Phương pháp giải và bài tập về Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số

Tài liệu Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số gồm nội dung chính sau:

Phương pháp giải

–          Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Các bài tập ví dụ

–          Gồm 23 ví dụ minh họa đa dạng có đáp án và lời giải chi tiết Cách tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 1. CÁCH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

• Nếu u_n có dạng u_n = a₁ + a₂ + … + a_k + .. + a_n thì biến đổi a_k thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn u_n .

• Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u₁; u₂; … ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

u_{n + 1} − u_n dựa vào đó để tìm công thức tính u_n theo n.

CÁC BÀI TẬP VÍ DỤ

Câu 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: $-1,3,19,53$. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

     A. $u_{10}=97$                        B. $u_{10}=71$                         C. $u_{10}=1414$                     D. $u_{10}=971$

Hướng dẫn giải:

Chọn A. 

Xét dãy $\left(u_n\right)$ có dạng: $u_n=a{n}^3+b{n}^2+cn+d$

Ta có hệ: $\left\{\begin{array}{l}a+b+c+d=-1\\ 8a+4b+2c+d=3\\ 27a+9b+3c+d=19\\ 64a+16b+4c+d=53\end{array}\right.$

Giải hệ trên ta tìm được: $a=1,b=0,c=-3,d=1$

$\Rightarrow u_n=n^3-3n+1$ là một quy luật.

Số hạng thứ 10: $u_{10}=971$.

Câu 2: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{a{n}^2}{n+1}$ (a: hằng số). $u_{n+1}$ là số hạng nào sau đây?

A. $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{n+2}$.          B. $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{n+1}$.          C. $u_{n+1}=\frac{a.n^2+1}{n+1}$.              D. $u_{n+1}=\frac{a{n}^2}{n+2}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có $u_{n+1}=\frac{a.{\left(n+1\right)}^2}{\left(n+1\right)+1}=\frac{a{\left(n+1\right)}^2}{{\left(n+2\right)}^2}$.

Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $5;10;15;20;25;\mathrm{\dots }$ Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=5(n-1)$.                B. $u_n=5n$.                        C. $u_n=5+n$.                    D. $u_n=5.n+1$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

$5=5.1$

$10=5.2$

$15=5.3$

$20=5.4$

$25=5.5$

Suy ra số hạng tổng quát  $u_n=5n$.

Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $8,15,22,29,36,\mathrm{\dots }$.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=7n+7$.                                                             B. $u_n=7.n$.

C. $u_n=7.n+1$.                                                             D. $u_n$: Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

$8=7.1+1$

$15=7.2+1$

$22=7.3+1$

$29=7.4+1$

$36=7.5+1$

Suy ra số hạng tổng quát $u_n=7n+1$.

Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: $0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\mathrm{\dots }$.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. $u_n=\frac{n+1}{n}$.                    B. $u_n=\frac{n}{n+1}$.                    C. $u_n=\frac{n-1}{n}$.                    D. $u_n=\frac{n^2-n}{n+1}$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

$0=\frac{0}{0+1}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}$

$\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1}$

$\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}$

$\frac{4}{5}=\frac{4}{4+1}$

Suy ra  $u_n=\frac{n}{n+1}$.

Xem thêm