Sách bài tập Toán 11 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 1

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1

Bài 63 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều dương). Khi đó, số đo của góc lượng giác (OA, OC) bằng:

A. $\frac{2 π}{3} + k 2 π$ .

B. $- \frac{2 π}{3} + k 2 π$ .

C. $\frac{π}{3} + k 2 π$ .

D. $- \frac{π}{3} + k 2 π$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ A đến các đỉnh theo chiều dương)

Vì ABCDEF là lục giác đều nên

$\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O F} = \hat{F O A} = \frac{360 °}{6} = 60 ° = \frac{π}{3}$ .

Khi đó, ta có: $(O A, O C) = \frac{π}{3} + \frac{π}{3} + k 2 π = \frac{2 π}{3} + k 2 π$ .

Bài 64 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tan α = 2. Giá trị của biểu thức $A = \frac{3 \sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ bằng:

Lời giải:

Vì tan α = 2 xác định nên cos α ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của A cho cos α ta được:

$A = \frac{3 \sin α + \cos α}{\sin α - \cos α}$ $= \frac{3 \tan α + 1}{\tan α - 1} = \frac{3.2 + 1}{2 - 1} = \frac{7}{1} = 7$ .

Bài 65 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức A = (2sin x – cos x)² + (2cos x + sin x)² bằng:

A. 5.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có A = (2sin x – cos x)² + (2cos x + sin x)²

= 4sin² x – 4sin x cos x + cos² x + 4cos² x + 4cos x sin x + sin² x

= 5sin² x + 5cos² x

= 5(sin² x + cos² x)

= 5 . 1 = 5.

Bài 66 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu hai góc a và b có tan a = $\frac{1}{3}$ và tan b = $\frac{1}{2}$ thì giá trị của tan(a – b) bằng:

A. $\frac{1}{7}$ .

B. $- \frac{1}{5}$ .

C. $- \frac{1}{7}$ .

D. 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\tan (a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{3} . \frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = - \frac{1}{7}$ .

Bài 67 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos 2 α = \frac{\sqrt{3}}{6}$ thì giá trị của biểu thức $\cos (α + \frac{π}{3}) \cos (α - \frac{π}{3})$ bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

B. $\frac{- 3 + \sqrt{3}}{12}$ .

C. $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

D. $\frac{3 + \sqrt{3}}{12}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos (α + \frac{π}{3}) \cos (α - \frac{π}{3})$

Bài 67 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1

$= \frac{1}{2} (\cos 2 α + \cos \frac{2 π}{3})$

$= \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + \sqrt{3}}{12}$ .

Bài 68 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cos 2x = 0 có các nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ .

B. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

D. $x = k π (k \in ℤ)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có cos 2x = 0 $\Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

Bài 69 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ có các nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

B. $x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

C. $x = \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

D. $x = - \frac{π}{3} + k π (k \in ℤ)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Do $\tan (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ nên tan x = $- \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Leftrightarrow \tan x = \tan (- \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$ .

Bài 70 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh mỗi đẳng thức sau là đúng:

a) sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°) = sin 15°;

b) $\tan \frac{9 π}{20} = \frac{1 + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{5}}$ .

Lời giải:

a) Ta có VT = sin 45° . cos 30° + cos(– 45°) . sin(– 30°)

= sin 45° . cos 30° + cos 45° . (– sin 30°)

= sin 45° . cos 30° – cos 45° . sin 30°

= sin(45° – 30°)

= sin 15° = VP (đpcm).

b) Ta có $\tan \frac{9 π}{20} = \tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{5}) = \frac{\tan \frac{π}{4} + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{4} . \tan \frac{π}{5}} = \frac{1 + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{5}}$ .

Vậy $\tan \frac{9 π}{20} = \frac{1 + \tan \frac{π}{5}}{1 - \tan \frac{π}{5}}$ (đpcm).

Bài 71 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sin(45°– α) = $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ .

a) Chứng minh rằng $\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ .

b) Tính sin 2α.

Lời giải:

a) Sử dụng công thức hạ bậc và quan hệ lượng giác của hai góc phụ nhau, ta có:

$\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \cos (90 ° - 2 α)}{2} = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ .

Vậy $\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ (đpcm).

b) Vì sin(45°– α) = $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ nên sin²(45°– α) = ${(\frac{1}{2 \sqrt{2}})}^{2} = \frac{1}{8}$ .

Theo câu a) ta có $\sin^{2} (45 ° - α) = \frac{1 - \sin 2 α}{2}$ , do đó $\frac{1 - \sin 2 α}{2} = \frac{1}{8}$ .

Từ đó suy ra $\sin 2 α = \frac{3}{4}$ .

Bài 72 trang 32 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin (2 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ ;

b) $\sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

c) $\cos (2 x + \frac{π}{5}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

d) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$ ;

e) $\sqrt{3} \tan (2 x + \frac{π}{3}) - 1 = 0$ ;

g) cot(3x + π) = – 1.

