy của hình nón, l: đường sinh của hình nón

4. Thể tích khối nón tròn xoay

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao.

III. Mặt trụ tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng $(P)$ cho hai đường thẳng $Δ$ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng $(P)$ xung quanh $Δ$ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt tru tròn xoay (mặt trụ). Đường thẳng $Δ$ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

a) Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng chứa môt cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình, goi là hình trụ tròn xoay (hình trụ)

Hai đáy: hai hình tròn vạch ra bởi AD và BC.

Bán kính của trụ: AD và BC

Đường sinh: CD

Mặt xung quanh: Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay

Chiều cao của trụ: độ dài đoạn thẳng AB

b) Khối trụ tròn xoay: phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

$S_{x q} = 2 π r l$

4. Thể tích khối trụ tròn xoay

$V = B h$

Trong đó: V: thể tích khối trụ, B: diện tích đáy, H: chiều cao.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy