Giải Toán 11 Bài 4: Vi phân

Giải bài tập Toán 11 Bài 4: Vi phân

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 170 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x},x_0=4$ và $\Delta x=0,01$. Tính $f^{\prime }(x_0)\Delta x$.
Phương pháp giải:

Tính $f^{\prime }(x)$, suy ra $f^{\prime }(x_0)$ và $f^{\prime }(x_0)\Delta x$.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\\ & \Rightarrow f^{\prime }(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\\ & \Rightarrow f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{4}.0,01=0,0025\end{array}$

Bài tập (trang 171 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 171 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a. $y=\frac{\sqrt{x}}{a+b}$ ($a,b$ là hằng số);

b. $y=(x^2+4x+1)(x^2-\sqrt{x})$.

Phương pháp giải:Sử dụng công thức tính vi phân: $dy=df\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)dx$

Lời giải:

a.

$\begin{array}{l}dy=d\left(\frac{\sqrt{x}}{a+b}\right)={\left(\frac{\sqrt{x}}{a+b}\right)}^{\prime }dx\\ =\frac{1}{a+b}{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }dx\\ =\frac{1}{a+b}.\frac{1}{2\sqrt{x}}dx\\ \Rightarrow dy=\frac{1}{2\left(a+b\right)\sqrt{x}}dx\end{array}$

b. 

$\begin{array}{l}dy=d\left[\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)\right]\\ \Rightarrow dy={\left[\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)\right]}^{\prime }dx\\ =\left[{\left(x^2+4x+1\right)}^{\prime }\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right){\left(x^2-\sqrt{x}\right)}^{\prime }\right]dx\\ =\left[\left(2x+4\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right]dx\end{array}$

Bài 2 trang 171 sgk Đại số và Giải tích 11: Tìm $dy$, biết:

a. $y={\tan }^{2}x$

b. $y=\frac{\cos x}{1-x^2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính vi phân: $dy=df\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)dx$

Lời giải:

a.

$\begin{array}{l}dy=d\left({\tan }^{2}x\right)={\left({\tan }^{2}x\right)}^{\prime }dx\\ =\left[2\tan x{\left(\tan x\right)}^{\prime }\right]dx\\ =2\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx\\ =\frac{2\tan x}{{\cos }^{2}x}dx\end{array}$

b. 

$\begin{array}{l}dy=d\left(\frac{\cos x}{1-x^2}\right)\\ \Rightarrow dy={\left(\frac{\cos x}{1-x^2}\right)}^{\prime }dx\\ dy=\frac{{\left(\cos x\right)}^{\prime }\left(1-x^2\right)-\cos x{\left(1-x^2\right)}^{\prime }}{{\left(1-x^2\right)}^2}dx\\ dy=\frac{-\sin x\left(1-x^2\right)+2x\cos x}{{\left(1-x^2\right)}^2}dx\end{array}$

Lý thuyết Bài Vi phân

Định nghĩa

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $(a;b)$ và có đạo hàm tại $x\in (a;b)$.

+) Kí hiệu: $∆x$ là số gia của $x$, sao cho $x+∆x\in (a;b)$.

+) Ta gọi $f^{\prime }(x).∆x$ (hay $y^{\prime }.∆x$) là vi phân của hàm số $y=f(x)$ tại $x$ ứng với số gia $∆x$.

Kí hiệu là $df(x)$ hay $dy$.

Công thức:  $dy=df(x)=f^{\prime }(x)∆x$

Chú ý:

+ Nếu $y=x$, ta có: $dx=dy=(x{)}^{\prime }.∆x=1.∆x=∆x$ 

+ Do đó với mọi hàm số $y=f(x)$, ta có: $dy=df(x)=f^{\prime }(x)∆x=f^{\prime }(x)dx$