50 Bài tập Phép đối xứng tâm (có đáp án)- Toán 11

Bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 4: Phép đối xứng tâm

A. Bài tập Phép đối xứng tâm

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x – 6y + 5 = 0 điểm I(2;-4). Phép đối xứng tâm I biến d thành d’ có phương trình:

   A.2x – 6y – 5 = 0

   B.2x – 6y – 61 = 0

 

   C.6x – 2y + 5 = 0

   D. 6x – 2y + 61 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I (x0; y0) biến M(x; y) thành M'(x’; y’) thì

   Thay vào phương trình d ta được :2(4 – x’) – 6(-8 – y’) + 5 = 0 ⇒ 2x’ – 6y’ – 61 = 0 hay 2x – 6y – 61 = 0. Chọn đáp án B

Bài 2: Hình nào dưới đây vừa có tâm đối xứng vừa có trục đối xứng?

   A. hình bình hành      B. hình chữ nhật

   C. hình tam giác đều      D. hình tam giác cân

Lời giải:

Đáp án: B

   1. Hình bình hành có tâm đối xứng; hình tam giác cân và hình tam giác đều chỉ có trục đối xứng.

Bài 3: Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến hình chữ nhật thành chính nó?

   A. một      B. hai

   C. ba      D. không

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-5;9). Phép đối xứng tâm I(2; -6) biến M thành M’ thì tọa độ M’ là.

   A. M'(9;-15)      B. M'(9;-3)

 

   C.M'(9;-21)      D. M'(1;-3)

Lời giải:

Đáp án: C

   Thử vào công thức : Phép đối xứng tâm I(x0;y0) biến M(x; y) thành M’(x’, y’) thì

   Nhận xét: bài toán đơn giản nhưng rất dễ nhầm lẫn công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng sang tọa độ vecto (lấy tọa độ điểm đầu trừ tạo độ điểm cuối, hoặc nhầm tọa độ trung điểm).

Bài 5: trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2; -5). Phép đối xứng tâm I biến M(x; y) thành M'(3; 7). Tọa độ của M là:

   A. M(5/2;1)      B. M(7;-3)

   C. M(-1;-12)      D. M(1;-17)

Lời giải:

Đáp án: D

   Phép đối xứng tâm I(x0;y0) biến M(x; y) thành M’(x’, y’) thì:

Bài 6: trong mặt phẳng Oxy phép đối xứng tâm I biến M(6; -9) thành M'(3;7). Tọa độ của tâm đối xứng I là:

   A. I(-3/2; -8)      B. (-3;16)

   C. (9/2; -1)      D. I(-3/2; -1)

Lời giải:

Đáp án: C

   Qua phép đối xứng tâm I biến M thành M’ nên I là trung điểm của MM’.

   Tọa độ I bằng trung bình cộng tọa độ của M và M’.

Bài 7: Hình có hai đường thẳng a và b song song với nhau thì có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến a thành b?

   A. Một      B. Hai

   C. Ba      D. Vô số

Lời giải:

Đáp án: D

   Lấy hai điểm A, B bất kì lần lượt thuộc a, b. Trung điểm I của AB chính là tâm đối xứng của hình. Có vô số điểm I thỏa mãn. Chọn đáp án D

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Phép đối xứng tâm O biến.

   A. DF→ thành EB→      B. EC→ thành AF→

   C. BO→ thành OD→       D. BE→ thành DF→

Lời giải:

Đáp án: D

   Nhận xét: ba phương án A, B, C đều sai về hướng của vecto

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-3;7). Phép đối xứng tâm O biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

   A. M’(-3;-7)      B. M’(3;-7)

   C. M’(7;-3)      D. M’(7;3)

Lời giải:

Đáp án: B

   Phép đối xứng tâm O biến M(x;y) thành M’(-x;-y). Chọn đáp án B

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-6) và điểm I(1;4). Phép đối xứng tâm I biến M thành M’ thì tọa độ M’ là:

   A. M’(0;14)      B. M’(14;0)

   C. M’(-3/2;-2)      D. M’(-1/2;5)

Lời giải:

Đáp án: A

   Phép đối xứng tâm I(x0; y0) biến M(x; y) thành M'(x’; y’) thì:

    ⇒ M'(0;14). 

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:

(x – 3)2 + (y – 1)2 = 4. Phép đối xứng có tâm O là gốc tọa độ biến (C) thành (C’) có phương trình?

Lời giải:

   Đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = 2.

   Phép đối xứng tâm O(0; 0) biến tâm I(3; 1) của (C) thành tâm I’(-3; -1) của đường tròn (C’), bán kính R = 2 không đổi.

   Phương trình (C’) là (x + 3)2 + (y + 1)2 = 4 hay x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình y = x2 – 3x + 1. Phép đối xứng tâm O(0;0) biến (P) thành (P’) có phương trình:

Lời giải:

   Phép đối xứng tâm O biến M(x; y) thuộc (P) thành điểm M’(x’; y’) thuộc (P’).

   Trong đó;

   thay vào phương trình (P) ta được

   hay y = -x2 – 3x – 1

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có phương trình: y = x2 – 3x + 1. Phép đối xứng tâm I(4; -3) biến P thành (P’) có phương trình:

Lời giải:

   Phép đối xứng tâm I biến M(x; y) thành M’(x’; y’) thì:

   Thay vào phương trình (P) ta được:

   -6 – y’ = (8 – x’)2 – 3(8 – x’) + 1 ⇒ -y’ = x’2 – 13x’ + 47 hay

   y = -x2 + 13x – 47

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x – 2y + 20 = 0; đường thẳng d’ có phương trình x – 2y – 8 = 0. Tìm tọa độ điểm I sao cho phép đối xứng tâm I biến d thành d’ đồng thời biến trục Oy thành chính nó.

Lời giải:

   Dễ thấy d // d’, ta có d ∩ Oy = A(0; 1); d’ ∩ Oy = A’(0; -4). Phép đối xứng tâm I biến Oy thành Oy thì I thuộc trục Oy; biến d thành d’ thì I là trung điểm của AA’ ⇒ I(0; -3/2).

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 6x + 5y – 7 = 0; điểm I(2;-1). Phép đối xứng tâm I biến d thành d’ có phương trình:

Lời giải:

   Tâm đối xứng I thuộc d thì phép đối xứng tâm I biến d thành chính nó.

   Nhận xét: lưu ý kiểm tra xem tâm có thuộc d không, cũng như với phép tịnh tiến thì kiểm tra xem vecto tịnh tiến có cùng phương với vecto chỉ phương của d không.

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho hình (H) gồm đường thẳng d có phương trình : 3x – 5y + 7 = 0; đường thẳng d’ có phương trình 3x – 5y + 12 = 0. Một lần đối xứng của (H) là:

Lời giải:

   Hai đường thẳng d và d’ song song. Điểm A(1; 2) thuộc d và điểm B(-4; 0) thuộc d’ nên bị loại

   Tính khoảng cách từ C tới hai đường thẳng d, d’

   ⇒ d(C;d)=d(C;d^’)=> C là tâm đối xứng

   Nhận xét: nếu I là tâm đối xứng của hình gồm hai đường thẳng song song thì I cách đều hai đường thẳng song song đó.

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho hình (H) gồm đường thẳng d có phương trình 3x – 5y + 7 = 0 và đường thẳng d’ có phưng trình:

   Tâm đối xứng của (H) là?

Lời giải:

   Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→(5;3); Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương v→(-3;1) nên d không song song với d’. Tâm đối xứng của hình (H) chính là giao điểm của d và d’:

   Gọi I là giao điểm của d và d’.

   Điểm I thuộc d’ nên tọa độ I(2- 3t; 4+ t)

   Lại có, I thuộc d nên thay tọa độ điểm I vào phương trình đường thẳng d ta được:

    3(2 – 3t) – 5(4 + t) + 7 = 0 ⇒ -14t = 7

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y + 4)2 = 9 và đường tròn (C’) có phương trình (x – 3)2 + (y + 3)2 = 9. Phép đối xứng tâm K biến (C) thành (C’). tọa độ của K là:

Lời giải:

   Đường tròn (C) có tâm I(2; -4), bán kính R= 3

   Đường tròn (C’) có tâm J( 3; -3) và bán kính R’ = 3

   Vì R= R’ nên tồn tại phép đối xứng tâm: biến đường tròn (C) thành (C’).

   Khi đó; tâm đối xứng K là trung điểm IJ.

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0; điểm I(1;2). Phép đối xứng tâm I biến (C) thành (C’) có phương trình:

Lời giải:

Phép đối xứng tâm I(1; 2) biến M(x; y) thành M’(x’; y’) thì:

Thay vào phương trình (C) ta được:

(2 – x’ )2 + (4 – y’)2 + 2(2 – x’ ) – 6(4 – y’ ) + 6 = 0

   ⇒ x’2 + y’2 – 6x’ – 2y’ + 6 = 0 hay x2 + y2 – 6x – 2y + 6 – 0

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.

Hướng dẫn. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.

Bài 2 Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm, đối xứng?

Bài 3 Tìm một hình có vô số tâm đối xứng.

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1,3) và đường thẳng d có phương trình x-2y+3=0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.

Bài 5 Trong các hinh tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có trục đối xứng.

Bài 6 Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến hình chữ nhật thành chính nó?

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-5;9). Phép đối xứng tâm I(2; -6) biến M thành M’ thì tọa độ M’ là?

Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(2; -5). Phép đối xứng tâm I biến M(x; y) thành M'(3; 7). Tọa độ của M là?

Bài 9 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 6x + 5y – 7 = 0; điểm I(2;-1). Phép đối xứng tâm I biến d thành d’ có phương trình?

Bài 10 Cho bốn đường thẳng a,b,a’,b’ trong đó a//a’,b//b’ và a cắt b. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng a’ và b’?

B. Lý thuyết Phép đối xứng tâm

I. Định nghĩa.

 

– Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác điểm I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

– Nếu hình ℋ ‘ là ảnh của hình ℋ  qua Đ_I thì ta còn nói ℋ  đối xứng với ℋ ‘ qua tâm I, hay ℋ  và ℋ ‘ đối xứng với nhau qua I.

Từ định nghĩa trên ta suy ra, M’ = Đ_I(M) $\iff \overrightarrow{IM‘}=-\overrightarrow{IM}$.

– Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau. Các điểm A và B là ảnh của điểm A’ và B’ qua phép đối xứng tâm I và ngược lại.

II. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= Đ_O(M) = (x’; y’). Khi đó:

 

 $\left\{\begin{array}{c}x‘=-x\\ y‘=-y\end{array}\right.$, đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ.

– Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4). Tìm ảnh của điểm A qua phép đối xứng tâm O. 

Lời giải:

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của điểm A qua  phép đối xứng tâm O. 

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:

$\left\{\begin{array}{c}x‘=-7\\ y‘=-(-4)=4\end{array}\right.\hspace{0.17em}\Rightarrow A‘(-7;4)$

III. Tính chất.

– Tính chất 1. Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N’ thì $\overrightarrow{M‘N‘}=-\overrightarrow{MN}$, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Tính chất 2. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

– Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1; 2).

Lời giải:

Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm  thành điểm M’(x’ ; y’).

Khi đó I là trung điểm của MM’. Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^{‘}=2.1-x=2-x\\ y^{‘}=2.2-y=4-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2-x^{‘}\\ y=4-y^{‘}\end{array}\right.$

Vì điểm M thuộc d nên: x + y – 2 = 0    (2).

Thay (1) vào (2) ta được:

(2 – x’) + (4 – y’) – 2 = 0 hay – x’ – y’ + 4 = 0.

Do đó, phương trình đường thẳng d’ là – x – y + 4 = 0 hay x + y – 4 =0.

IV. Tâm đối xứng của một hình.

Định nghĩa. Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu phép đối xứng tâm I biến hình ℋ  thành chính nó.

– Khi đó, ta nói ℋ  là hình có tâm đối xứng.

– Ví dụ 4. Các hình sau đây đều có tâm đối xứng: