60 câu Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án 2023 – Toán 12

Trắc nghiệm Hệ tọa độ trong không gian có đáp án – Toán 12

Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho vectơ a→ = (2; 1; -2) . Tìm tọa độ của các vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ và có độ dài bằng 6.

Ta có:

Mặt khác hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Từ đó ta suy ra

Vậy đáp án cần tìm là C.

Lưu ý. Đáp án D là sai, do sai lầm trong tính độ dài của vectơ a→ :

Mà hai vectơ này cùng phương nên ta có:

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ

Với những giá trị nào của m thì sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất

A. m=1     C. m=-8

B. m=1 hoặc m=-8   D. Không tồn tại m thỏa mãn.

Với mọi cặp vectơ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  hay hai vectơ này vuông góc. Điều đó tương đương với điều kiện :

Chọn B.

Nếu chúng ta suy nghĩ sai là: ‘‘ sin(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi góc giữa hai vectơ đó lớn nhất ’’ thì khi đó góc giữa hai vectơ bằng 180^o , do đó tồn tại số k âm sao cho :

Hệ này vô nghiệm và dẫn đến ta chọn đáp án là D.

Câu 3: Trong không gian Oxyz , gọi φ là góc tạo bởi hai vectơ a→ = (4; 3; 1); b→ = (-1; 2; 3). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Ta có

Suy ra

Vậy đáp án đúng là A.

Lưu ý. Đáp án B sai do tính nhầm

Đáp án C sai do tính nhầm

Đáp án D sai do tính nhầm

Câu 4: Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABDC với A(0;0;0), B(1;-2;3), D(3;1;-4). Tọa độ của điểm C là:

A. (4;-1;-1)   B. (2;3;-7)   C. (3/2; 1/2; -2)   D. (-2;-3;7)

Vì ABDC là hình bình hành nên ta có:

Vậy đáp án đúng là B.

Lưu ý. Đáp án A sai do nhầm giải thiết ABCD là hình bình hành.

Đáp án C xuất phát từ việc vận dụng sai quy tắc hình bình hành

Đáp án D xuất phát từ sai lầm cho rằng: AC→ = DB

Câu 5: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;2). Tọa độ điểm C’ là:

A. (3;1;0)    B. (8;3;2)    C. (2;1;0)    D. (6;3;2)

Vì ACC’A’, ABCD là những hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

Từ đó suy ra:

Vậy đáp án đúng là D.

Lưu ý. Đáp án A sai do cho rằng tọa độ của C’ là tổng tọa độ của hai điểm B và D.

Đáp án B sai do cho rằng tọa độ của C’ là tổng tọa độ của ba điểm B, D và A’

Đáp án C xuất phát từ sai lầm rằng

Câu 6: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn:

Giá trị nhỏ nhất của

A. 11    B. -1    C. 1    D. 0

Áp dụng bất đẳng thức vectơ

Dấu bằng xảy ra khi 2 vectơ

cùng hướng. Vậy độ dài của vectơ |a→ – 2b→| ≥ 0 nhỏ nhất bằng 1.

Suy ra đáp án đúng là C.

Lưu ý. Đáp án A là giá trị lớn nhất của

Đáp án B xuất phát từ bất đẳng thức

tuy nhiên đáp án B sai do độ dài của một vectơ không âm

Đáp án D xuất phát từ nhận xét

tuy nhiên trong trường hợp này dấu bằng không xảy ra

Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² – 2x – 2y – 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và đường kính có độ dài bằng 2.

B. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 1

C. Diện tích của mặt cầu (S) là π

D. Thể tích của khối cầu (S) là 4π/3

Ta viết lại phương trình của (S) dưới dạng chính tắc như sau:

x² + y² + z² – 2x – 2y – 4z + 5 = 0

<=> (x² – 2x + 1) +(y₂ – 2y + 1) + (z² – 4z + 4) = 1 + 1 + 4 – 5

<=> (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 1

Vậy khẳng định B đúng.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và có bán kính R=1, do đó đường kính của (S) là 2R=2.

Vậy khẳng định A đúng.

Thể tích của khối cầu (S) là

Vậy khẳng định D đúng

Khẳng định C là sai do nhầm giữa công thức diện tích của mặt cầu với diện tích của đường tròn. Diện tích mặt cầu (S) là: 4πR² = 4π

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có A(0;1;2). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Cho H(4;-3;-2). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

A. I(2; -1; 0); R = 2√3     C. I(3; -2; -1); R = 3√3

B. I(4; -3; -2); R = 4√3     D. I(3; -2; -1); R = 9

Do ABCD là tứ diện đều nên H là trọng tâm tam giác BCD và I trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD. Ta có:

 

Từ đó ta có:

Vậy đáp án C đúng

Lưu ý. Đáp án A sai do nhận định I là trung điểm của AH

Đáp án B sai do cho rằng I trùng H

Đáp án D sai do tính toán nhầm bán kính R

Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x’; y’; z’) . Khẳng định nào dưới đây sai?

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (x; y; z), v→ = (x’; y’; z’) khác 0→ . Khẳng định nào dưới đây sai?

Câu 11: Trong không gian Oxyz, trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng với mọi u→, v→ ?

Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x₁; y₁; z₁), b→ = (x₂; y₂; z₂) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 14: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 17: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (x₁, y₁, z₁), 2→ = (x₂, y₂, z₂) thay đổi. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các điểm là: A(x_A; y_A, z_A), B(x_B; y_B, z_B), CA(x_C; y_C, z_C) . Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B có tọa độ các điểm A(x_A; y_A, z_A), B(x_B; y_B, z_B). Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:

Câu 20: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;0), B(-4;5;3), C(3;-10;-6). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. (0;-1;-1)   B. (0;-3;-3)   C.(0;-2;-2)   D. Đáp án khác

Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;3;-1), B(1;3;2), G(2;-3;-1) là trọng tâm của tam giác ABC. Tọa độ của điểm C là:

A. (3;-15;-4)   B. (-1;-9;-2)   C. (-3;15;4)   D. (1;9;2)

Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ

Tọa độ của vectơ

A. (4;3;9)   B. (4;3;21)   C. (2;-1;10)   D. (4;-1;10)

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;3;-1), B(5;4;-4). Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:

A. (4; 1; -3)   B. √26   C. 2√2   D. √66

Câu 24: Cho hai vectơ a→, b→ tạo với nhau một góc 120^o. Biết độ dài của hai vectơ đó lần lượt là 4 và 3. Độ dài của vectơ tổng a→ + b→ là:

A. 7   B. 1   C. √13   D. √37

Câu 25: Cho hai vectơ a→, b→ tạo với nhau một góc 60^o . Biết độ dài của hai vectơ đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vectơ hiệu a→ – b→ là:

A. 15   B. 5   C. 75   D. √75

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;2;2), B(-4;-4;-4). Điểm nào dưới đây nằm trên đường thẳng AB?

A. M₁(-1; 1; -1)   B. M₂(1; -1; -1)   C. M₃(-1; -1; 1)   D. M₄(-1; -1; -1)

Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB→; AM→ cùng phương

Ta có: 

Do đó, ba điểm A, B, M4 thẳng hàng hay điểm M4 nằm trên đường thẳng AB.

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-3), B(3;6;-9). Điểm nào dưới đây không nằm trên đường thẳng AB?

A. M₁(2; 4; -6)   B. M₂(-1; -2; 3)   C. M₃(0; 0; 1)   D. M₄(5; 10; -15)

Để ba điểm A, B, M không thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto AB→; AM→ không cùng phương

Ta có: 

Do đó,hai vecto này không cùng phương

Suy ra ba điểm A, B, M₃ không thẳng hàng hay điểm M₃ không nằm trên đường thẳng AB.

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;1;-3), B(4;2;-6), C(10;5;-15). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; -2; -3), b→ = (m; 2m – 1; 1) . Với những giá trị nào của m thì hai vectơ a→ và b→ vuông góc?

A. m = -1/3   B. m = -1/2    C. m = 1   D. m = 0

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; m; 2m – 1), b→ = (m + 1; m² + 1; 4m – 2) . Với những giá trị nào của m thì cos(a→, b→) đạt giá trị lớn nhất?

A. m = 1/2    C. m = 1

B. m = 1 hoặc m = 1/2    D. Không tồn tại m thỏa mãn

Câu 31: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a→ = (1; -2; 2), b→ = (-2; m – 3; m) . Với những giá trị nào của m thì hai vectơ a→ và b→ có độ dài bằng nhau?

A. m = 1 hoặc m = 2   C. m = 2

B. m = 1   D. Không có m

Câu 32: Trong không gian Oxyz, cho điểm G(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC trong đó A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz. Tọa độ các điểm A, B, C là:

A. A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3)   C. A(-3; 0; 0), B(0; -6; 0), C(0; 0; -9)

B. A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; 9)   D. A(6; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 9)

Do A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz nên A(a; 0; 0); B(0; b; 0) và C(0; 0; c).

Mà điểm G(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên:

Câu 33: Trong không gian Oxyz, ba điểm nào dưới đây lập thành ba đỉnh của một tam giác?

A. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(3; -1; 1)   C. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(9; -10; -5)

B. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(6; -2; 2)   D. A(1; 2; 3), B(5; -4; -1), C(-3; 8; 7)

Để ba điểm A, B,C lập thành ba đỉnh của 1 tam giác khi và chỉ khi ba điểm A, B,C không thẳng hàng hay hai vecto AB→; AC→ không cùng phương

Xét phương án B ta có:

AB→ = (4; -6; -4); AC→ = (5; -4; -1)

Suy ra hai vecto này không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thằng hàng.

Câu 34: Cho hai vectơ a→, b→ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn

Giá trị nhỏ nhất của: 

A. 11   B. -1   C. 1   D. √61

Sử dụng bất đẳng thức vectơ:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ này ngược hướng. Suy ra đáp án A.

Hai đáp án B và C xuất phát từ sai lầm

Đáp án D xuất phát từ sai lầm

Câu 35: Trong không gian cho hai điểm A(x; y; z), B(m, n, p) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn các điều kiện x² + y² + z² = 4, m² + n² + p² = 9. Vectơ AB→ có độ dài nhỏ nhất là:

A. 5   B. 1   C. 13   D. Không tồn tại

Từ giả thiết suy ra

Do đó AB ≥ |OA – OB| = 1. Dấu bằng xảy ra khi O nằm ngoài đoạn AB. Suy ra đáp án đúng là B.

Hai đáp án A, D sai do nhầm OA = x² + y² + z² = 4; OB = m² + n² + p² = 9

Đáp án C sai do nhầm với câu hỏi vectơ AB→ có độ dài lớn nhất

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(0;1;-2), B(3;-2;1), D(1;4;2). Tọa độ của điểm C là:

A. (4;1;5)   B. (4;3;1)   C. (4;2;3)   D. (4;1;1)

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;2;0), D(2;-1;0), A’(5;2;3). Tọa độ của điểm C’ là:

A. (3;1;0)   B. (8;3;3)   C. (-8;-3;-3)   D. (-2;-1;-3)

Sử dụng quy tắc hình hộp trong không gian:

Ta có:

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (1; -2; 3) . Tìm tọa độ của vectơ b→ biết rằng vectơ b→ ngược hướng với vectơ a→ và |b→| = 2|a→|

Vì vectơ b→ ngược hướng với vectơ a→ và |b→| = 2|a→| nên:

b→ = -2a→ = (-2; 4; -6)

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (-1; -2; 3) . Tìm tọa độ của vectơ b→ = (2; y; z) biết rằng vectơ b→ cùng phương với vectơ a→

Vectơ b→ cùng phương với vectơ a→ khi và chỉ khi tồn tại một số thực k thỏa mãn:

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho vectơ a→ = (m; m + 3; 3 – 2m). Với giá trị nào của m thì vectơ a→ có độ dài nhỏ nhất

A. m = 1/2   B. m = 0   C. m = 1   D. m = -3

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u→ = (3; 4; 0), v→ = (2; -1; 2) . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là:

A. 15   B. 2   C. 3   D. 0

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

(x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

A. I(1; -2; -3); R = 25    C. I(-1; 2; 3); R = 25

B. I(-1; 2; 3); R = 5   D. I(1; -2; -3); R = 5

Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

x² + y² + z² – 2x + 4y + 4z + 5 = 0

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

A. I(1; -2; -2); R = 2    C. I(-1; 2; 2); R = 2

B. I(1; -2; -2); R = 4   D. I(-2; 4; 4); R = 4

Câu 44: Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?

A. x² + y² + z² – 2x + 4y – 8z – 25 = 0

B. x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 15 = 0

C. 3x² + 3y² + 3z² – 6x – 7y – 8z + 1 = 0

D. (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² + 10 = 0

Sử dụng phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi a² + b² + c² – d > 0

+ Phương án A và B không thỏa mãn điều kiện a² + b² + c² – d > 0

+ Phương án C: 3x² + 3y² + 3z² – 6x – 7y – 8z + 1 = 0

Nên đây có là phương trình mặt cầu.

+ Phương án D: (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² + 10 = 0

⇔ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = -10 nên không là phương trình mặt cầu.

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là:

3x² + 3y² + 3z² + 6x – 8y + 15z – 3 = 0

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính AB với A(-2;-4;3), B(4;2;0). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

(S) có bán kính:

và có tâm I là trung điểm của AB. Ta có:

Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;-3) và đi qua điểm M(-1;0;-2). Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 3    C. (x + 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 3

B. (x + 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9   D. (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 9

Câu 48: Cho (S) là mặt cầu có tâm I(1;2;4) và đi qua điểm M(-1;4;3). Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Bán kính của mặt cầu (S) là R = IM = 3

B. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là: (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 4)² = 9

C. Mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ

D. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 8z + 12 = 0

Ta có:  .

Suy ra:

* Bán kính của mặt cầu (S) là R = IM = 3

* Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là:

(x – 1)² + (y – 2)² + (z – 4)² = 9

* Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là:

x² + y² + z² – 2x – 4y – 8z + 12 = 0

* Thay tọa độ điểm O vào phương trình mặt cầu ta thấy không thỏa mãn nên mặt cầu không đi qua gốc tọa độ O.

Câu 49: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=4. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Diện tích của mặt cầu (S) bằng 16π

B. Thể tích của khối cầu (S) bằng 64π/3

C. Phương trình chính tắc cúa (S) là: (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 16

D. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 2 = 0

Câu 50: Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1) và bán kính R=3. Phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua gốc tọa độ là:

A. (x – 1)² + (y – 2)² + (z + 1)² = 9

C. x² + y² + z² – 2x – 4y + 2z – 3 = 0

B. (x + 1)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 9

D. x² + y² + z² = 9

Mặt cầu (S’) đối xứng với mặt cầu (S) qua gốc tọa độ nên mặt cầu (S’) có tâm I’(-1;-2; 1) đối xứng với I qua gốc O và có bán kính R’ = R = 3.

Phương trình mặt cầu (S’) là:(x + 1)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 9

Câu 51: Cho mặt cầu (S) có phương trình: x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z – 2 = 0 . Điểm M(m; -2; 3) nằm trong mặt cầu khi và chỉ khi:

A. m=6   B. m > -3   C. -3 < m < 5   D. m < 5

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3),

M nằm trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi: IM < R nên

Câu 52: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(0;0;1), bán kính R=5. Mặt phẳng (P): 4x – 4y + z + m = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5. Khi đó m bằng:

A. m=-1   B. m=-4   C. m=3   D. Đáp số khác

Do mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 5 bằng bán kính mặt cầu nên tâm I thuộc mặt phẳng (P) .

Thay tọa độ tâm I vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

4.0- 3.0 + 1+ m= 0 nên m = -1 .

Câu 53: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(4;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;2). Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. (x – 1)² + (y + 1)² + (z – 1)² = 6    C. (x – 4)² + (y + 2)² + (z + 2)² = 24

B. (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 1)² = 24   D. (x + 2)² + (y – 1)² + (z + 1)² = 6

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S). Ta có:

Từ đó: R = OI = √6

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 1)² = 6

Câu 54: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A(-4;0;0), B(0;2;0), C(0;0;4). Phương trình của mặt cầu (S) là:

A. x² + y² + z² + 2x – y – 2z = 0    C. x² + y² + z² + 4x – 2y + 4z = 0

B. x² + y² + z² + 4x + 2y – 4z = 0    D. x² + y² + z² + 4x – 2y – 4z = 0

Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a² + b² + c² – d > 0

Ta có: O(0; 0; 0) ∈ (S) ⇔ d = 0

A(-4; 0; 0) ∈ (S) ⇔ (-4)² + 0² + 0² – 2a.(-4) – 0 – 0 + 0 = 0 ⇔ a = -2

B(0; 2; 0) ∈ (S) ⇔ 0² + 2² + 0² – 0 – 2b.2 – 0 + 0 = 0 ⇔ b = 1

C(0; 0; 4) ∈ (S) ⇔ 0² + 0² + 4² – 0 – 0 – 2c.4 – 0 = 0 ⇔ c = 2

Vậy phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x² + y² + z² + 4x -2y – 4z = 0

Câu 55: Vị trí tương đối của hai mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1), bán kính R = 1 và mặt cầu (S’) có tâm I'(3;3;3), bán kính R’=1 là:

A. ở ngoài nhau   B. tiếp xúc   C. cắt nhau   D. chứa nhau

Do đó, hai mặt cầu đã cho ở ngoài nhau.

