Chuyên đề Xác suất 2023 hay, chọn lọc

Chuyên đề Xác suất

Phần 1: Cách xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau

Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.

Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

A: ” 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”

B: ” 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”

C: ” 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”

Đáp án và hướng dẫn giải

1.

2. Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là:

Suy ra: n(Ω)=4095

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là:

Suy ra :

Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là:

Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:

Số cách lấy 4 viên bị có đủ ba màu là:

Suy ra n(C)=5859

Bài 2: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi A_k là các biến cố ” xạ thủ bắn trúng lần thứ k” với k = 1,2,3,4. Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A₁, A₂, A₃, A₄

A: “Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’

B: “Bắn trúng bia ít nhất một lần’’

C: ” Chỉ bắn trúng bia hai lần’’

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta có: Giả sử  là biến cố lần thứ k (k = 1,2,3,4) bắn không trúng bia.

Do đó:

với i,k,k,m ∈ {1,2,3,4} và đôi một khác nhau.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét phép thử tung con súc sắc 6 mặt hai lần. Tính số phần tử của:

1. Xác định không gian mẫu

2. Các biến cố:

A:” số chấm xuất hiện ở cả hai lần tung giống nhau”

B:” Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần tung chia hết cho 3″

C: ” Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần hai”.

Lời giải:

1. Không gian mẫu gồm các bộ (i,j) trong đó i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}

i nhận 6 giá trị, j cũng nhận 6 giá trị nên có 6.6=36 bộ (i,j)

Vậy Ω={(i,j)│i,j=1,2,3,4,5,6} và n(Ω)=36 .

2. Ta có: A={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}, n(A)=6

Xét các cặp (i,j) với i,j ∈ {1,2,3,4,5,6} mà i+j chia hết cho 3

Ta có các cặp có tổng chia hết cho 3 là (1,2);(1,5);(2,4);(3,3);(3,6);(4,5)

Hơn nữa mỗi cặp (trừ cặp (3,3)) khi hoán vị ta được một cặp thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy n(B) = 11.

Số các cặp i,j (i > j) là (2,1);(3,1);(3,2);(4,1);(4,2);(4,3);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(6,1);(6,2);(6,3);(6,4),(6,5).

Vậy n(C) = 15.

Bài 2: Gieo một đồng tiền 5 lần. Xác định và tính số phần tử của

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

A: ” Lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa”

B: ” Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”

C: ” Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa”

Lời giải:

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

A: ” 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”

B: ” 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”

Lời giải:

Bài 3: Có 100 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên 5 thẻ. Tính số phần tử của:

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

A: ” Số ghi trên các tấm thẻ được chọn là số chẵn”

B: ” Có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 3″.

Lời giải:

1.

2. Trong 100 tấm thẻ có 50 tấm được ghi các số chẵn, do đó

Từ 1 đến 100 có 33 số chia hết cho 3. Do đó, số cách chọn 5 tấm thẻ mà không có tấm thẻ nào ghi số chia hết cho 3 là: 

Vậy 

Bài 4: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của:

1. Không gian mẫu

2. Các biến cố:

A: ” 4 viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng”

B: ” 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”

Lời giải:

1.

2. Số cách chọn 4 viên bi có đúng hai viên bị màu trắng là:

Suy ra: n(A)=4095.

Số cách lấy 4 viên bi mà không có viên bi màu đỏ được chọn là: 

Suy ra : 

Số cách lấy 4 viên bi chỉ có một màu là:

Số cách lấy 4 viên bi có đúng hai màu là:

Phần 2: Cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

♦ Tính xác suất theo thống kê ta sử dụng công thức:

♦ Tính xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển ta sử dụng công thức :

Ví dụ minh họa

Bài 1: Bộ bài tú – lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố:

A: “Rút ra được tứ quý K ‘’

B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”

C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là:

Suy ra n(Ω ) = 270725

Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có n(A)=1

Vậy P(A) = 1 /270725

Vì có  cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào

Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó số quân bích không ít hơn 2 là:

Bài 2: Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:

1. 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

2. 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.

Đáp án và hướng dẫn giải

Gọi biến cố A :” 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”

B : “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”

Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là:

1. Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là:

Do đó:

2. Ta có:

Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu:

Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu

Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:

Do đó: |Ω_B | = 860. Vậy:

Bài 3: Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3, . . . ,80

1. Tính xác suất của biến cố A : “trong 3 số đó có và chỉ có 2 số là bội số của 5”

2. Tính xác suất của biến cố B : “trong 3 số đó có ít nhất một số chính phương”

Đáp án và hướng dẫn giải

Số cách chọn 3 số từ 80 số là:

1. Từ 1 đến 80 có số chia hết cho 5 và có số không chia hết cho 5.

Do đó:

2. Từ 1 đến 80 có 8 số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,64.

Số cách chọn 3 số không có số chính phương nào được chọn là: 

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Gieo con súc sắc 100 lần, kết quả thu được ghi ở bảng sau

Số chấm	Số lần xuất hiện
1	14
2	18
3	30
4	12
5	14
6	12

Hãy tìm xác suất của các biến cố

A: “mặt sáu chấm xuất hiện”

B: ” mặt hai chấm xuất hiện”

C: ” một mặt lẻ xuất hiện”

Lời giải:

Xem việc tung con súc sắc là một phép thử ngẫu nhiên

Số lần thực hiện phép thử: N=100

Số lần xuất hiện của biến cố A: 12

Suy ra : P(A)= 12/ 100= 3/ 25

Số lần xuất hiện của biến cố B: 18

Suy ra P(B)= 18/ 100= 9/ 50

Số lần xuất hiện của biến cố C:

Suy ra P(C)= 58/ 100= 29/ 50.

Bài 2: Trong một chiếc hộp có 7 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ và 10 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 6 viên bi

1. Tính số phần tử của không gian mẫu

2. Tính xác suất của các biến cố sau

A: ” 6 viên bi lấy ra cùng một màu”

B: ” có ít nhất một viên bi màu vàng”

C: ” 6 viên bi lấy ra có đủ ba màu”

Lời giải:

1. Ta có:

2. Ta có:

Ta có:

Ta có: Số cách lấy 6 viên bi cùng một màu: 245 cách

Số cách lấy 6 viên bi gồm hai màu:

Suy ra n(C)=177100-35455-245=141400. Vậy P(C)=202/253.

Bài 3: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ .Tính xác suất để trong sấp bài chứa hai bộ đôi ( hai con cùng thuộc 1 bộ ,hai con thuộc bộ thứ 2,con thứ 5 thuộc bộ khác )

Lời giải:

Bài 4: Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu học thuộc.

Lời giải:

Bài 5: Một đoàn tàu có 7 toa ở một sân ga. Có 7 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau và chọn một toa một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau

A: ” Một toa 1 người, một toa 2 người, một toa có 4 người lên và bốn toa không có người nào cả”

B: ” Mỗi toa có đúng một người lên”.

Lời giải:

Số cách lên toa của 7 người là:.|Ω|=7⁷

1. Tính P(A)=?

Ta tìm số khả năng thuận lợi của A như sau

2. Tính P(B)=?

Mỗi một cách lên toa thỏa yêu cầu bài toán chính là một hoán vị của 7 phần từ nên ta có: |Ω_B |=7!

Phần 3: Các quy tắc tính xác suất hay, chi tiết

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

♦ Mở rộng quy tắc cộng xác suất

Cho k biến cố A₁,A₂,A₃…..A_k đôi một xung khắc. Khi đó:

        P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃….. ∪ A_k )=P(A₁ )+P(A₂)+…+P(A_k )

♦ P()=1-P(A)

♦ Giả sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử.

Lúc đó: P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

2. Quy tắc nhân xác suất

♦ Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

♦ Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(A.B)=P(A).P(B)

Bài toán 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng

Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.

♦ P(A ∪ B)=P(A)+P(B) với A và B là hai biến cố xung khắc

♦ P()=1-P(A)

Bài toán 02: Tính xác suất bằng quy tắc nhân

Phương pháp:

Để áp dụng quy tắc nhân ta cần:

♦ Chứng tỏ A và B độc lập

♦ Áp dụng công thức: P(A.B)=P(A).P(B)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta sử dụng quy tắc cộng để giải bài toán

Gọi A_i là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i=1,2,3,4,5,6)

Ta có P(A₁ )=P(A₂)=P(A₃ )=P(A₅ )=P(A₆ )=1/3 P(A₄ )=x

 

⇒ 5x + 3x = 1 ⇒ x = 1/8

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A=A₂ ∪ A₄ ∪ A₆

Vì các biến cố xung khắc nên: P(A)=P(A₂)+P(A₄ )+P(A₆ )=1/8+3/8+1/8=5/8.

Bài 2: Hai cầu thủ sút phạt đền .Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7.Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán

Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn

B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn

X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn

Bài 3: Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn An làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Hỏi Anh có khả năng được bao nhiêu điểm?

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta sử dụng quy tắc nhân để giải bài toán

An làm đúng 12 câu nên có số điểm là 12.0,5=6

Xác suất đánh hú họa đúng của mỗi câu là 1/4, do đó xác suất để An đánh đúng 8 câu còn lại là: (1/4)⁸

Vì 8 câu đúng sẽ có số điểm 8.0,5=4

Nên số điểm có thể của An là: 6+1/4⁸ .4.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi cùng màu”

Lời giải:

Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 viên đỏ” ; X: “lấy được 2 viên xanh” ;

V: “lấy được 2 viên vàng”

Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và C = D ∪ X ∪ V

Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7”

Lời giải:

Ta có : n(Ω)=2⁵

Gọi A: “lấy được vé không có chữ số 2”

B: “lấy được vé số không có chữ số 7”

Suy ra n(A)=n(B)=9⁵ ⇒ P(A)=P(B)=0.9⁵

Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 7 là: 8⁵, suy ra n(A ∩ B)=8⁵

⇒ P(A ∩ B)=0.8⁵

Do X=A ∪ B ⇒ P(X)=P(A)+P(B)-P(A ∪ B)=0.8533.

Bài 3: Cho ba hộp giống nhau, mỗi hộp 7 bút chỉ khác nhau về màu sắc

Hộp thứ nhất : Có 3 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh , 2 bút màu đen

Hộp thứ hai : Có 2 bút màu đỏ, 2 màu xanh, 3 màu đen

Hộp thứ ba : Có 5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen

Lấy ngẫu nhiên một hộp, rút hú họa từ hộp đó ra 2 bút

Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được hai bút màu xanh”

Tính xác suất của xác suất B: “Lấy được hai bút không có màu đen

Lời giải:

Gọi X_i là biến cố rút được hộp thứ i , i = 1,2,3 suy ra P(X_i) = 1/3

Gọi A_i là biến cố lấy được hai bút màu xanh ở hộp thứ i, i = 1,2,3

Gọi B_i là biến cố rút hai bút ở hộp thứ i không có màu đen.

Bài 4: Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,8; người thứ hai bắn trúng bia là 0,7. Hãy tính xác suất để :

1. Cả hai người cùng bắn trúng ;

2. Cả hai người cùng không bắn trúng;

3. Có ít nhất một người bắn trúng.

Lời giải:

1. Gọi A₁ là biến cố ” Người thứ nhất bắn trúng bia”

A₂ là biến cố ” Người thứ hai bắn trúng bia”

Gọi A là biến cố “cả hai người bắng trúng”, suy ra A = A₁ ∩ A₂

Vì A₁, A₂ là độc lập nên P(A) = P(A₁)P(A₂) = 0.8.0.7 = 0.56

2. Gọi B là biến cố “Cả hai người bắn không trúng bia”.

3. Gọi C là biến cố “Có ít nhất một người bắn trúng bia”, khi đó biến cố đối của B là biến cố C.

Do đó P(C) = 1 – P(D) = 1 – 0. 06 = 0.94.

Bài 5: Có hai xạ thủ I và xạ tám xạ thủ II .Xác suất bắn trúng của I là 0,9 ; xác suất của II là 0,8 lấy ngẫu nhiên một trong hai xạ thủ, bắn một viên đạn .Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích.

Lời giải:

Gọi B₁ là biến cố “Xạ thủ được chọn lọai ,i=1,2

A là biến cố viên đạn trúng đích . Ta có:

P(B₁) = 0.2, P(B₂) = 0.8 và P(A/B₁) = 0.9. P(A/B₂) = 0.8

Nên P(A) = P(B₁) . P(A/B₁) + P(B₂) . P(A/B₂) = 0.2.0.9 + 0.8.0.8 = 0.82

Phần 4: Cách giải bài tập về Hai qui tắc đếm cơ bản cực hay, chi tiết

1. Hai quy tắc đếm cơ bản

a) Quy tắc cộng

● Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc

B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

● Công thức quy tắc cộng:

Nếu các tập A₁, A₂, A₃,…., A_n đôi một rời nhau. Khi đó

|A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ … ∪ A_n⁡ | = |A₁| + |A₂| + |A₃| + …. + |A_n|

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trường THPT Bắc Đông Quan cần cử một học sinh đi tham dự đại hội đoàn cấp huyện. Nhà trường quyết định chọn một học sinh giỏi trong lớp 11A hoặc lớp 11K. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, biết rằng lớp 11A có 10 học sinh giỏi và lớp 11K có 15 học sinh giỏi?

Hướng dẫn

Nhà trường có hai phương án chọn.

– Phương án thứ nhất là chọn một học sinh giỏi trong lớp 11A, phương án này có 10 cách chọn (do lớp 11A có 10 bạn học sinh giỏi).

– Phương án thứ hai là chọn một học sinh trong lớp 11K, phương án hai này có 15 cách chọn (do lớp 11K có 15 học sinh giỏi).

Áp dụng quy tắc cộng, vậy nhà trường có: 10 + 15 = 25 cách chọn.

Ví dụ 2. Đi từ thủ đô Hà Nội đến thành phố Đà Nẵng có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa và máy bay. Biết rằng có 20 chuyến xe ô tô, 10 chuyến tàu hỏa và 5 chuyến máy bay khởi hành. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thủ đô Hà Nội đến thành phố Đà Nẵng.

Hướng dẫn

C. ba phương án để chọn phương tiện đi từ Hà Nội đến Đà Nẵng là: ô tô, tàu hỏa và máy bay.

+ Có 20 cách chọn để đi bằng xe ô tô (có 20 chuyến xe ô tô)

+ Có 10 cách chọn để đi bằng tàu hỏa (có 10 chuyến tàu hỏa)

+ Có 5 cách chọn để đi bằng máy bay (có 5 chuyến máy bay)

Vậy có tất cả: 20 + 10 + 5 = 35 cách chọn.

b) Quy tắc nhân

● Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và

B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

● Công thức quy tắc nhân:

Nếu các tập A₁, A₂, A₃,…., A_n đôi một rời nhau. Khi đó

|A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ … ∩ A_n| = |A₁|.|A₂|.|A₃|…|A_n|

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Minh muốn qua nhà Kiên để cùng Kiên qua nhà Nam chơi. Từ nhà Minh đến nhà Kiên có 5 con đường đi, từ nhà Kiên tới nhà Nam có 8 con đường đi. Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Nam.

Hướng dẫn

Với mỗi cách đi từ nhà Minh đến nhà Kiên sẽ có 8 cách đi tiếp tới nhà Nam. Vì có 5 cách đi từ nhà Minh đến nhà Kiên, do đó theo quy tắc nhân, có tất cả 5.8 = 40 cách đi từ nhà Minh đến nhà Nam.

Ví dụ 2. Biển số xe máy của thành phố Hà Nội (không kể mã thành phố) có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái Tiếng Anh), kí tự thứ hai là một số thuộc tập {1; 2; 3…; 9}, mỗi kí tự ở 4 vị trí tiếp theo thuộc tập {0; 1; 2; 3…; 9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số thành phố thì thành phố Hà Nội có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Hướng dẫn

+ Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên. (vì có 26 chữ cái).

+ Tương tự có 9 cách chọn cho vị trí thứ hai (tập {1; 2; 3…; 9} có 9 số)

+ Có 10 cách chọn số cho mỗi vị trí trong 4 vị trí sau (tập {0; 1; 2; 3…; 9} có 10 số)

Theo quy tắc nhân, vậy có 26.9.10.10.10.10 = 2340000 (biển số xe).

2. Một số dạng bài toán đếm cơ bản

a) Dạng 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

● Phương pháp:

– Sử dụng các quy tắc cộng và quy tắc nhân.

– Sử dụng các kiến thức liên quan đến số tự nhiên: Số chẵn, số lẻ, tính chia hết,…

● Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn.

A. 360

B. 343

C. 523

D. 347

Hướng dẫn

Gọi số cần lập là ; a, b, c, d {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và a, b, c, d khác nhau từng đôi một.

Công việc ta cần thực hiên là lập số x =  thỏa mãn x là số chẵn nên d phải là chữ số chẵn. Do đó để thực hiện công việc này, ta thực hiện qua các công đoạn sau:

+ Chọn d: vì d là số chẵn nên d chỉ có thể là các số 2, 4, 6, nên có 3 cách chọn d

+ Chọn a: vì ta đã chọn d nên a chỉ có thể là một trong các số của tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}\ {a}, vậy a có 6 cách chọn.

+ Chọn b, tương tự, trừ đi a và d, có 5 cách chọn b

+ Tương tự, chọn c có 4 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 3.6.5. 4 = 360 số chẵn

Đáp án A

Ví dụ 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

A. 660

B. 432

C. 679

D. 523

Hướng dẫn

Nhắc lại kiến thức: số chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 và 5.

Gọi số cần tìm , (a; b; c; d; e {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; a ≠ 0) và a, b, c, d, e khác nhau từng đôi một.

TH1: e = 0, e có 1 cách chọn

a, b, c, d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Chọn a, có 6 cách chọn

Chọn b có 5 cách chọn

Chọn c có 4 cách chọn

Chọn d có 3 cách chọn

Theo quy tắc nhân, vậy có: 1.6.5.4.3 = 360 số

TH2: e = 5, có 1 cách chọn e

a ∈ {1, 2, 3, 4, 6}, a có 5 cách chọn

b, c, d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {a}, suy ra b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn và d có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân vậy có: 1.5.5.4.3 = 300 số

Áp dụng quy tắc cộng ta có tất cả: 360 + 300 = 660 số.

Đáp án A

Ví dụ 3. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau và mỗi số có các chữ số khác nhau:

A. 15

B. 20

C. 72

D. 36

Hướng dẫn

TH1: Lập số có 1 chữ số, có 3 số là 1, 2 và 3

TH2: Lập số có hai chữ số và mỗi số có các chữ số khác nhau

Gọi số đó là , (a, b ∈ {1; 2; 3} và a ≠ b)

+ Chọn a: a ∈ {1; 2; 3}, a có 3 cách chọn

+ Chọn b: b ∈ {1; 2; 3} \ {a}, b có 2 cách chọn

Theo quy tắc nhân, vậy có 3.2 = 6 số có hai chữ số khác nhau

TH3: Lập số có ba chữ số và mỗi chữ số khác nhau

Gọi số đó là , (a, b, c ∈ {1; 2; 3} và a ≠ b ≠ c)

+ Chọn a: a∈{1; 2; 3} , a có 3 cách chọn

+ Chọn b: b∈{1; 2; 3}\{a}, b có 2 cách chọn

+ Chọn c: c∈{1; 2; 3}\{a; b}, c có 1 cách chọn

Theo quy tắc nhân, vậy có 3.2.1 = 6 số có ba chữ số khác nhau

Theo quy tắc cộng, vậy có tất cả: 3 + 6 + 6 = 15 số

Đáp án A

b) Dạng 2: Đếm một số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

● Phương pháp giải: Sử dụng các quy tắc cộng, quy tắc nhân

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong hộp bút có 4 chiếc bút đen, 5 chiếc bút xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 chiếc bút bất kỳ?

A. 20

B. 9

C. 1

D. 5

Hướng dẫn

+ Chọn 1 chiếc bút đen có 4 cách chọn

+ Chọn 1 chiếc bút xanh có 5 cách chọn

Việc chọn bút xanh không ảnh hưởng đến việc vậy theo quy tắc cộng ta có 4 + 5 = 9 cách.

Đáp án B

Ví dụ 2. Một người vào một cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn 1 món ăn trong 5 món ăn khác nhau, 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau, 1 loại đồ uống trong 3 loại đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn 1 thực đơn?

A. 100

B. 13

C. 75

D. 25

Hướng dẫn

+ Người đó chọn 1 món ăn trong 5 món có 5 cách chọn

+ Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 5 loại có 5 cách chọn

+ Chọn 1 loại đồ uống trong 3 loại có 3 cách chọn

Vì việc chọn thực đơn bao gồm các công đoạn là chọn món ăn, tráng miêng và nước uống nên theo quy tắc nhân ta có: 5.5.3 = 75 cách chọn thực đơn.

Đáp án C

Phần 5: Cách giải bài tập qui tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cực hay, chi tiết

I. Hoán vị

a) Định nghĩa hoán vị:

Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.

b) Số các hoán vị:

    P_n = n! = n(n – 1)(n – 2) … 1.

c) Hoán vị vòng quanh

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử: Q_n = (n – 1)!

d) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Lớp 11K có 10 học sinh. Ta muốn sắp xếp thành một hàng ngang thì có bao nhiêu cách xếp?

Hướng dẫn

Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một hàng ngang là một hoán vị của 10.

Vậy ta có tất cả: P₁₀ = 10! = 3628800 cách xếp.

Ví dụ 2. Lớp 11K có 10 học sinh. Ta muốn sắp xếp thành một vòng tròn thì có bao nhiêu cách xếp?

Hướng dẫn

Mỗi cách xếp 10 học sinh của lớp 11K thành một vòng tròn kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của 10.

Vậy ta có tất cả: Q₁₀ = (10 – 1)! = 9! = 362880 cách xếp. 

Ví dụ 3. Trong tủ sách có tất cả 5 quyển sách khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho quyển sách thứ nhất kề quyển sách thứ hai.

Hướng dẫn

+ Chọn hai vị trí liên tiếp trong 5 vị trí gộp lại để xếp quyển thứ nhất và quyển thứ hai kề nhau. Suy ra có 4 vị trí để xếp hai quyển này, vậy có 4 cách.

+ Xếp hai quyển sách thứ nhất và thứ hai, có hai cách xếp (hoán vị cho nhau)

+ Sắp 3 quyển sách còn lại vào 3 vị trí, có 3! cách.

+ Vậy có tất cả: 4. 2. 3! = 8. 6 = 48 cách.

II. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.  

b) Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

Chú ý:

– Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 và k = n

Quy ước: 0! = 1 và A_n⁰ = 1

– Khi k = n thì A_nⁿ = P_n = n! (hoán vị)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xếp 5 người vào mỗi băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (mỗi người ngồi một ghế).

Hướng dẫn

+ Mỗi cách chọn ra 5 chỗ ngồi từ băng ghế 7 chỗ ngồi và xếp 5 người đó vào 5 vị trí ngồi chính là chỉnh hợp chập 5 của 7.

+ Vậy có: A₇⁵ = 2520 cách.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng, cho một tập gồm 7 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vecto khác vecto  có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

Hướng dẫn

+ Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm (A, B) cho ta một vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B và ngược lại. Như vậy, mỗi vecto có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 7 điểm đã cho.

+ Vậy số vecto cần tìm là: A₇² = 42 (vecto).

III. Tổ hợp

a) Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

b) Số các tổ hợp chập k của n phần tử

Lưu ý: Công thức này cũng đúng với k = 0

Quy ước: C_n⁰ = 1 (coi ∅ là tổ hợp chập 0 của tập hợp có n phần tử)

c) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Có 10 cuốn sách khác nhau. Chọn ra 4 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Hướng dẫn

Mỗi cách chọn ra 4 cuốn sách trong 10 cuốn sách là một tổ hợp chập 4 của 10.

Vậy có C₁₀⁴ = 210 cách chọn.

Ví dụ 2. Lớp 11A có 19 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra 4 bạn nam và 2 bạn nữ để đi tham gia chiến dịch phòng chống “Sốt xuất huyết” của Huyện Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

Hướng dẫn

+ Chọn ra 4 bạn nam trong 19 bạn nam có: C₁₉⁴= 3876 cách chọn

+ Chọn ra 2 bạn nữ trong 15 bạn nữ có: C₁₅² = 105 cách chọn

+ Theo quy tắc nhân, số cách chọn là: 3876 . 105 = 406980 cách.

IV. Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

V. Các dạng toán thường gặp sử dụng kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

a) Dạng 1: Bài toán đếm

● Phương pháp giải:

Sử dụng hai quy tắc công và quy tắc nhân, các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau gồm 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?

A. 840

B. 432

C. 35

D. 576

Hướng dẫn

+ Các chữ số lẻ trong 7 chữ số trên là: 1, 3, 5, 7, có 4 số

Suy ra chọn hai chữ số lẻ có: C₄² cách

+ Các chữ số chẵn trong 7 chữ số trên là: 2, 4, 6, có 3 số

Suy ra chọn hai chữ số chẵn: có C₃² cách

+ Với 4 chữ số đã chọn ở trên, ta xếp vào 4 vị trí có: 4! cách

Theo quy tắc nhân, vậy có thể lập được: C₄².C₃².4! = 432 số.

Đáp án B

Ví dụ 2. Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi mội khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

A. 120

B. 504

C. 720

D. 480

Hướng dẫn

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số có dạng: 

+ Ta có: a₁ ∈ {1;2;3;4;5} (vì chữ số đầu tiên không thể bằng 0) ⇒ Có 5 cách chọn a₁

+ Tiếp theo ta bỏ a1 và 0 thì tập hợp đã cho còn lại 4 chữ số. Ta chọn 3 chữ số từ 4 chữ số đó, ta có C₄³ cách chọn.

Chúng ta xếp chữ số 0 và 3 chữ số vừa chọn được vào 4 vị trí a₂; a₃; a₄; a₅ ta được 4! cách xếp.

Do đó chọn cho các chữ số a₂; a₃; a₄; a₅ có mặt chữ số 0 ta có: C₄³.4! cách.

+ Vậy theo quy tắc nhân, số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài có thể lập được là: 5.C₄³.4! = 480 số.

Đáp án D

Ví dụ 3. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang ghế số chẵn, 3 vé mang ghế số lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong 6 bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó?

A. 36

B. 180

C. 72

D. 18

Hướng dẫn

+ Trong 6 vé có 3 vé mang ghế số chẵn, do đó xếp 2 bạn vào ghế mang số chẵn có A₃²cách (vì sắp thứ tự luôn hai bạn đó nên ta dùng chỉnh hợp).

+ Tương tự, xếp hai bạn vào ghế mang số lẻ có A₃² cách.

+ Vậy còn lại 2 bạn và 2 chỗ, Số cách xếp hai bạn còn lại vào hai vị trí còn lại là 2! cách.

+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách xếp thỏa mãn yêu cầu của tất cả các bạn đó là: A₃².A₃².2! = 72 cách.

Đáp án C

b) Dạng 2: Bài toán chọn người (vật), xếp vị trí, công việc

● Phương pháp giải

Sử dụng các quy tắc cộng, quy tắc nhân, khái niêm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

A. 1200

B. 1800

C. 1000

D. 200

Hướng dẫn

+ Chọn 3 bì thư trong 6 bì thư có C₆³ cách.

+ Chọn 3 tem thư trong 5 tem thư có C₅³ cách.

+ Dán 3 tem thư lên 3 bì thư thì có 3! cách dán.

+ Theo quy tắc nhân, vậy số cách chọn cần tìm là: C₆³.C₅³.3! = 1200 cách.

Đáp án A

Ví dụ 2. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

A. 80640

B. 108864

C. 145152

D. 217728

Hướng dẫn

Xét các trường hợp sau:

+ TH1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau

Gộp 2 học sinh lớp A lại thành một (để đứng cạnh nhau) và xếp cùng với 7 học sinh của hai lớp còn lại thì có 8! cách.

Xếp hai học sinh lớp A thì có 2! cách.

Vậy có: 2!.8! cách xếp để 2 học sinh lớp A đứng cạnh nhau.

+ TH2: Giữa hai học sinh lớp A có 1 học sinh lớp C.

Chọn 1 học sinh lớp C để xếp cùng 2 học sinh lớp A có A₄¹ cách.

Xếp hai học sinh lớp A thì có 2! cách.

Xếp 6 học sinh còn lại của hai lớp cùng với 1 nhóm 3 học sinh trên có 7! cách

Vậy có: 2!. A₄¹.7! cách xếp để có 1 học sinh lớp C đứng giữa hai học sinh lớp A.

+ TH3: Giữa hai học sinh lớp A có 2 học sinh lớp C.

Tương tự TH2, vậy ta có: 2!. A₄². 6! cách.

+ TH4: Giữa hai học sinh lớp A có 3 học sinh lớp C, có 2!.A₄³.5! cách.

+ TH5: Giữa hai học sinh lớp A có 4 học sinh lớp C, có 2!.A₄⁴.4! cách.

Vậy theo quy tắc cộng ta có:

 2!.8! + 2!. A₄¹.7! + 2!. A₄².6! + 2!. A₄³.5! + 2!.A₄⁴.4! = 145152 cách.

Đáp án C

Ví dụ 3. Ông và bà An cùng 6 đứa con đang lên máy bay theo một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp hàng khác nhau nếu ông An hay bà An đứng ở đầu hàng hoặc cuối hàng.

A. 720

B. 1440

C. 18720

D. 40320

Hướng dẫn

Bài này ta dùng phần bù để giải quyết.

+ Có tất cả 8 người cùng lên máy bay, xếp 8 người thành một hàng dọc có 8! cách.

+ Xếp ông An và bà An vào 2 trong 6 vị trí ở giữa (8 vị trí trừ đi 2 vị trí ở đầu và cuối hàng) thì có A₆² cách.

Xếp 6 người con vào 6 vị trí còn lại có 6! cách.

Do đó số cách xếp để ông An và bà An không đứng ở vị trí đầu và cuối hàng là A₆².6! cách.

+ Vậy số cách xếp để ông An hay bà An đứng ở vị trí đầu hoặc cuối hàng là

    8! – A₆².6! = 10720 cách.

Đáp án C

c) Dạng 3: Bài toán liên quan đến hình học

● Phương pháp giải

– Sử dụng các quy tắc nhân, quy tắc cộng và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

– Vận dụng các khái niệm hình học liên quan.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ dưới. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng?

A. 4374

B. 139968

C. 576

D. 15552

Hướng dẫn

Tô màu theo nguyên tắc sau:

+ Tô 1 ô vuông 4 cạnh: Chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó có 6.C₃² cách tô.

+ Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với một ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong hai màu còn lại tô hai cạnh còn lại, có 3. C₂¹ = 6 cách tô. Do đó có 6³ cách tô.

+ Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với mỗi ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh ( 2 cạnh tô trước cùng màu hay khác màu nhau không ảnh hưởng đến số cách tô). Do đó có 2² cách tô.

+ Vậy có: 6. C₃².6³.2² = 15552 cách tô.

Đáp án D

d) Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

● Phương pháp giải

– Dựa vào công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và một số tính chất của nó để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ tổ hợp về dạng phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số để giải.

– Một số công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và tính chất

Cho n là số nguyên dương và 0 ≤ k ≤ n, ta có:

– Chú ý về điều kiện của phương trình, bất phương trình và hệ.

● Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số các số nguyên dương n thỏa mãn 6n – 6 + C_n³ = C_{n + 1}³ là

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Hướng dẫn

Đối chiếu điều kiện vậy n = 12

Vậy có 1 số nguyên dương n thỏa mãn bài toán.

Đáp án B

Ví dụ 2. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn A_n² – 3C_n² = 15 – 5n.

A. 13

B. 10

C. 12

D. 11

Hướng dẫn

Đối chiếu điều kiện vậy n = 5 và n = 6.

Vậy tổng số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu là 5 + 6 = 11.

Đáp án D.

Ví dụ 3. Giải phương trình A_x³ + C_x^{x – 2} = 14x

A. Một số khác

B. x = 6

C. x = 5

D. x = 4

Hướng dẫn

Kết hợp điều kiện vậy x = 5.

Cách 2: Thử các kết quả ở phần đáp án vào phương trình đã cho, thấy x = 5 thỏa mãn. (Cách này chỉ áp dụng cho trường hợp làm bài trắc nghiệm và có đáp án thỏa mãn)

Đáp án C

Ví dụ 4. Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn đồng thời các điều kiện C_m² = 153 và C_mⁿ = C_m^{n + 2}. Khi đó m + n bằng

A. 25

B. 24

C. 26

D. 23

Hướng dẫn

+ Theo tính chất C_n^k = C_n^{n – k}, vậy từ C_mⁿ = C_m^{n + 2}, suy ra n + 2 = m – n

⇔ 2n + 2 = m ⇔ 2n + 2 = 18 ⇔ n = 8(tm)

Vậy m + n = 18 + 8 = 26.

Đáp án C

Phần 6: Biến cố xung khắc là gì? Bài tập biến cố xung khắc cực hay, chi tiết

1. Định nghĩa

– Định nghĩa: Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

– Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu Ω_A ∩ Ω_B = ∅.

2. Quy tắc cộng xác suất

– Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

– Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố:

Cho k biến cố A₁, A₂, …, A_k đôi một xung khắc. Khi đó

    P(A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_k) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_k)

3. Ví dụ

Ví dụ 1. Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm lớn hơn hoặc bằng 4”, B là biến cố: “Xuất hiện mặt có chấm số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 2”.

Ta thấy hai biến cố và không cùng xảy ra, do đó A và B là hai biến cố xung khắc.

Ví dụ 2. Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu.

Hướng dẫn:

Có tất cả: 4 + 3 + 2 = 9 viên bi

X là biến cố “Chọn được 2 bi cùng màu”

Suy ra X = A ∪ B ∪ C và A, B, C là các biến cố đôi một xung khắc.

Theo quy tắc cộng xác suất

Ví dụ 3. Cho hai biến cố A và B. biết P(A) = 0,21; P(B) = 0,11 và P(A ∪ B) = 0,3. Hỏi A và B có phải là hai biến cố xung khắc không?

Hướng dẫn:

Ta có: P(A) + P(B) = 0,21 + 0,11 = 0,32 ≠ 0,3 = P(A ∪ B)

Suy ra P(A) + P(B) ≠ P(A ∪ B)

Theo quy tắc cộng xác suất của hai biến cố xung khắc, vậy hai biến cố A và B không xung khắc.

Phần 7: Biến cố đối là gì? Bài tập về biến cố đối cực hay, chi tiết

1. Định nghĩa

– Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A.

– Biến cố đối của A:  = Ω\A

– Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc thì chưa chắc đã đối nhau.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường

A là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 10”

B là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 11”

Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc, nhưng A và B không phải là hai biến cố đối nhau.

2. Định lý

Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối  là

    P() = 1 – P(A) (1)

Từ công thức (1), suy ra P(A) = 1 – P().

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Hướng dẫn

Gọi biến cố đối của biến cố A là 

Khi đó : “Không lần nào xuất hiện mặt xấp”, có nghĩa là “Cả” ba lần gieo chỉ xuất hiện mặt ngửa”.

Ví dụ 2. Trong một túi có 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ, lấy ngẫu nhiên từ đó ra 2 viên bi. Khi đó xác suất để lấy được ít nhất một viên bi xanh là?

Hướng dẫn:

Số phần tử của không gian mẫu: |Ω| = C₁₁² = 55.

Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một bi xanh”.

Khi đó, biến cố đối của A, : “Không lấy được viên bi xanh nào”, tức là 2 viên bi lấy ra đều màu đỏ.

Số phần tử của biến cố  là: ||=C_6^2=15

Phần 8: Biến cố độc lập là gì? Bài tập biến cố độc lập cực hay

1. Định nghĩa:

– Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

– Nhận xét: Hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và  cũng độc lập với nhau.

2. Quy tắc nhân xác suất

– Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

    P(AB) = P(A).P(B)

– Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố: Nếu k biến cố A₁, A₂, …,A₃ độc lập với nhau thì

    P(A₁ A₂…A_k) = P(A₁).P(A₂) … P(A_k)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một chiếc máy bay có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,6 và 0,8. Hãy tính xác suất để

a) Cả hai động cơ đều chạy tốt

b) Cả hai động cơ đều chạy không tốt

Hướng dẫn

a) Gọi A là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”

B là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”

C là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”

Khi đó: C = AB

Vì hai động cơ I và II hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có

    P(C) = P(A).P(B) = 0,6 . 0,8 = 0,48

b)  là biến cố đối của biến cố A ⇒ P() = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4

 là biến cố đối của biến cố B ⇒ P() = 1 – P(B) = 1 – 0,8 = 0,2

Gọi D là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy không tốt”

Suy ra D = 

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên  là hai biến cố độc lập.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có

    

Ví dụ 2. Bốn khẩu pháo cao xạ A, B, C, D cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Biết xác suất bắn trúng của các khẩu pháo tương ứng là . Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng.

Hướng dẫn

Vì A, B, C, D cùng bắn độc lập nên ta có xác suất mục tiêu không bị bắn trúng là 

Vậy xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là

    

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN KIẾN THỨC TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Bài 1. Các quy tắc đếm

Định nghĩa 1. Quy tắc nhân

Một công việc được hoàn thành bởi hai công đoạn liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện công đoạn thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn thứ hai thì có m . n cách hoàn thành công việc.

Định lí 1. Giả sử một công việc H được hoàn thành qua k công đoạn liên tiếp

Công đoạn thứ nhất có n₁ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó.

Công đoạn thứ hai có n₂ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó.

Công đoạn thứ ba có n₃ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó.

. . .

Công đoạn thứ k có n_k cách thực hiện.

Khi đó để hoàn thành công việc H ta có n₁ . n₂ . n₃ · · · n_k cách thực hiện.

A. Bài tập mẫu

Dạng 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc nhân

Sử dụng quy tắc nhân để giải một số bài đếm.

Giả sử một công việc H được hoàn thành qua k công đoạn liên tiếp.

Công đoạn thứ nhất có n₁ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó.

Công đoạn thứ hai có n₂ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó.

Công đoạn thứ ba có n₃ cách thực hiện, ứng với mỗi cách đó.

. . .

Công đoạn thứ k có n_k cách thực hiện.

Khi đó để hoàn thành công việc H ta có n₁ . n₂ . n₃ · · · n_k cách thực hiện.

Bài 1. Bạn Q có 4 áo dài và 3 quần trắng. Khi bạn đến trường bạn Q có bao nhiêu cách trang phục ? ĐS: 12 cách

Lời giải.

Mỗi cách mặc áo dài sẽ có tương ứng ba cách mặc quần trắng. Suy ra bạn Q có 4 cách chọn áo dài và 3 cách chọn quần trắng. Áp dụng quy tắc nhân ta có 4 . 3 = 12 cách trang phục.

Bài 2. Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người dự hội nghị sao cho có một học sinh chuyên tin và một học sinh chuyên toán. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên. ĐS: 216 cách

Lời giải.

Để có một đoàn đi dự hội nghị phải có đồng thời một học sinh chuyên tin và một học sinh chuyên toán. Mỗi cách chọn một học sinh chuyên tin trong số 12 học sinh chuyên tin sẽ có 18 cách chọn một học sinh chuyên toán trong 18 học sinh chuyên toán. Theo quy tắc nhân ta có 12 . 18 = 216 cách.

Bài 3. Cho một tập A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau ? ĐS: 60 số

Lời giải.

Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là n = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \], trong đó:

a₁ có 5 cách chọn.

a₂ có 4 cách chọn.

a₃ có 3 cách chọn.

Do đó số các số tự nhiên n cần tìm là 3 · 4 · 5 = 60 số.

Bài 4. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu số gồm năm chữ số đôi một khác nhau được tạo từ các chữ số trong tập hợp A ? ĐS: 600 số

Lời giải.

Gọi số có năm chữ số đôi một khác nhau cần tìm là n = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \], trong đó

a₁ có 5 cách chọn (vì để số n có nghĩa thì a₁ \[ \ne \] 0).

a₂ có 5 cách chọn.

a₃ có 4 cách chọn.

a₄ có 3 cách chọn.

a₅ có 2 cách chọn.

Do vậy theo quy tắc nhân có 5 · 5 · 4 · 3 · 2 = 600 số n cần tìm.

Bài 5. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}.

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ tập A.

b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.

ĐS: 5040 số, 360 số

Lời giải.

a) Gọi số có sáu chữ số đôi một khác nhau cần tìm là: n₁ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \].

Với a₁ có 7 cách chọn; a₂ có 6 cách chọn; a₃ có 5 cách chọn; a₄ có 4 cách chọn; a₅ có 3 cách chọn; a₆ có 2 cách chọn.

Suy ra có 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 5040 số cần tìm.

b) Gọi số có năm chữ số đôi một khác nhau cần tìm là: n₂ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}} \].

Do n₂ chia hết cho 5 nên a₅ = 5. Như vậy trong tập A chỉ còn lại 6 phần tử (bỏ số 5 đi).

Với a₁ có 6 cách chọn; a₂ có 5 cách chọn; a₃ có 4 cách chọn; a₄ có 3 cách chọn. Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 = 360 số cần tìm.

Bài 6. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 được tạo thành từ các chữ số trong tập A. ĐS: 4680 số

Lời giải. Gọi số có sáu chữ số đôi một khác nhau cần tìm là n = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \].

Do số n chia hết cho 5 nên a₆ chỉ có thể là 0 hoặc 5. Xét các trường hợp sau

a₆ = 0, khi đó n₁ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}0} \].

Trong tập A lúc này còn lại 7 phần tử.

Với a₁ có 7 cách chọn; a₂ có 6 cách chọn; a₃ có 5 cách chọn; a₄ có 4 cách chọn; a₅ có 3 cách chọn.

Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520 số có dạng n₁.

a₆ = 5, khi đó n₂ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}5} \].

Trong tập A lúc này còn lại 7 phần tử.

Với a₁ có 6 cách chọn (a₁ \[ \ne \] 0); a₂ có 6 cách chọn; a₃ có 5 cách chọn; a₄ có 4 cách chọn; a₅ có 3 cách chọn.

Suy ra có 3 · 4 · 5 · 6 · 6 = 2160 số có dạng n₂.

Vậy số các số cần tìm là 2160 + 2520 = 4680.

Bài 7. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số có nghĩa đôi một khác nhau chia hết cho 5 và luôn có chữ số 0? ĐS: 3970 số

Lời giải.

Gọi số có sáu chữ số có nghĩa là n = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \].

Do số n chia hết cho 5 nên a₆ = 0 hoặc a₆ = 5.

Xét các trường hợp.

a₆ = 0 khi đó số cần tìm có dạng n₁ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}0} \].

Có 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520 số n₁.

a₆ = 5 khi đó số cần tìm có dạng n₂ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}5} \].

Trong đó n₂ luôn có mặt chữ số 0 nhưng a\[ \ne \]0, suy ra có 6 cách chọn a₁.

Còn lại 4 vị trí, nên có 4 vị trí để xếp chữ số 0. Còn lại 3 vị trí và còn lại 5 chữ số khi đó vị trí thứ nhất có 5 cách chọn; vị trí thứ hai có 4 cách chọn; vị trí thứ 3 có 3 cách chọn.

Vậy số các số n₂ là 6 · 4 · 5 · 4 · 3 = 1440 số dạng n₂.

Vậy có 1440 + 2520 = 3970 số n cần tìm.

Bài 8. Từ năm chữ số 0; 1; 3; 5; 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau và không chia hết cho 5? ĐS: 54 số

Lời giải.

Gọi số có 4 chữ số khác nhau cần tìm là \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \]. Vì số cần tìm không chia hết cho 5 nên a₄ \[ \ne \]{0; 5} ⇒ Vị trí số a₄ có 3 cách chọn.

Vị trí số a₁ có 3 cách chọn (do a₁ \[ \ne \]a₄ và a₁ \[ \ne \]0).

Vị trí số a₂ có 3 cách chọn (do a₂ \[ \ne \]a₄, a₁).

Vị trí số a₃ có 2 cách chọn (do a₃ \[ \ne \]a₄, a₁, a₂).

Do đó có 2 · 3 · 3 · 3 = 54 (số cần tìm).

Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên trong đó các chữ số khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ năm chữ số: 0, 1, 2, 3, 4 ? ĐS: 157 số

Lời giải.

Các số nhỏ hơn 10000 thì phải bắt đầu từ các chữ số 1, 2, 3, 4 và chỉ có bốn, ba, hai, một chữ số.

Gọi số đó là n₁ = \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \]. Với a₁ có 4 cách chọn; a₂ có 4 cách chọn; a₃ có 3 cách chọn; a₄ có 2 cách chọn.

Do đó, trường hợp này có 2 · 3 · 4 · 4 = 96 số n₁.

Số có ba chữ số n₂ =\[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \]. Với a₁ có 4 cách chọn; a₂ có 4 cách chọn; a₃ có 3 cách chọn.

Do đó, trường hợp này có 4 · 4 · 3 = 48 số n₂.

Số có hai chữ số n₃ =\[\overline {{a_1}{a_2}} \]. Với a₁ có 4 cách chọn; a₂ có 4 cách chọn.

Do đó, trường hợp này có 4 · 4 = 16 số n₃.

Số có một chữ số: 5 số.

Vậy tất cả có 96 + 48 + 16 + 5 = 157 số cần tìm.

Bài 10. Có 20 sinh viên Toán và 45 sinh viên Tin học.

1. Có bao nhiêu cách chọn hai sinh viên khác nhau về khoa ? ĐS: 900

2. Có bao nhiêu cách chọn một sinh viên hoặc là Toán hoặc là Tin học ? ĐS: 65

Lời giải.

1. Để chọn hai sinh viên khác nhau về khoa, ta thực hiện hai công đoạn sau: Chọn một sinh viên Toán có 20 cách chọn.

Chọn một sinh viên Tin có 45 cách chọn.

Vậy có 20 × 45 = 900 cách chọn.

2. Để chọn một sinh viên hoặc là Toán hoặc là Tin học, ta có hai trường hợp:

Chọn một sinh viên Toán có 20 cách chọn.

Chọn một sinh viên Tin có 45 cách chọn.

Vậy có 20 + 45 = 65 cách chọn.

Bài 11. Một tòa nhà cao ốc có 39 tầng, mỗi tầng có 42 phòng. Hỏi có bao nhiêu phòng tất cả trong tòa nhà này ? ĐS: 1638

Lời giải.

Số tầng của tòa nhà là 39.

Số phòng mỗi tầng 42.

Vậy có 39 × 42 = 1638 phòng.

Bài 12. Một trung tâm Internet có 35 chiếc máy tính. Mỗi máy có 28 cổng kết nối. Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau tại trung tâm này ? ĐS: 980

Lời giải.

Số máy tính của trung tâm là 35 máy.

Số cổng kết nối của mỗi máy tính là 28 cổng kết nối.

Vậy có 35 × 28 = 980 cổng kết nối.

Bài 13. Có bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển số chứa một dãy ba chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), tiếp sau là bốn chữ số ? ĐS: 175760000

Lời giải.

Giả sử mỗi biển số xe là \[{a_1}{a_2}{a_3}{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}\] ,trong đó a_i là các chữ cái và b_i là các số.

a₁ có 26 cách chọn.

a₂ có 26 cách chọn.

a₃ có 26 cách chọn.

b₁ có 10 cách chọn.

b₂ có 10 cách chọn.

b₃ có 10 cách chọn.

b₄ có 10 cách chọn.

Vậy có 26³ × 10⁴ = 175760000 biển số.

Bài 14. Một phiếu bài thi trắc nghiệm có 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 câu trả lời. Có bao nhiêu cách điền một phiếu trắc nghiệm nếu tất cả các câu hỏi đều có trả lời ? ĐS: 16777216

Lời giải.

Số cách điền câu hỏi thứ 1 là 4.

Số cách điền câu hỏi thứ 2 là 4.

· · ·

Số cách điền câu hỏi thứ 12 là 4.

Vậy có 4¹² = 16777216 cách trả lời trắc nghiệm.

Bài 15. Một mẫu áo sơ mi đặc biệt được thiết kế có kiểu cho nam và có kiểu cho nữ, có 12 màu và 2 cỡ cho mỗi người. Có bao nhiêu loại khác nhau của mẫu áo này sẽ được sản xuất ? ĐS: 576 Lời giải.

Ta có số mẫu áo sơ mi là 12 × 2 = 24.

Số cách chọn kiểu cho nam là 24.

Số cách chọn kiểu cho nữ là 24.

Vậy có 24 × 24 = 576 mẫu.

Bài 16. Từ Quảng Trị đến Quảng Ngãi có 4 con đường và có 6 đường từ Quảng Ngãi đến TPHCM. Có bao nhiêu con đường khác nhau để đi từ Quảng Trị đến TPHCM qua Quảng Ngãi? ĐS: 24

Lời giải.

Số cách chọn đường đi từ Quảng Trị đến Quảng Ngãi là 4.

Số cách chọn đường đi từ Quảng Ngãi đến TPHCM là 6.

Vậy có 4 × 6 = 24 cách chọn.

Bài 17. Có bao nhiêu biển số xe máy được tạo thành nếu mỗi biển số gồm hai chữ số và tiếp theo là bốn chữ cái hoặc hai chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), tiếp theo là bốn chữ số ? ĐS: 457652 × 10⁶

Lời giải.

Trường hợp 1: Biển số xe là a₁a₂b₁b₂b₃b₄a₃a₄a₅a₆, trong đó a_i là các số và b_i là các chữ cái.

Số cách chọn a₁ là 10.

Số cách chọn a₂ là 10.

Số cách chọn b₁ là 26.

Số cách chọn b₂ là 26.

Số cách chọn b₃ là 26.

Số cách chọn b₄ là 26.

Số cách chọn a₃ là 10.

Số cách chọn a₄ là 10.

Số cách chọn a₅ là 10.

Số cách chọn a₆ là 10.

Suy ra có 10² × 26⁴ × 10⁴ = 456976 × 10⁶ biển số.

Trường hợp 2: Biển số xe là a₁a₂b₁b₂a₃a₄a₅a₆, trong đó a_i là các số và b_i là các chữ cái.

Số cách chọn a₁ là 10.

Số cách chọn a₂ là 10.

Số cách chọn b₁ là 26.

Số cách chọn b₂ là 26.

Số cách chọn a₃ là 10.

Số cách chọn a₄ là 10.

Số cách chọn a₅ là 10.

Số cách chọn a₆ là 10.

Suy ra có 10² × 26² × 10⁴ = 676 × 10⁶ biển số.

Vậy có 456976 × 10⁶ + 676 × 10⁶ = 457652 × 10⁶ biển số.

Bài 18. Có bao nhiêu hàm số đơn ánh từ tập có năm phần tử đến tập có số phần tử bằng:

a. 4; ĐS: Không có

b. 5; ĐS: 120

c. 6; ĐS: 720

d. 7; ĐS: 2520

Lời giải.

Giả sử hàm số\[f:X \to Y\]

                            \[x \mapsto y = f(x)\]

Hàm số \[f\]được gọi là đơn ánh nếu

\[\forall {x_1},{x_2} \in X;{x_1} \ne {x_2} \Rightarrow f({x_1}) \ne f({x_2})\].

1. Với Y có 4 phần tử nhỏ hơn số phần tử tập hợp X nên không có hàm số đơn ánh \[f:X \to Y\].

2. Hàm số số đơn ánh \[f:X \to Y\]với Y có 5 phần tử. Ta có:

f(x₁) có 5 cách chọn.

f(x₂) có 4 cách chọn.

f(x₃) có 3 cách chọn.

f(x₄) có 2 cách chọn.

f(x₅) có 1 cách chọn.

Vậy có 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 hàm số.

3. Hàm số số đơn ánh \[f:X \to Y\]với Y có 6 phần tử. Ta có:

f(x₁) có 6 cách chọn.

f(x₂) có 5 cách chọn.

f(x₃) có 4 cách chọn.

f(x₄) có 3 cách chọn.

f(x₅) có 2 cách chọn.

Vậy có 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720 hàm số.

Xem thêm