Chuyên đề Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian
Phần 1: Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian hay, chi tiết
A. Phương pháp giải
Các phép toán về vecto cần nhớ:
+) AB→ + BC→ = AC→
+) OM→ – ON→ = NM→
+) Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AB→ + AD→ = AC→
+) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’, ta có: AB→ + AD→ + AA’→ = AC’→
+) Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
IA→ + IB→ = 0→ và OA→ + OB→ = 2OI→
+) Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
GA→ + GB→ + GC→ = 0→; OA→ + OB→ + OC→ = 3OG→
+) Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→; OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 4OG→
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A; B; C; D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A; B; C; D tạo thành hình bình hành là
Hướng dẫn giải
Chọn B.
+ Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
BD→ = BA→ + BC→
+ Với mọi điểm O bất kì khác A; B; C; D ta có:
BD→ = BA→ + BC→ ⇔ OD→ – OB→ = OA→ – OB→ + OC→ – OB→ ⇔ OA→ + OC→ = OB→ + OD→
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→ = a→; SB→ = b→; SC→ = c→; SD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a→ + c→ = d→ + b→
B. a→ + b→ = c→ + d→
C. a→ + d→ = b→ + c→
D. a→ + b→ + c→ + d→ = 0→
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I; J lần lượt là trung điểm AB và CD).
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Xét phương án A:
+ Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.
+ Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→ ⇔ 2GI→ + 2GJ→ = 0→ ⇔ GI→ + GJ→ = 0→
⇒ G là trung điểm đoạn IJ.
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AB→ + B1C1→ + DD1→ = kAC1→
A. k = 4 B. k = 1 C. k = 0 D. k = 2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
+ Ta có: AB→ + B1C1→ + DD1→ = AB→ + BC→ + CC1→ = AC1→
Nên k = 1.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1B1C1 . Đặt AA1→ = a→; AB→ = b→; AC→ = c→; BC→ = d→;trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hướng dẫn giải
Chọn C.
+ Ta có:
Ví dụ 6: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ + BC→ + CD→ + DA→ = 0→.
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ = CD→.
C. Cho hình chóp S.ABCD. Nếu có SB→ + SD→ = SA→ + SC→ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB→ + AC→ = AD→.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét phương án C:
Phần 2: Cách phân tích một vectơ theo các vectơ khác hay, chi tiết | Biểu diễn 1 vectơ theo 2, 3 vectơ không cùng phương
A. Phương pháp giải
* Định lí 1
Trong không gian cho hai vectơ a→; b→ không cùng phương và vectơ c→ . Khi đó ba vectơ a→; b→; c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→ = ma→ + nb→. Ngoài ra cặp số (m, n) là duy nhất.
* Định lí 2
Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a→; b→; c→. Khi đó với mọi vectơ x→ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→ = ma→ + nb→ + pc→. Ngoài ra bộ ba số (m, n, p) là duy nhất.
* Sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp và trung điểm đoạn thẳng…
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M là trung điểm của BB’. Đặt CA→ = a→, CB→ = b→, AA’→ = c→ . Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta phân tích:
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC’→ = u→, CA’→ = v→, BD’→ = x→, DB’→ = y→. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng quy tắc 3 điểm : AB→ + BC→ = AC→ ta được :
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x→ = AB→, y→ = AC→, z→ = AD→. Khẳng định nào sau đây đúng?
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi M là trung điểm CD
Ta có :
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt AC’→ = u→, CA’→ = v→, BD’→ = x→, DB’→ = y→. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ Gọi J; K lần lượt là trung điểm của AB; CD.
+ Ta có:
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi M là trung điểm BC. Ta có:
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Đặt AB→ = a→, AC→ = b→, AD→ = c→. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Vì M là trung điểm của BC suy ra BM→ = (1/2).BC→
Ta có
Chọn A
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB→ = b→, AC→ = c→, AD→ = d→. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hướng dẫn giải:
Vì M; P lần lượt là trung điểm của AB; CD ⇒ 
Ta có:
Chọn D
Phần 3: Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết
A. Phương pháp giải
+ Hai vecto a→ và b→ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
+ Để chứng minh hai vecto cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:
– Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
– Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0: a→ = k.b→
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho u→ = 2a→ + b→ và v→ = -6a→ – 3b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?
