Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức hay nhất

Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

 Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm 

Bài 1:
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3 + + =
Chứng minh rằng:  $\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\ge \frac{3}{4} \left(1\right)$

 Hướng dẫn:
+ Dự đoán dấu “=” xảy ra.
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc.
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm.
Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.
Bài giải:
Sử dụng giả thiết a b c 3 + + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

 3 + + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế

$\left(1\right) \iff \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\ge \frac{a+b+c}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-sin ta có: $\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}\right)\left(\frac{b+c}{8}\right)\left(\frac{b+a}{8}\right)}=\frac{3b}{4}\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\ge 3\sqrt[3]{\left(\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\right)\left(\frac{c+a}{8}\right)\left(\frac{c+b}{8}\right)}=\frac{3c}{4}$

  Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: 

$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\ge \frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{4} \left(đpcm\right)$

 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1

Xem thêm