Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
BIẾN ĐỔI LŨY THỪA VÀ MŨ
I. Phương pháp giải
– Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
\({a^n} = a.a…a,n\)thừa số a (với mọi a và \(n \in {N^ * })\)
– Lũy thừa với số mũ 0 và nguyên âm:
\({a^0} = 1\)và \({a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)(với \(a \ne 0\)và \(n \in {N^ * })\)
– Lũy thừa với số mũ hữu tỉ;
\({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}a\) (với \(a > 0\)và \(r = \frac{m}{n},n \in Z,n \in {N^ * })\)
– Lũy thừa với số mũ thực:
\({a^\alpha } = \lim {a^{{r_n}}}\)(với \(a > 0,\alpha \in R,{r_n} \in Q\)và \({{\mathop{\rm limr}\nolimits} _n} = \alpha ).\)
– Căn bậc n:
Khi n lẻ, \(b = \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow {b^n} = a\)(với mọi a)
Khi n chẵn, \(b = \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ge 0\\{b^n} = a\end{array} \right.\)(với \(a \ge 0).\)
– Biến đổi lũy thừa: Với các số \(a > 0,b > 0,\alpha \)và \[\beta \]tùy ý, ta có:
\[{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};{a^\alpha }:{a^\beta } = {a^{\alpha – \beta }};{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\]
\[{\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha };{\left( {a:b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }:{b^\alpha }\]
– Quan hệ so sánh:
Nếu \[a > 1\]thì: \[{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \]
Nếu \[0 < a < 1\]thì: \[{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \]
Nếu \[0 < a < b\]thì: \[{a^\alpha } < {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha > 0;{a^\alpha } > {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha < 0.\]
– Biến đổi căn bậc cao: Với hai số không âm a, b, hai số nguyên dương m, n và hai số nguyên p, q tùy ý, ta có:
\[\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b};\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right),\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}\left( {a > 0} \right);\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\]
Nếu \[\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\]thì \[\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\left( {a > 0} \right)\]. Đặc biệt \[\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}.\]
II. Ví dụ minh họa
Bài toán 1: Thực hiện phép tính:
\[A = {27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} – {25^{0,5}};\] \[B = {\left( {0,5} \right)^{ – 4}} – {625^{0,25}} – {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ – 1\frac{1}{2}}} + 19{\left( { – 3} \right)^{ – 3}}\]
Giải
\[A = {\left( {{3^3}} \right)^{\frac{2}{3}}} + {\left( {{2^{ – 4}}} \right)^{ – \frac{3}{4}}} – {\left( {{5^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {3^2} + {2^3} – 5 = 12\]
\[B = {\left( {{{\left( { – 2} \right)}^{ – 1}}} \right)^{ – 4}} – {\left( {{5^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} – {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ – \frac{3}{2}}} + \frac{{19}}{{ – 27}}\]
\[ = {2^4} – 5{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ – 3}} – \frac{{19}}{{27}} = 11 – \frac{8}{{27}} – \frac{{19}}{{27}} = 10.\]
Bài toán 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
\[C = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}};\] \[D = \left( {{4^{2\sqrt 3 }} – {4^{\sqrt 3 – 1}}} \right){.2^{ – 2\sqrt 3 }}\]
Giải
\[\begin{array}{l}C = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^2}^{\sqrt[3]{2}}\\ = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2} – 2\sqrt[3]{2}}} = {3^1} = 3\end{array}\]
\[\begin{array}{l}D = \left( {{4^{2\sqrt 3 }} – {4^{\sqrt 3 – 1}}} \right){.2^{ – 2\sqrt 3 }}\\ = {2^4}^{\sqrt 3 }{.2^{ – 2\sqrt 3 }} – {2^{2\sqrt 3 – 2}}{.2^{ – 2\sqrt 3 }}\\ = {2^{2\sqrt 3 }} – \frac{1}{4}.\end{array}\]
Bài toán 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:
\[K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}\sqrt {\frac{2}{3}} }};\] \[L = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\left( {a > 0} \right)\]
Giải
\[\begin{array}{l}K = {\left( {\frac{2}{3}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}L = \left( {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{4}}}.{a^{\frac{1}{8}}}.{a^{\frac{1}{{16}}}}} \right):{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}.\end{array}\]
Bài toán 4: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:
\[M = \frac{{\sqrt a – \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\] \[N = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{4}{3}}}}} – \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} – {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ – \frac{1}{3}}}}}.\]
Giải
\[\begin{array}{l}M = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} – \sqrt[4]{b}}} – \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{{ab}}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\ = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} – \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}N = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 – a} \right)}} – \frac{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {1 – {a^2}} \right)}}{{{a^{ – \frac{1}{3}}}\left( {a + 1} \right)}}\\ = \left( {1 + a} \right) – \left( {1 – a} \right) = 2a.\end{array}\]
Bài toán 5: Rút gọn các biểu thức:
\[S = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a – \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} \], với \[a,b > 0,{a^2} \ge b.\]
Giải
Đặt \[u = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} ,v = \sqrt {\frac{{a – \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} \left( {u \ge v \ge 0} \right)\]
thì \[{u^2} + {v^2} = a;{u^2}{v^2} = \frac{b}{4}\]nên \[b = 4{u^2}{v^2}\] nên
\[\begin{array}{l}\sqrt {a + \sqrt b } = \sqrt {{u^2} + {v^2} + 2uv} = u + v\\ = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} + \sqrt {\frac{{a – \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} \end{array}\]
Tương tự: \[\sqrt {a – \sqrt b } = \sqrt {{u^2} + {v^2} – 2uv} = u – v\]
\[ = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} – \sqrt {\frac{{a – \sqrt {{a^2} – b} }}{2}} \]
Bài toán 6: Chứng minh
a)\[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2\] b)\[\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }} = 3\]
Giải
a) Vì \[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } > 0\]nên \[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } = 2\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } – \sqrt {4 – 2\sqrt 3 } } \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 4 + 2\sqrt 3 + 4 – 2\sqrt 3 – 2\sqrt {16 – 12} = 4\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \]đúng
Cách khác: Ta có \[4 \pm 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\]
b) Đặt \[x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\]. Ta có:
\[{x^3} = 9 + \sqrt {80} + 9 – \sqrt {80} + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }}} \right)\]
\[ = 18 + 3\sqrt[3]{{81 – 80}}.x = 18 + 3x\].