Câu 56: Vị trí tương đối của hai mặt cầu: x² + y² + z² + 2x – 2y – 2z – 7 = 0 và x² + y² + z² + 2x + 2y + 4z + 5 = 0 là:

A. ở ngoài nhau   B. tiếp xúc    C. cắt nhau   D. chứa nhau

Mặt cầu: x² + y² + z² + 2x – 2y – 2z – 7 = 0 có tâm I(-1; 1;1) và

Mặt cầu: x² + y² + z² + 2x + 2y + 4z + 5= 0 có tâm I’( -1; -1; -2) và R’ = 1

Do đó, hai mặt cầu này cắt nhau.

Câu 57: Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;-3), B(-3;-2;-5). Biết rằng tập hợp các điểm M trong không gian tỏa mãn đẳng thức AM² + 2BM² = 30 là một mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S).

A. I(-1; -1; -4); R = √6    C. I(-1; -1; -4); R = √30/2

B. I(-2; -2; -8); R = 3    D. I(-1; -1; -4); R = 3

Gọi I là trung điểm của AB. AB = √24

Theo công thức đường trung tuyến ta có

Mặt khác ta có 

Nên I(-1; -1; -4) . Từ đó suy ra đáp án đúng là D.

Đáp án A và C sai do nhớ nhầm công thức tính đường trung tuyến

Đáp án B sai do tính nhầm công thức trung điểm

Câu 58: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;2;-4), B(-3;5;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho biểu thức AM² + 2BM² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M(-3/2; 7/2; -1)   B. M(-1; 3; -2)   C. M(-2; 4; 0)   D. M(-3; 7; -2)

Gọi M(x; y; z). Ta có:

AM² + 2BM² = x² + (y – 2)² + (z + 4)² + 2[(x + 3)² + (y – 5)² + (z – 2)²]

= x² + y²– 4y + 4+ z² +8z+ 16 + 2(x²+ 6x + 9 + y² – 10y + 25 + z² – 4z + 4)

= 3(x² + y² + z² + 4x – 8y) + 96 = 3[(x + 2)² + (y – 4)² + z²] + 36 ≥ 36

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = -2, y = 4, z = 0 → M(-2; 4; 0) .

Vậy đáp án đúng là C

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng I. Từ đó sau khi tìm được điểm I ta suy ra đáp án C đúng.

Nếu đề bài hỏi AM² + BM² đạt giá trị nhỏ nhất thì đáp án đúng là A ( vị trí trung điểm của AB)

Câu 59: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là: (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 3)² = 4

Cho ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện góc AMB = 90^o . Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất là:

A. 4   B. 2   C. 4π    D. Không tồn tại

Ba điểm A, M, B nằm trên mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện  = 90°

Nên tam giác AMB vuông tại M.

Ta có:

Dấu bằng xáy ra khi và chỉ khi tam giác MAB vuông cân tại M và AB là một đường kính của mặt cầu (S). Vậy đáp án đúng là A.

Câu 60: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu (S) và (S’) có tâm lần lượt là I(-1;2;3), I’(3;-2;1) và có bán kính lần lượt là 4 và 2. Cho điểm M di động trên mặt cầu (S), N di động trên mặt cầu (S’). Khi đó giá trị lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng:

A. 8   B. 2   C. 12   D. 6

Ta có: II’ = 6 = R + R’

Ta có: MN ≥ MI + II’ + I’N = R + 6 + R’ = 12

Dấu bằng xảy ra khi M, I, I’, N theo thứ tự nằm trên một đường thẳng. Do đó M là giao điểm của tia đối của tia II’ với mặt cầu (S), N là giao điểm của tia đối của tia I’I với mặt cầu (S’). Vậy đáp án đúng là C.

Xem thêm