Bài toán về tương giao của đồ thị hàm số

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Bài toán về tương giao của đồ thị hàm số

I – Lý thuyết

Giả sử (C) và (C’) là đồ thị của hai hàm số:

Y = f(x)  và y = g(x) .

Hoành độ giao điểm của (C) và (C’), nếu có, là nghiệm của phương trình f(x) = g(x)  (1)

Lưu ý: Phương trình f(x) = g(x) phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’).

Đảo lại, nếu x₀ là nghiệm của (1), tức là f(x₀) = g(x₀) thì điểm M(x₀; f(x₀)) hay M(x₀;g(x₀)) là điểm chung của (C) và (C’).

Kết quả:

– Nếu (1) vô nghiệm thì (C) và (C’) không có điểm chung.

– Nếu (1) có n nghiệm thì (C) cắt (C’) tại n điểm phân biệt ( n không là nghiệm bội).

Dạng toán: Tìm giao điểm và tính chất giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y = g(x)

Phương pháp:

Bước 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x)  (1)

Bước 2: Biện luận số nghiệm và tính chất nghiệm của (1).

Nhận xét: Rõ ràng hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của (1) nên số giao điểm và tính chất giao điểm cũng là số nghiệm và tính chất nghiệm của (1). Điều này, đưa yêu cầu từ tính chất đồ thị sang việc biện luận phương trình sơ cấp mà chúng ta đã biết.

II. Bài tập trắc nghiệm

Dạng 1: Tìm giao điểm – Số giao điểm – Tính chất giao điểm

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f (x) – 2 = 0 là

A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm của phương trình 3f(x) – 4 = 0 trên đoạn [-2;2] là

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 3: Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x².|x² – 4| với đường thẳng y = 3 là

A. 8 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình 2f(x) + 3 = 0 là

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 5: Biết rằng đường thẳng y = – 2x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x³ + x + 2 tại một điểm duy nhất, ký hiệu (x₀;y₀) là tọa độ điểm đó. Tìm y₀.

A. y₀ = 4

B. y₀ = 0

C. y₀ = 2

D. y₀ = 1

Câu 6: Đồ thị hàm số y = x³ – 3x – 2 cắt trục tung tại điểm có tọa độ là

A. (-1;0) .

B. (0;-2) .

C. (0;2).

D. (2;0).

Câu 7: Biết đường thẳng y = x – 2 cắt đồ thị hàm số y = \[\frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\] tại hai điểm phân biệt A B, có hoành độ lần lượt x_A; x_B. Khi đó giá trị của x_A + x_B bằng:

A. 5 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 8: Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm?

A. y = \[\frac{{ – 2x + 3}}{{x + 1}}\]

B. y = \[\frac{{2x + 3}}{{3x – 1}}\]

C. y = \[\frac{{4x + 1}}{{x + 2}}\]

D. y = \[\frac{{3x + 4}}{{x – 1}}\]

Câu 9: Biết rằng đường thẳng y = 4x + 5 cắt đồ thị hàm số y = x³ + 2x + 1 tại điểm duy nhất; kí hiệu (x₀;y₀) là tọa độ của điểm đó. Tìm y₀.

A. y₀ = 10

B. y₀ = 13

C. y₀ = 11

D. y₀ = 12

Câu 10: Đồ thị hàm số y = 2x³ – x² + x + 2 cắt parabol y = – 6x² – 4x – 4 tại một điểm duy nhất. Kí hiệu (x₀;y₀) là tọa độ của điểm đó. Tính giá trị của biểu thức x₀ + y₀.

A. 1.

B. -1.

C. -22.

D. 4.

Câu 11: Đường thẳng D có phương trình y = 2x + 1 cắt đồ thị của hàm số y = x³ – x + 3 tại hai điểm A và B với tọa độ được kí hiệu lần lượt là A(x_A;y_A) và B(x_B;y_B) trong đó

x_B < x_A. Tính x_B + y_B.

A. x_B + y_B = – 5

B. x_B + y_B = – 2

C. x_B + y_B = 4

D. x_B + y_B = 7

Câu 12: Tính tổng hoành độ của các giao điểm của đồ thị hàm số y = \[\frac{{5x + 6}}{{x + 2}}\] và đường thẳng y = – x.

A. -7 .

B. -5 .

C. 5 .

D. 7 .

Câu 13: Cho hàm số y = x³ – 3x có đồ thị hàm số là (C) . Tìm số giao điểm của (C) và trục hoành.

A. 2.

B. 3.

C. 1 .

D. 0 .

Câu 14: Cho hàm số y = (x – 2)(x² + 1) có đồ thị (C) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (C) cắt trục hoành tại hai điểm.

B. (C) cắt trục hoành tại một điểm.

C. (C) không cắt trục hoành.

D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm

Câu 15: Đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2 và đồ thị của hàm số y = -x² + 4 có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A. 0 .

B. 4 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 16: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y = x⁴ – 8x² + 3 và đường thẳng y = 10 . A. n = 0 .

B. n = 4 .

C. n = 2 .

D. n = 3 .

Câu 17: Tọa độ tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số y = x⁴ – x² – 1 và đường thẳng y = -1 là

A. (0;-1),(-1;-1)

B. (1;-1);(-1;-1)

C. (0;-1);(1;1)

D. (0;-1),(1;-1),(-1;-1)

Câu 18: Cho hàm số y = f(x) ó bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình f(x) = – 1 là

A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 19: Cho hàm số f(x) = x³ – 3x + 1. Tìm số nghiệm của phương trình f(f(x)) = 0.

A. 5 .

B. 9 .

C. 4 .

D. 7 .

Câu 20: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp nghiệm của phương trình f(f(x)) + 1 = 0 có bao nhiêu phần tử?

A. 4 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 9 .

Câu 21: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên các khoảng (-¥;-2);(-2;+¥) và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình (f(x))² – 2f(x) – 3 = 0 là
A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 4 .

Câu 22: Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Tập nghiệm của phương trình f(x)[f(x) – 4] = 0 là

A. {- 1;0;1; 2; 3}.

B. {- 1; 2} .

C. {0; 3}.

D. {- 1;0;2;3} .

Câu 23: Cho hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Phương trình f(f(x)) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3 .

B. 7 .

C. 9 .

D. 5 .

Câu 24: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Phương trình f(3 – 2f(x)) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6 .

B. 5 .

C. 7 .

D. 4 .

Câu 25: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] có đồ thị như hình bên dưới:

Phương trình f(f(x) – 1) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 6.

B. 5.

C. 7.

D. 4.

Câu 26: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \[\mathbb{R}\]và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình |f(x² – 2x| = 2 là

A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 8 .

Câu 27: Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thực của phương trình |f(x³ – 3x)| = \[\frac{1}{2}\]là

A. 6 .

B. 10 .

C. 12 .

D. 3 .

Câu 28: Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thực của phương trình |f(x⁴ – 2x²)| = 2 là

A. 8 .

B. 9 .

C. 7 .

D. 10 .

Câu 29: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f(3x⁴ – 6x² + 1) = 1 là

A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 3 .

Xem thêm