Phương pháp giải và bài tập về Cách tính góc giữa hai đường thẳng

Tài liệu Cách tính góc giữa hai đường thẳng gồm nội dung chính sau:

Phương pháp

– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn Cách tính góc giữa hai đường thẳng.

– Gồm 53 bài tập tự luyện đa dạng có đáp án và lời giải chi tiết Cách tính góc giữa hai đường thẳng.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Cách tính góc giữa hai đường thẳng (ảnh 1)

DẠNG 3. CÁCH TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ bằng cách chọn một điểm $O$ thích hợp ( $O$ thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Cách tính góc giữa hai đường thẳng (ảnh 2)

Từ $O$ dựng các đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ lần lượt song song ( có thể tròng nếu $O$ nằm trên một trong hai đường thẳng) với $d_{1}$ và $d_{2}$ . Góc giữa hai đường thẳng $d_{1}^{‘}, d_{2}^{‘}$ chính là góc giữa hai đường thẳng $d_{1}^{‘}, d_{2}^{‘}$ .

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ của hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$

Khi đó góc giữa hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ xác định bởi $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| |\vec{u_{2}}|}$ .

Lưu ý 2: Để tính $\vec{u_{1}} \vec{u_{2}}, |\vec{u_{1}}|, |\vec{u_{2}}|$ ta chọn ba vec tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài

và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ qua các vec tơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ rồi thực hiện các tính toán

Câu 1: Cho tứ diện $A B C D$ có $A B = C D = a$ , $I J = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. $30 °$ . B. $45 °$ . C. $60 °$ . D. $90 °$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC.

Ta có:

$\{\begin{cases} M I = N I = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D = \frac{a}{2} \\ M I // A B // C D // N I \end{cases} \Rightarrow M I N J$ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: $\hat{M I N} = 2 \hat{M I O}$ .

Xét $Δ M I O$ vuông tại O, ta có: $\cos \hat{M I O} = \frac{I O}{M I} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \hat{M I O} = 30 ° \Rightarrow \hat{M I N} = 60 °$ .

Mà: $(A B, C D) = (I M, I N) = \hat{M I N} = 60 °$ .

Câu 2: Cho hình hộp $A B C D . A^{‘} B^{‘} C^{‘} D^{‘}$ . Giả sử tam giác $A B^{‘} C$ và $A^{‘} D C^{‘}$ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $A^{‘} D$ là góc nào sau đây?

A. $\hat{B D B^{‘}}$ . B. $\hat{A B^{‘} C}$ . C. $\hat{D B^{‘} B}$ . D. $\hat{D A^{‘} C^{‘}}$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: $A C // A^{‘} C^{‘}$ (tính chất của hình hộp)

$\Rightarrow (A C, A^{‘} D) = (A^{‘} C^{‘}, A^{‘} D) = \hat{D A^{‘} C^{‘}}$ (do giả thiết cho $Δ D A^{‘} C^{‘}$ nhọn).

Câu 3: Cho tứ diện đều $A B C D$ (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

A. $30 °$ . B. $45 °$ . C. $60 °$ . D. $90 °$ .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$ .

Gọi E là trung điểm CD $\Rightarrow B E ⊥ C D$ (do $Δ B C D$ đều).

Do $A H ⊥ (B C D) \Rightarrow A H ⊥ C D$ .

Ta có: $\{\begin{cases} C D ⊥ B E \\ C D ⊥ A H \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (A B E) \Rightarrow C D ⊥ A B \Rightarrow \hat{(A B, C D)} = 90 °$ .

Câu 17. [1H3-2] Cho tứ diện đều $A B C D$ , $M$ là trung điểm của cạnh $B C$ . Khi đó $\cos (A B, D M)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ . B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . D. $\frac{1}{2}$ .

Xem thêm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy