Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời hoạt động 1 trang 135 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hai hàm số f(x) = x2 và $g(x)=\{\begin{array}{c}-x^2+2;x\le -1\hfill \\ 2;-1<x<1\hfill \\ -x^2+2;x\ge 1\hfill \end{array}$ có đồ thị như hình 55

a. 

Tính giá trị của mỗi hàm số tại $x=1$ và so sánh với giới hạn (nếu có) của hàm số đó khi $x\to 1$

b. Nêu nhận xét về đồ thị của mỗi hàm số tại điểm có hoành độ x=1

a.

Phương pháp giải:

Thay $x=1$ vào lần lượt hai hàm số và tính giá trị.

Lời giải:

$f(1)=1^2=1=\underset{x\to 1}{lim}f(x)$

Vì $x=1$ nên $g(1)=-1^2+1=-1+1=0$

Lại có: $\underset{x\to 1^{+}}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(-x^2+2\right)=1$ và $\underset{x\to 1^{-}}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(2\right)=2$ nên $\underset{x\to 1^{-}}{lim}g\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{+}}{lim}g\left(x\right)$ và không tồn tại giới hạn 

b.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải:

Đồ thị hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$

Đồ thị hàm số $g(x)$ gián đoạn tại $x=1$

Trả lời hoạt động 2 trang 138 sgk Đại số và Giải tích 11:Trong biểu thức xác định h(x) cho ở Ví dụ 2, cần thay số 5 bởi số nào để được một hàm số mới liên tục trên tập số thực R ?
Phương pháp giải:

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì nó phải liên tục tại $x=1$ hay $\underset{x\to 1}{lim}h\left(x\right)=h\left(1\right)$

Lời giải:

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì nó phải liên tục tại $x=1$ hay $\underset{x\to 1}{lim}h\left(x\right)=h\left(1\right)$ $\iff h\left(1\right)=2$.

Vậy cần thay số $5$ bằng số $2$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Trả lời hoạt động 3 trang 138 sgk Đại số và Giải tích 11: Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ với $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu nhau.

Hỏi đồ thị của hàm số có cắt trục hoành tại điểm thuộc khoảng $(a;b)$ không?

⦁ Bạn Hưng trả lời rằng: “Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ phải cắt trục hoành $Ox$ tại một điểm duy nhất nằm trong khoảng $(a;b)$”.

⦁ Bạn Lan khẳng định: “Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ phải cắt trục hoành $Ox$ ít nhất tại một điểm nằm khoảng $(a;b)$”.

⦁ Bạn Tuấn thì cho rằng: “Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ có thể không cắt trục hoành trong khoảng $(a;b)$, chẳng hạn như đường parabol ở hình (h.58).

 

 

Câu trả lời của bạn nào đúng, vì sao?

Lời giải:

– Bạn Lan nói đúng vì $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu nên tồn tại ít nhất 1 giá trị $x$ sao cho $f(x)=0$, do đó đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm.

– Bạn Hưng sai vì có thể có 2 giá trị x sao cho $f(x)=0$

– Đường parabol trên hình 58 là đồ thị hàm số $y^2=x$ ⇒ đồ thị hàm số $y=f(x)$ sẽ là 1 nửa nằm trên hoặc 1 nửa nằm dưới trục hoành

Khi đó $f(a)$ và $f(b)$ cùng dấu, mâu thuẫn với điều kiện $f(a)$ và $f(b)$ trái dấu

Ví dụ của Tuấn sai.

Trả lời hoạt động 4 trang 139 sgk Đại số và Giải tích 11:Hãy tìm hai số a và b thỏa mãn 1 < a < b < 2, sao cho phương trình trong Ví dụ 3 ở trên có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Phương pháp giải:
Chọn hai giá trị bất kì thuộc khoảng $(1;2)$ và kiểm tra tích hai giá trị của chúng, nếu được kết quả nhỏ hơn $0$ thì đó là hai điểm cần tìm.

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=x^3+2x-5$.

Chọn $a=\frac{5}{4},b=\frac{7}{4}$ thỏa mãn $1<a<b<2$.

Ta thấy: $f\left(\frac{5}{4}\right)=-\frac{35}{64}<0,$ $f\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{247}{64}>0$ nên $f\left(\frac{5}{4}\right).f\left(\frac{7}{4}\right)<0$.

Vậy trong khoảng $\left(\frac{5}{4};\frac{7}{4}\right)$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm

Bài tập (trang 140, 141 sgk Đại số và Giải tích 11)
Bài 1 trang 140 sgk Đại số và Giải tích 11: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x³ + 2x – 1 tại x₀ = 3.
Phương pháp giải:

Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ liên tục tại $x_0\in D$

$\iff \underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

Hàm số $f(x)=x^3+2x-1$ xác định trên $\mathbb{R}$ và $x_0=3\in \mathbb{R}$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=3^3+2.3-1=32\\ f\left(3\right)=3^3+2.3-1=32\end{array}$ $\Rightarrow \underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=f\left(3\right)$.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm $x_0=3$.

Bài 2 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: 
a. Xét tính liên tục của hàm số $y=g(x)$ tại $x_0=2$, biết 

$$g(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^3-8}{x-2};& x\ne 2\\ 5;& x=2\end{array}$$

b. Trong biểu thức xác định g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại x₀ = 2.

a.

Phương pháp giải:

Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ liên tục tại $x_0\in D$

$\iff \underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^3-8}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\left(x^2+2x+4\right)\\ =2^2+\mathrm{2.2.}+4=12\\ g\left(2\right)=5\\ \Rightarrow \underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)\ne g\left(2\right)\end{array}$

Vì $\underset{x\to 2}{lim}g(x)\ne g(2)$ nên hàm số $y=g(x)$ gián đoạn tại $x_0=2$.

b.
Lời giải:
Để hàm số y = g(x) liên tục tại x0 = 2 $\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }g \left(x\right)=g \left(2\right) = 12\Rightarrow$ta cần thay số 5 bởi số 12.

Bài 3 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số

$f(x)=\{\begin{array}{cc}3x+2;& x<-1\\ x^2-1& x\ge -1\end{array}$

a. Vẽ đồ thị của hàm số $y=f(x)$. Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 

b. Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh. 

a.

Phương pháp giải:

Khi $x<-1$, vẽ đường thẳng $y=3x+2$.

    Khi $x\ge -1$, vẽ parabol $y=x^2-1$.

Lưu ý: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Nhận xét về tính liên tục của hàm số (Đồ thị hàm số có bị gãy khúc tại điểm nào không?)

Lời giải:

Khi $x<-1$, đồ thị hàm số là đường thẳng $y=3x+2$, khi $x\ge -1$ đồ thị hàm số là parabol $y=x^2-1$.

Đồ thị hàm sốl y = f(x) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại x₀ = -1. Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng $\left(–\infty ;–1\right)$và $\left(–1;+\infty \right)$
b.

Phương pháp giải:

Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm $x_0\iff \underset{x\to x_0}{\lim }f \left(x\right)=f \left(x_0\right)$ 

Lời giải:

+) Nếu x < -1: f(x) = 3x + 2 liên tục trên $\left(–\infty ;–1\right)$ (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Nếu x > -1: f (x) = x² -1 liên tục trên ($–1;+\infty$) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1;

Ta có 

Vì  nên không tồn tại .

Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = -1.

 
Bài 4 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: Cho hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x^2+x-6}$ và $g\left(x\right)=\tan x+\sin x$

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục.

Phương pháp giải:

Hàm phân thức, hàm lượng giác liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

Lời giải:

+) Hàm số $f(x)=\frac{x+1}{x^2+x-6}$ xác định khi và chỉ khi:

$x^2+x-6\ne 0\iff \{\begin{array}{l}x\ne -3\\ x\ne 2\end{array}$ $\Rightarrow D=R\mathrm{\setminus }\left\{-3;2\right\}$

Hàm số $f(x)$ là hàm phân thức nên liên tục trên các khoảng xác định.

Vậy f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty ;-3),(-3;2)$ và $(2;+\infty )$

+) Hàm số $g\left(x\right)=\tan x+\sin x$ xác định khi và chỉ khi 

$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Hàm số $g(x)$ là hàm lượng giác nên liên tục trên các khoảng xác định.

Vậy g(x) liên tục trên các khoảng $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi )$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Bài 5 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: Ý kiến sau đúng hay sai ?

“Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ còn hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại $x_0$ thì $y=f(x)+g(x)$ là một hàm số không liên tục tại $x_0$” 

Phương pháp giải:

Chứng minh phản chứng: giả sử ngược lại hàm số $y=f(x)+g(x)$ là hàm số liên tục tại $x_0$, chứng minh điều này là vô lý.

Lời giải:

Đúng, vì:

Giả sử ngược lại: hàm số $y=f(x)+g(x)$ liên tục tại $x_0$.

Đặt $h(x)=f(x)+g(x)$ liên tục tại $x=x_0$.

$\Rightarrow g(x)=h(x)-f(x)$.

Vì $y=h(x)$ và $y=f(x)$ liên tục tại $x_0$ $\Rightarrow h\left(x\right);-f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0$.

Theo giả sử ta có hàm số $h\left(x\right)+\left(-f\left(x\right)\right)=h\left(x\right)-f\left(x\right)=g\left(x\right)$ phải liên tục tại $x_0$. Điều này trái với giả thiết.

Vậy giả sử ban đầu sai, tức là $y=f(x)+g(x)$ không liên tục tại $x_0$

Bài 6 trang 141 sgk Đại số và Giải tích 11: Chứng minh rằng phương trình:

a) $2x^3-6x+1=0$ có ít nhất hai nghiệm;

b) $\cos x=x$ có nghiệm.

Phương pháp giải:

– Xét các hàm số vế trái của phương trình.

– Tìm hai điểm bất kì và tính tích các giá trị của hàm số tại hai điểm đó.

+ Nếu tích nhỏ hơn $0$ thì ta kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng hai giá trị ấy.

+ Nếu tích lớn hơn $0$ thì ta không kết luận gì và tìm giá trị khác để tính.

Lời giải:

a) Xét hàm số $f(x)=2x^3-6x+1$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

$f\left(0\right)={2.0}^3-6.0+1=1;$

$f\left(1\right)={2.1}^3-6.1+1=-3;$

$f\left(-2\right)=2.{\left(-2\right)}^3-6.\left(-2\right)+1=-3$

+) $f\left(0\right).f\left(1\right)=1.\left(-3\right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm $x_0\in (0;1)$.

+) $f\left(0\right).f\left(-2\right)=1.\left(-3\right)<0$ nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm $x_1\in (-2;0)$.

Mà $\left(0;1\right)\cup \left(-2;0\right)=\mathrm{\varnothing }\Rightarrow x_0\ne x_1\Rightarrow$ phương trình $f(x)=0$ có ít nhất hai nghiệm.

b) $\cos x=x\iff \cos x-x=0$

Xét hàm số $g\left(x\right)=\cos x-x$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có:

$g\left(0\right)=\cos 0-0=1-0=1;$

$g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}$

$g\left(0\right).g\left(\frac{\pi }{2}\right)=1.\left(-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}<0$ nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(0;\frac{\pi }{2})$.

Lý thuyết Bài Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục

Định nghĩa. Cho hàm số $y=f(x)$  xác định trên khoảng $K$ và $x_0\in K$. Hàm số $y=f(x)$ đươc gọi là liên tục tại $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

+) Hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

+) Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

+) Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và 
$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a)$; $\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

2. Các định lí

Định lí 1.

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lí 2.

Giả sử $y=f(x)$ và $y=g(x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a) Các hàm số $y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại $x$;

b) Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0)\ne 0$.

Định lí 3.

Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a).f(b)<0$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in (a;b)$ sao cho $f(c)=0$.

Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồ tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn được phát triển dưới dạng khác như sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a).f(b)<0$. Khi đó phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(a;b)$.