A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương
B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng
C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng
D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương
Hướng dẫn giải
Ta có: v→ = -6a→ – 3b→ = -3(2a→ + b→)
⇒ v→ = -3u→
⇒ u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng.
Chọn C.
Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ – b→, y→ = -4a→ + 2b→, z→ = -3b→ – 2c→. Chọn khẳng định đúng?
A. Hai vectơ y→, z→ cùng phương
B. Hai vectơ x→, y→ cùng phương
C. Hai vectơ x→, z→ cùng phương
D. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn B
+ Nhận thấy: y→ = -2x→ nên hai vectơ x→, y→ cùng phương.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→ thì ABCD là hình thang.
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ .
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→.
D. Nếu SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ thì ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải
Chọn C
A. Đúng vì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→
⇔ OA→ + OB→ + 2OC→ + 2OD→ = O→
Vì O; A; C và O; B; D thẳng hàng nên đặt
B. Đúng.
Ta có:
C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD; BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1; m = – 1
⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.
Ví dụ 4: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ – 3b→ và v→ = 3a→ – 9b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?
A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương
B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng
C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng
D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương
Hướng dẫn giải
Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→
Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:
⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.
⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chọn mệnh đề đúng?
A. Hai vecto MN→ và DD’→ là cùng phương
B. Hai vecto AM→ và B’C→ là cùng phương
C. Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương
D. Hai vecto DN→ và MA’→ là cùng phương
Hướng dẫn giải
Xét tứ giác AMCN có:
AM = CN = (1/2)BC = (1/2)AD
AM // CN
⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành
⇒ AN // MC nên Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương.
Chọn C
Ví dụ 6: : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?
A. B’B→ B. C’C→ C. AA’→ D. AB’→
Hướng dẫn giải
Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’
⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’
⇒ IJ // AA’ // CC’
⇒ AA’→ cùng hướng với vecto IJ→
chọn C
Phần 4: Cách tìm điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng hay, chi tiết
A. Phương pháp giải
* Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
– Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: c→ = ma→ + nb→ thì a→ ; b→ ; c→ đồng phẳng.
+ Để phân tích một vectơ x ⃗ theo ba vectơ a→; b→; c→ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: x→ = ma→ + nb→ + pc→ .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai?
A. IK→ = (1/2)AC→ = (1/2)A’C’→
B. Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.
C. BD→ + 2IK→ = 2BC→
D. Ba vectơ BD→ ; IK→ ; B’C’→ không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta xét các phương án:
+ A đúng do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’.
+ B đúng do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK // AC
⇒ bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.
+ C đúng do việc ta phân tích:
+ D sai do giá của ba vectơ BD→ ; IK→ ; B’C’→ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Ví dụ 2: Cho ba vectơ a→ ; b→ ; c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ + b→, y→ = a→ – b→ – c→, z→ = -3b→ – 2c→. Chọn khẳng định đúng?
A. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng
B. Ba vectơ x→, a→ cùng phương
C. Ba vectơ x→, b→ cùng phương
D. Ba vectơ x→, y→, z→ đôi một cùng phương
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. BD→, AK→, GF→ đồng phẳng
B. BD→, IK→, GF→ đồng phẳng
C. BD→, EK→, GF→ đồng phẳng
D. BD→, IK→, GC→ đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn B.
+ Xét tam giác FAC có I; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.
⇒ IK // AC nên IK // mp (ABCD) .
+ BC // GF nên GF // mp(ABCD)
+ 
Ví dụ 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
B. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có một vectơ 0→ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
C. Nếu giá của ba vectơ a→; b→; c→ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
D. Nếu trong ba vectơ a→; b→; c→ có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có giá ba vecto AB→; AD→ và AA’→ đôi một cắt nhau nhưng ba vecto đó không đồng phẳng.
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai ?
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M; N sao cho AM= 3MD; BN= 3NC. Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng.
B. Các vectơ MN→, DC→, PQ→ đồng phẳng.
C. Các vectơ AB→, DC→, PQ→ đồng phẳng.
D. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD ; BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Các vectơ AB→, DC→, MN→ đồng phẳng
B. Các vectơ AB→, AC→, MN→ không đồng phẳng
C. Các vectơ AN→, CM→, MN→ đồng phẳng
D. Các vectơ BD→, AC→, MN→ đồng phẳng
Hướng dẫn giải
Chọn C.
A. Đúng vì MN→ = (1/2)(AB→ + DC→)
B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN→ thì MN→ không nằm trong mặt phẳng ( ABC) .
C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN→ không nằm trong mặt phẳng (CMN) .
D. Đúng vì MN→ = (1/2)(AC→ + BD→)
Phần 5: 15 Bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ có lời giải
A. Phương pháp giải
+ Để chứng minh các đẳng thức vecto ta cần sử dụng các quy tắc ba điểm; quy tắc hình hộp; quy tắc hình bình hành; tính chất trọng tâm tam giác hay hệ thức trung điểm đoạn thẳng…
+ Biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản còn lại hoặc chứng minh cả hai vế cùng bằng một biểu thức vecto khác.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đặt AA’→ = a→, AB→ = b→, AC→ = c→, BC→ = d→. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Hướng dẫn giải
Ta có 
Chọn C
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là tâm của hình lập phương. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Hướng dẫn giải
Theo quy tắc hình hộp, ta có AC→ = AB→ + AD→ + AA’→
Mà O là trung điểm của AC’ suy ra
AO→ = (1/2).AC’→ = (1/2).(AB→ + AD→ + AA’→)
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ tâm O. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Hướng dẫn giải
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
Chọn C
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABDC.A1B1C1D1. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
Hướng dẫn giải
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
Chọn D
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của AD. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
Hướng dẫn giải
Dựa vào đáp án, ta thấy rằng:
Chọn B
Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. AC’→ = 3AG→
B. AC’→ = 4AG→
C. BD’→ = 4BG→
D. BD’→ = 3BG→
Hướng dẫn giải
Cách 1. Gọi I là tâm của hình vuông ABCD ⇒ I là trung điểm của BD.
Ta có
Cách 2. Theo quy tắc hình hộp, ta có 
Do G là trọng tâm của tam giác AB’C suy ra
Chọn D
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị thực của k thỏa mãn đẳng thức vectơ MN→ = k.(AC→ + BD→)
A. k = 1/2 B. k = 1/3 C. k = 3 D. k = 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Phần 6: Cách tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cực hay
A. Phương pháp giải
+ Tập hợp các điểm M sao cho MA = k – không đổi là hình cầu tâm A bán kính R = k.
+ Tập hơp các điểm M sao cho MA→ + MB→ = 0→ là trung điểm của đoạn thẳng AB.
+ Nếu MA→ = k.BC→ trong đó A ; B ; C là các điểm đã biết thì điểm M cần tìm nằm trên đường thẳng qua A song song (hoặc trùng BC) và MA = |k|.BC
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tâm. Đặt AB→ = a→, BC→ = b→. Gọi M là điểm xác định bởi OM→ = (1/2).(a→ – b→). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M là tâm hình bình hành ABB’A’
B. M là tâm hình bình hành BCC’B’
C. M là trung điểm BB’
D. M là trung điểm CC’
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta phân tích:
→ OM // DB và OM = 1/2 DB
→ M là trung điểm của BB’
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA→ + GB→ + GC→ + GD→ = 0→. (G là trọng tâm của tứ diện). Gọi G0 là giao điểm của GA và mp (BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo đề: G0 là giao điểm của GA và mp (BCD)
⇒ G0 là trọng tâm tam giác BCD.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ. Xác định vị trí của M để |MA→ + MB→ + MC→ + MD→| nhỏ nhất
A. Trung điểm AB
B. Trùng với G
C. Trung điểm AC
D. Trung điểm CD
Hướng dẫn giải
Ta có:
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Điểm M xác định bởi đẳng thức vectơ AM→ = AB→ + AC→ + AD→. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. M trùng G
B. M thuộc tia AG và AM = 3AG
C. G là trung điểm AM
D. M là trung điểm AG
Hướng dẫn giải
Do G là trọng tâm tam giác BCD nên AB→ + AC→ + AD→ = 3AG→
Kết hợp giả thiết, suy ra AM→ = 3AG→
⇒ M thuộc tia AG và AM = 3AG
Chọn B
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Điểm N xác định bởi AN→ = AB→ + AC→ – AD→. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. N là trung điểm BD.
B. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành BCDN.
C. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN.
D. N trùng với A.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có: AN→ = AB→ + AC→ – AD→ ⇔ AN→ – AB→ = AC→ – AD→ ⇔ BN→ = DC→
Đẳng thức chứng tỏ N là đỉnh thứ tư của hình bình hành CDBN
Chọn C.
Chương III. Vecto trong không gian – quan hệ vuông góc trong không gian
§1. Vectơ trong không gian và sự đồng phẳng của các vectơ
I. Các định nghĩa
A. Kiến thức cần nắm
1. Vecto, giá và độ dài của vecto
– Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu \(\overrightarrow {AB} \), chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vectơ còn được kí hiệu là \(\vec a,\vec b,\vec x,\vec y, \ldots \)
– Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại hai vectơ có giá cắt nhau được gọi là hai vectơ không cùng phương. Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng.
– Độ dài của vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. Kí hiệu \(|\overrightarrow {AB} |\). Như vậy \(|\overrightarrow {AB} | = AB\)
2. Hai vecto bằng nhau, vecto không
– Hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Kí hiệu \(\vec a = \vec b\)
– Vectơ không là một vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau; cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. Kí hiệu \(\vec 0 = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {BB} = \ldots \)
II. Phép cộng và phép trừ vectơ
1. Định nghĩa
– Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\). Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, vẽ \(\overrightarrow {AB} = \vec a,\overrightarrow {BC} = \vec b\). Vectơ \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\), kí hiệu \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \vec a + \vec b\)
– Vectơ \(\vec b\) là vectơ đối của \(\vec a\) nếu \(|\vec a| = |\vec b|\) và \(\vec a,\vec b\) ngược hướng với nhau, kí hiệu \(\vec b = – \vec a\)
– \(\vec a – \vec b = \vec a + ( – \vec b)\)
2. Tính chất
– \(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a(\) tính chất giao hoán)
– \((\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a + (\vec b + \vec c)\) (tính chất kết hợp)
– \(\vec a + \vec 0 = \vec 0 + \vec a = \vec a\) (tính chất vectơ không)
– \(\vec a + ( – \vec a) = – \vec a + \vec a = \vec 0\)
3. Các quy tắc cần nhớ khi tính toán
a. Quy tắc ba điểm
Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có:
-\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \)
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \)
b. Quy tắc hình bình hành
Với A B C D là hình bình hành
Ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
c. Tính chất trung điểm, trọng tâm của tam giác
Với \(I\) là trung điểm của AB.
