Các bài toán đếm tổ hợp liên quan đến hình học chọn lọc

Tài liệu Các bài toán đếm tổ hợp liên quan đến hình học gồm các nội dung chính sau:

Phương pháp

– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn và phương pháp giải Các bài toán đếm tổ hợp liên quan đến hình học.

Các ví dụ

– Gồm 4 ví dụ minh họa đa dạng của Các bài toán đếm tổ hợp liên quan đến hình học có đáp án và lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Các bài toán đếm tổ hợp liên quan đến hình học (ảnh 1)

DẠNG 4. CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TỔ HỢP LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC

Phương pháp:

Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

Tất cả n phần tử đều phải có mặt

Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

Cần chọn $k$ phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng song song $d_{1}, d_{2}$ . Trên đường thẳng lấy $d_{1}$ điểm phân biệt, trên $d_{2}$ lấy $15$ điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ vừa nói trên.

A. $C_{10}^{2} C_{15}^{1}$ B. $C_{10}^{1} C_{15}^{2}$

C. $C_{10}^{2} C_{15}^{1} + C_{10}^{1} C_{15}^{2}$ D. $C_{10}^{2} C_{15}^{1} . C_{10}^{1} C_{15}^{2}$

Lời giải:

Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau

Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào $d_{1}$ và một đỉnh thuộc vào $d_{2}$

Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 thuộc $d_{1}$ : $C_{10}^{2}$

Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc $d_{2}$ : $C_{15}^{1}$

Loại này có: $C_{10}^{2} . C_{15}^{1} =$ tam giác.

Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào $d_{1}$ và hai đỉnh thuộc vào $d_{2}$

Số cách chọn một điểm trong 10 thuộc $d_{1}$ : $C_{10}^{1}$

Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc $d_{2}$ : $C_{15}^{2}$

Loại này có: $C_{10}^{1} . C_{15}^{2} =$ tam giác.

Vậy có tất cả: $C_{10}^{2} C_{15}^{1} + C_{10}^{1} C_{15}^{2}$ tam giác thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi:

1. Có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ – không có điểm đầu và điểm cuối thuộc 2010 điểm đã cho.

A.4039137 B.4038090 C.4167114 D.167541284

2. Có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó thuộc vào 2010 điểm đã cho.

A.141427544 B.1284761260 C.1351414120 D.453358292

Lời giải:

1. Mỗi véc tơ thỏa yêu cầu bài toán ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 2010, nên số véc tơ cần tìm là: $A_{2010}^{2}$ .

2. Mỗi tam giác thỏa yêu cầu bài toán ứng với một tổ hợp chập 3 của 2010, nên số tam giác cần tìm là: $C_{2010}^{3}$ .

Ví dụ 3.

1. Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau. Trên d₁ có 10 điểm phân biệt, trên d₂ có n điểm phân biệt ( $n \geq 2$ ). Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm nói trên. Tìm n?

A.20 B.21 C.30 D.32

2. Cho đa giác đều $A_{1} A_{2} … A_{2 n}$ nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1} A_{2} … A_{2 n}$ gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm $A_{1} A_{2} … A_{2 n}$ . Tìm n?

A.3 B.6 C.8 D.12

Lời giải:

1. Tam giác cần lập thuộc hai loại

Loại 1: Tam giác có một đỉnh thuộc d₁ và hai đỉnh thuộc d₂. Loại này có $C_{10}^{1} . C_{n}^{2}$ tam giác.

Loại 2: Tam giác có một đỉnh thuộc d₂ và hai đỉnh thuộc d₁. Loại này có $C_{10}^{2} . C_{n}^{1}$ tam giác.

Theo bài ra ta có: $C_{10}^{1} . C_{n}^{2} + C_{10}^{2} . C_{n}^{1} = 2800$

$\Leftrightarrow 10 \frac{n (n - 1)}{2} + 45 n = 2800 \Leftrightarrow n^{2} + 8 n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 20$ .

2. Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm $A_{1}, A_{2}, …, A_{2 n}$ là: $C_{2 n}^{3}$ .

Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác $A_{1} A_{2} … A_{2 n}$ cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm $A_{1} A_{2} … A_{2 n}$ và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng $C_{n}^{2}$ .

Theo giả thiết: $C_{2 n}^{3} = 20 C_{n}^{2} \Leftrightarrow \frac{2 n (2 n - 1) (2 n - 2)}{3!} = 20 \frac{n (n - 1)}{2}$ $\Leftrightarrow n = 8$ .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng cho $n$ điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong $n - 1$ điểm còn lại. Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?

A. $2 C_{\frac{n (n - 1) (n - 2)}{2}}^{2} - [n (C_{n - 1}^{2} - 1) + 5 C_{n}^{3}]$ B. $C_{\frac{n (n - 1) (n - 2)}{2}}^{2} - 2 [n (C_{n - 1}^{2} - 1) + 5 C_{n}^{3}]$

C. $3 C_{\frac{n (n - 1) (n - 2)}{2}}^{2} - 2 [n (C_{n - 1}^{2} - 1) + 5 C_{n}^{3}]$ D. $C_{\frac{n (n - 1) (n - 2)}{2}}^{2} - [n (C_{n - 1}^{2} - 1) + 5 C_{n}^{3}]$

Xem thêm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy