Giải Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Giải bài tập Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 172 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính $y^{\prime }$ và đạo hàm của $y^{\prime }$ biết:
a. $y=x^3-5x^2+4x$
b. y = sin3x
Phương pháp giải:

Sử dụng :

+ Công thức đạo hàm các hàm số cơ bản

+ Đạo hàm hàm số lượng giác

Lời giải:

a.

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(x^3-5x^2+4x\right)}^{\prime }=3x^2-10x+4\\ {\left(y^{\prime }\right)}^{\prime }={\left(3x^2-10x+4\right)}^{\prime }=6x-10\end{array}$

b.

$y^{\prime }=(sin3x{)}^{\prime }=3cos3x(y^{\prime }{)}^{\prime }=(3cos3x{)}^{\prime }=-9sin3x$

Trả lời hoạt động 2 trang 173 sgk Đại số và Giải tích 11: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình $s=\frac{1}{2}g{t}^2$ (trong đó $g\approx 9,8m/s^2$). Hãy tính vận tốc tức thời $v(t)$ tại các thời điểm $t_o=4s;t_1=4,1s$. Tính tỉ số $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ trong khoảng $\Delta t=t_1-t_0.$
 

Phương pháp giải:

– Vận tốc $v(t)=\frac{S(t)}{t}$.

– Thay các giá trị $t_0$ và $t_1$ vào $v(t)$.

– Tính $\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v(t_1)-v(t_0)}{t_1-t_0}$

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& v(t)=\frac{s}{t}=\frac{\frac{1}{2}g{t}^2}{t}=\frac{1}{2}gt\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{c}v(t_0)=\frac{s}{t_0}=\frac{\frac{1}{2}g{t_0}^2}{t_0}=\frac{1}{2}g{t}_0=\frac{1}{2}.9,8.4=19,6(m/s)\hfill \\ v(t_1)=\frac{s}{t_1}=\frac{\frac{1}{2}g{t_1}^2}{t_1}=\frac{1}{2}g{t}_1=\frac{1}{2}.9,8.4,1=20,09(m/s)\hfill \end{array}\\ & \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v(t_1)-v(t_0)}{t_1-t_0}=\frac{20,09-19,6}{4,1-4}=4,9\end{array}$

Trả lời hoạt động 3 trang 173 sgk Đại số và Giải tích 11: Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $s=\frac{1}{2}g{t}^2$
Phương pháp giải:

Gia tốc chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường.

Lời giải:

$s^{″}=(\frac{1}{2}g{t}^2{)}^{″}=(gt{)}^{\prime }=g=9,8(m/s^2)$

Bài tập (trang 174 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 174 sgk Đại số và Giải tích 11: 

a. Cho $f(x)=(x+10{)}^6$. Tính $f“(2)$.

b. Cho $f(x)=\sin 3x$. Tính $f“\left(-\frac{\pi }{2}\right)$, $f“(0)$, $f“\left(\frac{\pi }{18}\right)$.

Phương pháp giải:

Lần lượt tính đạo hàm, đạo hàm cấp hai của hàm số. Từ đó thay số và suy ra đạo hàm cấp hai tại giá trị cần tính.

Lời giải:

a.

Ta có:

$f^{\prime }(x)=6(x+10{)}^{\prime }.(x+10{)}^5=6.(x+10{)}^5$

$f“(x)=6.5(x+10{)}^{\prime }.(x+10{)}^4=30.(x+10{)}^4$

$\Rightarrow f^{″}(2)=30.(2+10{)}^4=622080$

b.

Ta có:

$f^{\prime }(x)=(3x{)}^{\prime }.\cos 3x=3\cos 3x$,

$f“(x)=3.[-(3x{)}^{\prime }.\sin 3x]=-9\sin 3x$

$\Rightarrow f“(-\frac{\pi }{2})=-9\sin \left(-\frac{3\pi }{2}\right)=-9;$

$f“(0)=-9sin0=0$;

$f“\left(\frac{\pi }{18}\right)=-9\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{9}{2}$.

Bài 2 trang 174 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a. $y=\frac{1}{1-x}$

b.  $y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

c. $y=\tan x$

d. $y={\cos }^{2}x$

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.

Lời giải:

a.

$\begin{array}{l}y=\frac{1}{1-x}\\ \Rightarrow y^{\prime }=\frac{-{\left(1-x\right)}^{\prime }}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{-(-1)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{1}{{\left(1-x\right)}^2}\\ \Rightarrow y^{″}=-\frac{{\left[{\left(1-x\right)}^2\right]}^{\prime }}{{\left(1-x\right)}^4}\\ =-\frac{2\left(1-x\right)\left(-1\right)}{{\left(1-x\right)}^4}=\frac{2}{{\left(1-x\right)}^3}\end{array}$

b. $\begin{array}{l}y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\\ \Rightarrow y^{\prime }=-\frac{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2}=-\frac{\frac{{\left(1-x\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\\ =-\frac{\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}=\frac{1}{2{\left(\sqrt{1-x}\right)}^3}\\ \Rightarrow y^{″}=\frac{1}{2}.\frac{-{\left[{\left(\sqrt{1-x}\right)}^3\right]}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^6}\\ =-\frac{1}{2}.\frac{3{\left(\sqrt{1-x}\right)}^2.{\left(\sqrt{1-x}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{1-x}\right)}^6}\\ =-\frac{3\left(1-x\right).\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{2{\left(\sqrt{1-x}\right)}^6}=\frac{3}{4{\left(\sqrt{1-x}\right)}^5}\end{array}$

c.

$\begin{array}{l}y=\tan x\\ \Rightarrow y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ \Rightarrow y^{″}=-\frac{{\left({\cos }^{2}x\right)}^{\prime }}{{\cos }^{4}x}=-\frac{2\cos x{\left(\cos x\right)}^{\prime }}{{\cos }^{4}x}\\ =\frac{2\cos x\sin x}{{\cos }^{4}x}=\frac{2\sin x}{{\cos }^{3}x}\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{l}y=\tan x\\ y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x\\ y^{″}={\left(1+{\tan }^{2}x\right)}^{\prime }\\ =2\tan x{\left(\tan x\right)}^{\prime }\\ =2\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{2\tan x}{{\cos }^{2}x}\end{array}$

d.  $\begin{array}{l}y={\cos }^{2}x\\ \Rightarrow y^{\prime }=2\cos x{\left(\cos x\right)}^{\prime }\\ =-2\cos x\sin x=-\sin 2x\\ \Rightarrow y^{″}=-(2x{)}^{\prime }\cos 2x=-2\cos 2x\end{array}$

Lý thuyết Bài Đạo hàm cấp 2

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$.

+)  Nếu hàm số $f^{\prime }\left(x\right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left(x\right)$, kí hiệu là $f^{″}\left(x\right)$.

+) Đạo hàm cấp $n\left(n\in N,n\ge 2\right)$ của hàm số $y=f\left(x\right)$ là đạo hàm của hàm số $f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)$.

Kí hiệu: $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ hay $y^{\left(n\right)}$: 

Tức là $f^{\left(n\right)}\left(x\right)={\left[f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\right]}^{\prime }$

Đặc biệt: $f^{(0)}\left(x\right)=f\left(x\right)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S=s\left(t\right)$.

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0$ là: $v\left(t_0\right)=S^{\prime }\left(t_0\right)$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t_0$ là: $a\left(t_0\right)=S^{″}\left(t_0\right)$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) ${\left(\sin x\right)}^{\left(n\right)}=\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

+) ${\left(\cos x\right)}^{\left(n\right)}=\cos \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$

+) Nếu $n\le m$ thì ${\left(x^m\right)}^{\left(n\right)}=m\left(m-1\right)...\left(m-n+1\right).x^{m-n}$

+) Nếu $n>m$ thì ${\left(x^m\right)}^{\left(n\right)}=0$.

$\begin{array}{l}+)y=\sin \left(ax+b\right)\\ \Rightarrow y^{\left(n\right)}=a^n\sin \left(ax+b+\frac{n\pi }{2}\right)\\ +)y=\cos \left(ax+b\right)\\ \Rightarrow y^{\left(n\right)}=a^n\cos \left(ax+b+\frac{n\pi }{2}\right)\\ +)y=\frac{1}{ax+b}\\ \Rightarrow y^{\left(n\right)}=\frac{{\left(-1\right)}^n.n!.a^n}{{\left(ax+b\right)}^{n+1}}\\ +)y=\sqrt[m]{ax+b}\\ \Rightarrow y^{\left(n\right)}=\frac{1}{m}.\left(\frac{1}{m}-1\right)...\left(\frac{1}{m}-n+1\right).a^n.{\left(ax+b\right)}^{\frac{1}{m}-n}\end{array}$