Phương pháp giải và bài tập về Cách xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Tài liệu Cách xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số gồm nội dung chính sau:

Phương pháp giải

–          Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn Cách xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số.

Các bài tập

–          Gồm 47 bài tập tự luyện đa dạng có đáp án và lời giải chi tiết Cách xét tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 2. CÁCH XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy tăng nếu u_n < u_n+1 ∀n ∈ N

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy giảm nếu u_n > u_n+1 ∀n ∈ N

2. Dãy số bị chặn

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho u_n < M ∀n ∈ N.

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho u_n > m∀n ∈ N.

    ♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |u_n | < M ∀n ∈ N.

    ♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (u_n) ta xét : k_n=(u_n+1-u_n)

        * Nếu k_n > 0∀n ∈ N ⇒ dãy (u_n) tăng

        * Nếu k_n < 0∀n ∈ N ⇒ dãy (u_n) giảm.

Khi u_n > 0 ∀n ∈ N ta có thể xét  $t_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$

        * Nếu t_n > 1 ⇒ dãy số (u_n) tăng

        * Nếu t_n < 1 ⇒ dãy số (u_n) giảm

    ♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

CÁC BÀI TẬP

Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:  $u_n=\frac{3n^2-2n+1}{n+1}$

     A. Dãy số tăng                                                             B. Dãy số giảm                 

     C. Dãy số không tăng không giảm                              D. Cả A, B, C đều sai                                            

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{5n^2+10n+2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0$ nên dãy $\left(u_n\right)$ là dãy tăng

Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: $u_n=n-\sqrt{n^2-1}$

     A. Dãy số tăng                                                             B. Dãy số giảm                 

     C. Dãy số không tăng không giảm                              D. Cả A, B, C đều sai                  

Hướng dẫn giải:

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\left(n+1\right)+\sqrt{{\left(n+1\right)}^2-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{n^2-1}}<0$

Chọn B.

Nên dãy $\left(u_n\right)$ giảm.

Câu 3:  Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:    $u_n=\frac{3^n-1}{2^n}$

     A. Dãy số tăng                                                             B. Dãy số giảm                 

     C. Dãy số không tăng không giảm                              D. Cả A, B, C đều sai                                                                                                                                      

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=u_{n+1}-u_n=\frac{3^n+1}{2^{n+1}}>0\Rightarrow$ dãy $\left(u_n\right)$ tăng.

Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: $u_n=\frac{n+{\left(-1\right)}^n}{n^2}$

     A. Dãy số tăng                                                             B. Dãy số giảm                 

     C. Dãy số không tăng không giảm                              D. Cả A, B, C đều sai                  

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $u_1=0;u_2=\frac{1}{2};u_3=\frac{2}{9}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{u}_2>u_1\\ u_3<u_2\end{array}\right.\Rightarrow$ Dãy số không tăng không giảm.

 

Câu 5:  Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left(u_n\right)$, biết:  $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$

     A. Dãy số tăng, bị chặn                                                B. Dãy số giảm, bị chặn   

     C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn     D. Cả A, B, C đều sai                                            

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{34}{(3n+1)(3n-2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy  là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow -11\le u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Vậy dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Xem thêm