Ta có:
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \vec 0\)
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \) với mọi điểm M
G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\) với
– \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) với mọi điểm M
d. Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
\(\overrightarrow {A{C^\prime }} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A^\prime }} \)
III. Phép nhân vectơ với một số
1. Định nghĩa: Cho số \(k \ne 0\) và vectơ \(\vec a \ne \vec 0\). Tích của số k với vectơ \(\vec a\) là một vectơ, kí hiệu \(k \cdot \vec a\), cùng hướng với \(\vec a\) nếu k > 0, ngược hướng với \(\vec a\) nếu k < 0 và có độ dài bằng \(|k||\vec a|\)
2. Tính chất:
Với mọi vectơ \(\vec a,\vec b\) và mọi số m,n ta có:
– \(m(\vec a + \vec b) = m\vec a + m\vec b\)
– \((m + n)\vec a = m\vec a + n\vec a\)
– \(m(n\vec a) = (mn)\vec a\)
– 1. \(\vec a = \vec a\)
– (-1) \(\vec a = – \vec a\)
– \(0.\vec a = \vec 0;k \cdot \vec 0 = \vec 0\)
IV. Điều kiện đồng phân của ba vecto
1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian
Trong không gian cho ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đều khác vectơ-không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ \(\overrightarrow {OA} = \vec a,\overrightarrow {OB} = \vec b,\overrightarrow {OC} = \vec c\) thì xảy ra hai trường hợp:
TH1. Các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong 1 mặt phẳng.
Ba vec tơ \(\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} ,\overrightarrow {\rm{c}} \) không đồng phẳng
TH2. Các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong nằm trong một mặt phẳng.
Ba vec tơ \(\overrightarrow {\rm{a}} ,\overrightarrow {\rm{b}} ,\overrightarrow {\rm{c}} \) đồng phẳng
2. Định nghĩa
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lí 1. Cho ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\), trong đó \(\vec a\) và \(\vec b\) không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng là có các số m, n sao cho \(\vec c = m\vec a + n\vec b\). Hơn nữa, các số m, n là duy nhất.
4. Phân tích (biểu thị) 1 vecto theo ba vecto không đồng phẳng
Định lý 2. Nếu \(\vec a,\vec b,\vec c\) là ba vectơ không đồng phẳng thì với mỗi vectơ \(\vec d\), ta tìm được các số m, n, p sao cho \(\vec d = m\vec a + n\vec b + p\vec c\). Hơn nữa các số m, n, p$là duy nhất.
B. Bài tập
Dạng 1. Xác định các yếu tố của vecto
Phương pháp:
• Dựa vào định nghĩa các yếu tố của vectơ
• Dựa vào các tính chất hình học của hình đã cho
Bài 1.1. Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp lần lượt bằng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A{A^\prime }} ,\overrightarrow {AC} \).
Hướng dẫn giải
Theo tính chất hình hộp, ta có:
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = \overrightarrow {{D^\prime }{C^\prime }} \) ,\(\overrightarrow {AB} = – \overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {{B^\prime }{A^\prime }} = – \overrightarrow {{C^\prime }{D^\prime }} \)
\(\overrightarrow {A{A^\prime }} = \overrightarrow {B{B^\prime }} = \overrightarrow {C{C^\prime }} = \overrightarrow {D{D^\prime }} \) ,\(\overrightarrow {A{A^\prime }} = – \overrightarrow {{B^\prime }B} = – \overrightarrow {{C^\prime }C} = – \overrightarrow {{D^\prime }D} \)
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} ;\overrightarrow {AC} = – \overrightarrow {{C^\prime }{A^\prime }} , \ldots \)
Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức vecto
Phương pháp:
– Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, các tính chất trung điểm, trọng tâm để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại.
– Sử dụng các tính chất của các phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho.
Bài 1. 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD,BC và G là trong tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
b) \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\)
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
Hướng dẫn giải
a) Theo qui tắc ba điểm, ta có
\(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} {\rm{ }} + \overrightarrow {DC} .\)
Do đó:
\[\begin{array}{l}{\rm{ }}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + (\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} )\\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \end{array}\]
b) Ta có
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \) và \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \)
Do đó
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \)\( + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \)
Vì M là trung điểm của đoạn AD nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \vec 0\) và N là trung điểm của đoạn BC nên \[\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 \]
Do vậy: \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\)
c) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} }\\{\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} }\\{\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} }\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \) ( Vì \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\))
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD, nên
\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
Bài 1.3. Cho hình hộp ABCD. EFGH. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \)
Hướng dẫn giải.
Theo tính chất hình hộp, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AG} \)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \)
Hoặc ta dựa vào qui tắc hình hộp ta có ngay đpcm
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \) (Gọi là qui tắc hình hộp)
Bài 1.4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)
Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD
Ta có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) (1) và \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)
Bài 1.5. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG} \)
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} }\\{\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} }\\{\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} }\end{array}} \right.\)
Suy ra \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG} (\) Vì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\) )
Bài 1.6. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và BD của tứ giác ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và P là 1 điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0\)
b) \(\overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} )\)
Hướng dẫn giải
a) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0\)
Ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IM} \)
\(\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {ID} = 2\overrightarrow {IN} \)
Công vế theo vế, ta có
\(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} ) = \vec 0\) đpcm
b) \(\overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} )\)
Với P là một điểm bất kì trong không gian, ta có
\(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {PA} – \overrightarrow {PI} ;\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {PB} – \overrightarrow {PI} \)
\(\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {PC} – \overrightarrow {PI} ;\overrightarrow {ID} = \overrightarrow {PD} – \overrightarrow {PI} \)
Do đó:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} \\ = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} – 4\overrightarrow {PI} \end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \vec 0\)
Vậy \(\overrightarrow {PI} = \frac{1}{4}(\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} )\)
(I gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD )
Dạng 3. Chứng minh ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng
Phương pháp:
– Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) có giá song song với một mặt phẳng
– Ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \) có cặp số m, n duy nhất sao cho \(\vec c = m\vec a + n\vec b\), trong đó \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ không cùng phương.
Bài 1.7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Chứng minh rằng ba vectow \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AC và BD
Ta có PN song song với MQ và \(PN = MQ = \frac{1}{2}AD\). Vậy Tứ giác MPNQ là hình
bình hành. Mặt phẳng (MNPQ) chứa đường thẳng MN và song song với các đường thẳng AD và BC$
Từ đó suy ra ba đường thẳng MN,AD,BC cùng song song với một mặt phẳng. Do đó ba vectơ BC, AD, MN đồng phẳng.
Bài 1.8 Cho hình hộp ABCDEFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF.
Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} \) đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Vectơ \(\overrightarrow {BD} \) có giá thuộc mp(ABCD). Vectơ \(\overrightarrow {IK} \) có giá song song với đướng thẳng AC thuộc mp(ABCD). Vectơ \(\overrightarrow {GF} \) có giá song song với đường thẳng BC thuộc mp(ABCD). Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} \) đồng phẳng
Cách khác:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {GF} + (\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AC} )\\ = – \overrightarrow {GF} – \overrightarrow {GF} – 2\overrightarrow {IK} ({\rm{ do }}\overrightarrow {AC} = – 2\overrightarrow {IK} )\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {BD} = – 2\overrightarrow {GF} – 2\overrightarrow {IK} \). Điều này chứng tỏ ba vectơ \(\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {IK} ,\overrightarrow {GF} \) đồng phẳng.
Bài 1.9 Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {KI} ,\overrightarrow {FG} \) đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
Ta có KI // \({\rm{EF}}//{\rm{AB}}\) nên KI // (ABC),
\({\rm{FG}}//{\rm{BC}}\) và \(AC \subset (ABC)\)
Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {KI} ,\overrightarrow {FG} \) có giá cùng song song với một \({\rm{mp}}(\alpha )\) là mặt phẳng song song với mp(ABC).
Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {KI} ,\overrightarrow {FG} \) đồng phẳng
Bài 1.10. Cho tứ diên ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho \(\overrightarrow {AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \). Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Xem thêm