Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
Chuyên đề Đạo hàm hay, chọn lọc
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là
Chú ý:
Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.
Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).
3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.
Chú ý:
a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0.
b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 2
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).
Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là
y – y0 = f’(x0)(x – x0)
trong đó y0 = f(x0).
5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Vận tốc tức thời: v(t0) = s’(t0).
Cường độ tức thời: I(t0) = Q’(t0).
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R
x → f’(x)
là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).
III. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tìm số gia của hàm số
Phương pháp giải:
Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x0 tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công thức: ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0).
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2, biết rằng:
a) x0 = 1; ∆x = 1
b) x0 = 1; ∆x = −0,1
Lời giải
a) Số gia của hàm số là:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(2) − f(1)
= 23 − 3.22 + 2 − (13 − 3.12 +2) = − 2
.b) Số gia của hàm số là:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(0,9) − f(1)
= 0,93 − 3.0,92 +2 − (13 − 3.12 +2) = 0,299.
Ví dụ 2: Tìm số gia của hàm số:
a) y = 2x + 3
b) y = 2x2 – 3x + 1 tại x0 = 1
Lời giải
a) Số gia của hàm số là:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0)
= 2(x0 + ∆x) + 3 − (2x0 + 3) = 2∆x
b) Số gia của hàm số là:
∆y = f(1 + ∆x) − f(1)
= 2(1 + ∆x)2 − 3(1 + ∆x) + 1 − (2.12 − 3.1 +1)
= 2 + 4∆x + 2(∆x)2 − 3 − 3∆x +1 − 0
= 2(∆x)2 + ∆x.
Dạng 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp giải:
Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0 theo định nghĩa, ta có 2 cách:
Cách 1:
Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x0 ta tính ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0)
Bước 2: Tính giới hạn 
Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x0 là 
Chú ý: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
a) y = 2x2 + x + 1 tại x0 = 2.
b) 
tại x0 = 1.
c) 
tại x0 = 3
Lời giải
a) Cách 1: Với là số gia của đối số x0 = 2.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0)
= 2(2 + ∆x)2 + (2 + ∆x) + 1 − (2.22 − 2 +1)
= 8 + 8∆x + 2(∆x)2 + 2 + ∆x +1 − 11
= 9∆x + 2(∆x)2 = ∆x(9 + 2∆x) .
Ta có 
Cách 2: 
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 2 và f ‘(2) = 9.
b) Cách 1: Với ∆x là số gia của đối số x0 = 1.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(1 + ∆x) − f(1)
Ta có 
Cách 2: 
Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 1 và 
.
c) Cách 1: Với là số gia của đối số x0 = 3.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = f(3 + ∆x) − f(3)
Ta có 
.
Cách 2: 
.Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 = 3 và 
.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:
a) y = x3 tại x0
b) 
tại x0
Lời giải
a) Với là số gia của đối số x0.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = (x0 + ∆x)3 − x03
= x03 + 3x02∆x + 3x0.(∆x)2 + (∆x)3 − x03
= 3x02∆x + 3x0.(∆x)2 + (∆x)3
Ta có: 
Vậy đạo hàm của hàm số tại x0 là 
b) Với ∆x là số gia của đối số x0.
Khi đó hàm số số gia tương ứng:
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = 
Ta có: 
Dạng 3: Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Phương pháp giải:
Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0.
Chú ý: Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì không có đạo hàm tại x0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không tồn tại đạo hàm tại x = 0:
Lời giải
Ta có: 
nên hàm số f(x) = |x| liên tục tại x = 0.
Ta có: 
Nên 
nên hàm số không có đạo hàm tại x = 0.
IV. Bài tập tự luyện
Câu 1. Số gia của hàm số 
ứng với số gia ∆x của đối số x tại x0 = – 1 là
Câu 2. Tỉ số 
của hàm số f(x) = 2x(x – 1) theo x và ∆x là
A. 4x +2∆x +2.
B. 4x + 2(∆x)2 − 2.
C. 4x + 2∆x − 2.
D. 4x∆x + 2(∆x)2 − 2∆x.
Câu 3. Số gia của hàm số f(x) = x3 ứng với x0 = 2 và ∆x = 1 bằng bao nhiêu?
A. – 19 . B. 7 . C. 19. D. –7.
Câu 4. Tính tỷ số 
của hàm số 
theo x và ∆x
Câu 5. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2x + 1 tại x0 = 1
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 6. Đạo hàm của hàm số f(x) = x3 tại x0 = 1
A. 4 B. 3 C. 5 D. 6
Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = x3 + x – 2 tại x0 = – 2 là
A. 13. B. 12. C. 10. D. – 8.
Câu 8. Đạo hàm của hàm số 
tại điểm x0 = 2
Câu 9. Đạo hàm của hàm số 
tại x0 = 2 là
Câu 10. Đạo hàm của hàm số 
tại x0 = 1 là
A. 15. B. – 15. C. – 17. D. 17.
Câu 11. Đạo hàm của hàm số 
tại x0 = – 1.
A. 2 B. 0 C. 3 D. Đáp án khác
Câu 12. Đạo hàm của hàm số f(x) = x2 – x tại điểm x0 ứng với số gia ∆x là:
Câu 13. Cho hàm số 
. Khẳng định nào là đúng:
A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
Câu 14. Cho hàm số y = |2x – 3|. Khẳng định nào là đúng:
A. Hàm số liên tục tại 
, không có đạo hàm tại 
.
B. Hàm số liên tục tại 
, có đạo hàm tại 
.
C. Hàm số không liên tục tại 
, không có đạo hàm tại 
.
D. Hàm số không liên tục tại 
, có đạo hàm tại 
.
Câu 15. Cho hàm số y = f(x) =x2 – 2|x + 3|. Khẳng định nào là đúng:
A. Hàm số liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
B. Hàm số liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
C. Hàm số không liên tục trên R, không có đạo hàm trên R.
D. Hàm số không liên tục trên R, có đạo hàm trên R.
Bảng đáp án
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
A |
C |
C |
B |
A |
B |
A |
B |
B |
D |
D |
A |
C |
A |
A |