18 bài tập về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (dạng 3)

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

18 bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3) có lời giải chi tiết

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác MBC, cạnh bên SC = \[\frac{{2a}}{3}\]. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

A. \[d = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\]

B. \[d = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\]

C. \[d = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]

D. \[d = \frac{{a\sqrt 6 }}{8}\]

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90, BC = 2a, ACB = 30. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính khoảng cách từ trung điểm của AB đến mặt phẳng (SBC).

A. \[\frac{{a\sqrt {21} }}{2}\]

B. \[\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\]

C. \[\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\]

D. \[\frac{{a\sqrt {21} }}{{21}}\]

Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC là tam giác vuông cân, A’C = a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) là:

A. \[\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]

B. \[\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]

C. \[\frac{a}{{\sqrt 6 }}\]

D. \[\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Tỷ số \[\frac{{SA}}{a}\] khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) bằng \[\frac{a}{{\sqrt 5 }}\]là:

A. \[\sqrt 2 \]

B. 2

C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

D. 1

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA \[ \bot \] (ABC) và SA = 4 cm, AB = 3 cm, AC = 4cm và BC = 5 cm. khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng (đơn vị cm):

A. \[d(A,(SBC)) = \frac{2}{{17}}\]

B. \[d(A,(SBC)) = \frac{{\sqrt {72} }}{{17}}\]

C. \[d(A,(SBC)) = \frac{{6\sqrt {34} }}{{17}}\]

D. \[d(A,(SBC)) = \frac{3}{{\sqrt {17} }}\]

Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4 cm. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là trung điểm H của AB. Biết rằng SH = \[\sqrt 2 \]cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) là

A. 1 cm

B. 2 cm

C. 3 cm

D. 4 cm

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh Ac sao cho HC = 2HA. Gọi M là trung điểm của SC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SB = 3SN. Khẳng định nào sau đây sai:

A. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) bằng \[\frac{4}{3}\] lần khoảng cách từ N đến mặt phẳng (ABC).

B. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB) bằng một nửa lần khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

C. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAC) bằng \[\frac{1}{3}\] lần khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

D. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAB) bằng \[\frac{3}{2}\] lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAB).

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn SM + 2CM = 0. Tỷ số khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) và từ M đến mặt phẳng (SAB) là:

A. \[\frac{2}{3}\]

B. \[\frac{3}{2}\]

C. \[\frac{1}{2}\]

D. 2

Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết tam giác ABC đều cạnh 20 cm và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 60⁰. Khoảng cách từ A đến (SCD) là

A. 20 cm

B. 10 cm

C. 15 cm

D. 30 cm

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 45⁰ . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

 A. \[d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

B. \[d = \frac{a}{2}\]

C. \[d = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\]

D. \[d = \frac{{3a}}{2}\]

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SB = \[a\sqrt 5 \], khoảng cách từ trung điểm của SA đến mặt phẳng (SBC) là:

A. \[\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\]

B. \[\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\]

C. \[\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\]

D. \[\frac{{a\sqrt {56} }}{{19}}\]

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB. Biết tam giác SAB đều, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) là:

A. \[\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\]

B. \[\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\]

C. \[\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\]

D. \[\frac{{2a\sqrt {15} }}{{15}}\]

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm H của cạnh AD. Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng \[\frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\]. Độ dài cạnh SA là:

A. \[\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\]

B. 2a

C. \[2a\sqrt 2 \]

D. 3a

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a;BC = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm của AC. Biết SB = \[\frac{{3a}}{2}\], khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) là:

A. \[\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\]

B. \[a\sqrt 2 \]

C. \[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

D. \[2a\sqrt 2 \]

Câu 15. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2 HB. Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (B’AC) bằng:

A. \[\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\]

B. \[a\sqrt 3 \]

C. \[\frac{{3a\sqrt 3 }}{2}\]

D. \[\frac{a}{2}\]

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,CD. Biết SH ⊥ (ABCD), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHM) bằng \[\frac{a}{2}\]. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) khi  ∆SAB là tam giác đều.

A. \[d = \frac{{a\sqrt {21} }}{{21}}\]

B. \[d = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\]

C. \[d = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\]

D. \[d = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\]

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Biết diện tích tam giác SAB bằng 1 cm² và d(B;(SAD)) = \[\sqrt 2 \]cm. tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

A. 32

B. 16

C. 8

D. 72

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Gọi H nằm trê đoạn AD sao cho HD = 2HA. Khi SA = \[3\sqrt 3 \], tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBD).

A. \[d = \frac{{9\sqrt {21} }}{{14}}\]

B. \[d = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\]

C. \[d = \frac{{2\sqrt {21} }}{7}\]

D. \[d = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}\]

Hướng dẫn giải

Câu 1.

Chọn đáp án C

Gọi I là trung điểm của MB.

Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra SG ⊥ (ABC).

Từ G kẻ GH ⊥ AB, kẻ GK ⊥ SH với H \[ \in \]AB, K \[ \in \] SH.

Nên GK \[ \bot \](SAB) \[ \Rightarrow \]d(G,(SAB)) = GK.

Ta có IC = \[\sqrt {M{C^2} + M{I^2}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{4};GC = \frac{2}{3}IC = \frac{{a\sqrt {13} }}{6}\]

\[ \Rightarrow \]SG = \[\sqrt {S{C^2} – G{C^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{6};Gh = \frac{1}{3}MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Do đó ∆SGH vuông cân tại G nên GK = \[\frac{1}{2}\]SH = \[\frac{1}{2}\]. \[\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}\]

Mà d(C;(SAB)) = 3d(G;(SAB)) = \[\frac{{3a\sqrt 6 }}{{12}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\]

Câu 2.

Chọn đáp án B

Gọi H là trung điểm của AB \[ \Rightarrow \] SH \[ \bot \] AB \[ \Rightarrow \]SH \[ \bot \] (ABC).

Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, AC = \[a\sqrt 3 \].

Đặt SB = \[\sqrt {{x^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \], SC = \[\sqrt {S{H^2} + H{C^2}}  = \sqrt {{x^2} + \frac{{13{a^2}}}{4}} \]

Mà SB² + SC² = BC² \[ \Rightarrow \]x² = \[\frac{{{a^2}}}{4}\]\[ \Rightarrow \]x = \[\frac{a}{2}\]\[ \Rightarrow \]SH =\[\frac{a}{2}\]

Kẻ HK \[ \bot \] BC, HI \[ \bot \]SK với K \[ \in \]BC, I \[ \in \] SK nên HI \[ \bot \] (SBC).

Mặt khác HK = HB.sinB = \[ \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{{28}}{{3{a^2}}}\]

\[ \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow d(H;(SBC)) = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\]

Mà d(A;(SBC)) = 2d(H;(SBC)) = 2HI = \[\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\]

Xem thêm