Do đó có phương trình:
\[{x^3} – 3x – 18 = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right) \Leftrightarrow x = 3:\]đpcm
Cách khác: \[{\left( {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{72 \pm 32\sqrt 5 }}{8} = 9 \pm 4\sqrt 5 = 9 \pm \sqrt {80} \]
Nên \[\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 – \sqrt {80} }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} + \frac{{3 – \sqrt 5 }}{2} = 3.\]
Chú ý: Có thể dùng \[S = 3,P = 1\]để tìm nghiệm của \[{X^2} – 3X + 1 = 0.\]
Bài toán 7: Không dùng máy, tính giá trị đúng:
a)\(\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } + \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } \) b)\(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}\)
Giải
a) Ta có \({\left( {3\sqrt 2 \pm 2\sqrt 3 } \right)^2} = 18 + 12 \pm 12\sqrt 6 = 30 \pm 12\sqrt 6 \) nên
\(\begin{array}{l}\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } + \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } \\ = \frac{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} + \frac{{3\sqrt 2 – 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = 6\end{array}\)
Cách khác: Đặt \(\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } + \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } = x,x > 0.\)
Ta có\({x^2} = 30 + 2\sqrt {225 – 216} = 36\) nên chọn \(x = 6.\)
b) Ta có: \[7 + 5\sqrt 2 = 1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^3}\]
Tương tự: \[7 – 5\sqrt 2 = {\left( {1 – \sqrt 2 } \right)^3}\]
Do đó \[\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} = 1 + \sqrt 2 – \left( {1 – \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \]
Cách khác: Đặt \[x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}\]. Ta có:
\[{x^3} = 7 + 5\sqrt 2 – \left( {7 – 5\sqrt 2 } \right) – 3\left( {\sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }} – \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}} \right).\left( {\sqrt[3]{{(7 + 5\sqrt 2 )(7 – 5\sqrt 2 )}}} \right)\]
\[ = 10\sqrt 2 + 3\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} – \sqrt[3]{{7 – 5\sqrt 2 }}} \right) = 10\sqrt 2 + 3x.\]
Ta có phương trình:
\[{x^3} – 3x – 10\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2\sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} + 2\sqrt 2 x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 .\]
Bài toán 8: Trục căn ở mẫu \[\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}};\frac{1}{{\sqrt[6]{{5 – \sqrt {13 + \sqrt {48} } }}}}\]
Giải
\[\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt 2 }}{{\sqrt[3]{9} – 2}} = \frac{{\left( {\sqrt[3]{3} – \sqrt 2 } \right)\left( {3\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} + 4} \right)}}{1}\]
Vì \[5 – \sqrt {13 + \sqrt {48} } = 5 – \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = 4 – 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 – 2} \right)^2}\]
nên \[\frac{1}{{\sqrt[6]{{5 – \sqrt {13 + \sqrt {48} } }}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sqrt 3 – 1}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}}}}}{{\sqrt 3 – 1}} = \frac{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right).\sqrt[3]{{4 – 2\sqrt 3 }}}}{2}\]
Bài toán 9: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:
Nếu \[a{x^n} = b{y^n} = c{z^n},\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\]thì \[\sqrt[n]{{a{x^{n – 1}} + b{y^{n – 1}} + c{z^{n – 1}}}} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}\]
Giải
\[VT = \sqrt[n]{{\frac{{a{x^n}}}{x} + \frac{{b{y^n}}}{y} + \frac{{c{z^n}}}{z}}} = \sqrt[n]{{a{x^n}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}} = \sqrt[n]{{a{x^n}}} = x\sqrt[n]{a} = y\sqrt[n]{b} = z\sqrt[n]{c}\]
\[ \Rightarrow VT\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} \Rightarrow \]đpcm
Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức \[P\left( x \right) = {\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x\sqrt x } \right)^{13}},x > 0\]
a) Tìm hệ số của \[{x^{13}}\] b) Tìm số hạng không chứa \[x\].
Giải
Số hạng tổng quát của \[P\left( x \right) = {\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x\sqrt x } \right)^{13}}\]là:
\[{T_{k + 1}} = C_{13}^k{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{13 – k}}{\left( {x\sqrt x } \right)^k} = C_{13}^k{x^{\frac{{13k – 52}}{6}}}\]
a) Hệ số của \[{x^{13}}\]ứng với \[\frac{{13k – 52}}{6} = 13 \Leftrightarrow k = 10\]là: \[{T_{11}} = C_{13}^{10} = 286.\]
Số hạng không chứa \[x\] ứng với \[13k – 52 = 0 \Leftrightarrow k = 4\]là \[{T_5} = C_{13}^4 = 715.\]
Xem thêm