Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Bài tập về khối tròn xoay chọn lọc
Nội dung gồm có
Chương II. Khối tròn xoay
Ôn tập khối tròn xoay
Ôn tập tổng hợp hình học không gian
Chương II. Khối tròn xoay
I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
– Mặt cầu: \(S\left( {O;R} \right) = \left\{ {M\left| {OM = R} \right.} \right\}\)
– Khối cầu: \(V\left( {O;R} \right) = \left\{ {M\left| {OM \le R} \right.} \right\}\)
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O;(P)).
-Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính \(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} \).
– Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H ((P) đgl tiếp diện của (S))
– Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng \(\Delta \). Gọi d = d(O;\(\Delta \))
– Nếu d < R thì \(\Delta \) cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
– Nếu d = R thì \(\Delta \) tiếp xúc với (S). (\(\Delta \) đgl tiếp tuyến của (S))
– Nếu d > R thì \(\Delta \) và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
|
|
Mặt cầu ngoại tiếp |
Mặt cầu nội tiếp |
|
Hình đa diện |
Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu |
Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu |
|
Hình trụ |
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt cầu |
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ |
|
Hình nón |
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy của hình nón |
Mặt cầu tiếp xúc với c mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón |
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
– Cách 1: Nếu (n-2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
– Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Xác định trục \(\Delta \)của đáy (\(\Delta \) là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
+ Giao điểm của (P) và \(\Delta \) là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
|
|
Cầu |
Trụ |
Nón |
|
Diện tích |
\(S = 4\pi {R^2}\) |
\({S_{xq}} = 2\pi Rh\) Stp = Sxq + 2Sđáy |
\({S_{xq}} = \pi Rl\) Stp = Sxq + Sđáy |
|
Thể tích |
\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\) |
\(V = \pi {R^2}h\) |
\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\) |
Vấn đề 1: Mặt cầu – Khối cầu
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA \( \bot \)(ABC)
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = OD. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính \(R = \frac{{SC}}{2}\)
b) Chó SA = BC = a và \(AB = a\sqrt 2 \). Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngoài d. Một góc xAy di động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S. Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3, \(\widehat {BAC} = {60^0}\)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA\( \bot \)(ABCD) và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chứng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K, B cùng năm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Bài 4. Cho mặt cầu S(O;a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết \(CD = a\sqrt 3 \).
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh \(\Delta SMK \sim \Delta SOA\)( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra : KA = KB + KC.
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.\
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp. Biết rằng \[{\rm{IS}} = R\sqrt 3 \]
Bài 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh là đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Bài 9. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Bài 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R = 5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chưa tam giác.
Bài 11. Hình chóp S. ABC có đường cào SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12. Co hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I. Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kinh mặt cầu này.
Bài 14. Cho hình chóp S.ABC có SA\( \bot \)(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác địn tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Bài 15. Cho hình S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = \(a\sqrt 7 \) và SA \( \bot \)(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
a) Chứng minh rằng bẩy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Vấn đề 2. Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ
Bài 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2cm. Biết rằng thể tích tứ diện OO’AB bằng 8 cm3. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO’ hợp với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Bài 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, treenn đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB.
Bài 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và có bán kính đáy bằng 10cm. Người ta kẻ hai bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 300 . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Bài 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56cm. Một thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết diện.
Bài 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO’ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi ( \(h > a < \sqrt {{h^2} + 4{R^2}} \).
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi
Xem thêm