Lời giải:

a) Do $\sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ nên $\sin (2 x - \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{6}) = \sin (- \frac{π}{6})$

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

b) Do $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Leftrightarrow \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{2}) = \sin \frac{π}{3}$

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

c) Do $\cos \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\cos (2 x + \frac{π}{5}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{5}) = \cos \frac{π}{4}$

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

d) $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{5 π}{6}$ (do $\cos \frac{5 π}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ )

Giải phương trình trang 32 SBT Toán 11

e) $\sqrt{3} \tan (2 x + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan (2 x + \frac{π}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow \tan (2 x + \frac{π}{3}) = \tan \frac{π}{6}$ (do $\tan \frac{π}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ )

$\Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow 2 x = - \frac{π}{6} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{12} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

g) Do $\cot (- \frac{π}{4}) = - 1$ nên cot(3x + π) = – 1 $\Leftrightarrow \cot (3 x + π) = \cot (- \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow 3 x + π = - \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow 3 x = - \frac{5 π}{4} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = - \frac{5 π}{12} + k \frac{π}{3} (k \in ℤ)$ .

Bài 73 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \sin (3 x - \frac{π}{6})$ ;

b) $\cos (x + \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4} - 2 x)$ ;

c) $\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = \cos^{2} (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$ ;

d) $\cot 3 x = \tan \frac{2 π}{7}$ .

Lời giải:

a) $\sin (2 x + \frac{π}{3}) = \sin (3 x - \frac{π}{6})$

Giải phương trình trang 33 SBT Toán 11

b) $\cos (x + \frac{π}{4}) = \cos (\frac{π}{4} - 2 x)$

Giải phương trình trang 33 SBT Toán 11

c) Sử dụng công thức hạ bậc ta có:

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) = \cos^{2} (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \frac{1 + \cos (x + \frac{π}{3})}{2} = \frac{1 + \cos (3 x + \frac{π}{2})}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{3}) = \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Giải phương trình trang 33 SBT Toán 11

d) Sử dụng quan hệ phụ nhau của hai góc lượng giác, ta có:

$\cot 3 x = \tan \frac{2 π}{7}$

$\Leftrightarrow \cot 3 x = \cot (\frac{π}{2} - \frac{2 π}{7})$

$\Leftrightarrow \cot 3 x = \cot \frac{3 π}{14}$

$\Leftrightarrow 3 x = \frac{3 π}{14} + k π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{14} + k \frac{π}{3} (k \in ℤ)$ .

Bài 74 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm. Khoảng cách h (cm) từ chất điểm đến trục hoành được tính theo công thức h = |y|, trong đó $y = a \sin (\frac{π}{5} t)$ với t là thời gian chuyển động của chất điểm tính bằng giây (t ≥ 0) và chất điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí A (Hình 16).

a) Chất điểm chuyển động một vòng hết bao nhiêu giây?

b) Tìm giá trị của a.

c) Tìm thời điểm sao cho chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm phía dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.

Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm

Lời giải:

a) Xét h = 0 hay |y| = 0, suy ra y = 0, tức là $a \sin (\frac{π}{5} t) = 0$ $\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{5} t) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{π}{5} t = k π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow t = 5 k (k \in ℤ, k \geq 0)$ (do t ≥ 0).

Ta nhận thấy, từ thời điểm ban đầu, cứ sau 5 giây, khoảng cách từ chất điểm đến trục hoành lại bằng 0. Suy ra sau mỗi 5 giây, chất điểm chuyển động được nửa vòng. Vậy chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây.

b) Do chất điểm chuyển động một vòng hết 10 giây nên khi t = 2,5 giây thì chất điểm chuyển động được một phần tư vòng theo chiều dương, suy ra tại t = 2,5 ta có y = |y| = h = 5 (do bằng bán kính). Khi đó, $a \sin (\frac{π}{5} .2,5) = 5$ $\Leftrightarrow a = 5$ .

Vậy a = 5.

c) Từ kết quả câu b, ta có: $y = 5 \sin (\frac{π}{5} t)$ .

Do h = 2,5 cm và chất điểm nằm ở dưới trục hoành nên y = – 2,5.

Với y = – 2,5, ta có: $5 \sin (\frac{π}{5} t) = - 2,5$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{5} t) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{5} t) = \sin (- \frac{π}{6})$

Một chất điểm chuyển động đều theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn bán kính 5 cm

Với vòng quay đầu tiên thì 0 ≤ t ≤ 10, do đó $t = \frac{35}{6}, t = \frac{55}{6}$ .

Vậy tại thời điểm $t = \frac{35}{6}$ giây, $t = \frac{55}{6}$ giây thì chất điểm ở vị trí có h = 2,5 cm và nằm ở dưới trục hoành trong một vòng quay đầu tiên.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy