Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto
1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
Giải toán lớp 10 trang 94 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10: Cho vectơ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ : (Hình 1)
Lời giải:
Dựa vào hình 1 ta thấy
Vectơ có độ dài bằng 2 lần vectơ và cùng hướng với vectơ
Vectơ có độ dài bằng 2 lần vectơ và cùng hướng với vectơ
Giải toán lớp 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cho hai vectơ và điểm M như hình 3.
a) Hãy vẽ vectơ
b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: .
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hướng của vectơ
Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài
Lời giải:
a) có độ dài bằng 3 lần vectơ , cùng hướng với vectơ
Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải
có độ dài bằng 3 lần vectơ , ngược hướng với vectơ
Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái
b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là ; . Suy ra:
; ;
Từ điểm cuối của vectơ vẽ một vectơ bằng vectơ ta có
Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ là
Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc 3 điểm
Lời giải:
(đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên )
Vận dụng trang 95 Toán lớp 10: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc của tàu B theo vectơ vận tốc của tòa A.
Lời giải:
Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài
2. Điều kiện để hai vecto cùng phương
Giải toán lớp 10 trang 96 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10: Cho hai vectơ và cùng phương khác và cho . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ và
Lời giải:
vectơ có độ dài gấp lần vectơ và cùng hướng với vectơ
+) Nếu hai vectơ và cùng hướng thì hai vectơ và cùng hướng và ngược lại
+) . Suy ra hai vectơ và có cùng độ dài
Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất trung điểm và quy tắc ba điểm
với I là trung điểm AB
G là trung điểm IJ.
Lời giải:
Ta có:
G là trung điểm của đoạn thẳng IJ
Vậy I, G, J thẳng hàng
Bài tập
Giải toán lớp 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 97 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:
Phương pháp giải:
a) Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm
b) Sử dụng tính chất của bình bình hành
Lời giải:
a)
(luôn đúng)
(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)
b) ABCD là hình bình hành nên ta có
Suy ra (đpcm)
Bài 2 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng:
Phương pháp giải:
Chèn điểm M: ,
Tính chất trung điểm
Lời giải:
a)(đpcm)
b)
Mặt khác ta có:
Suy ra
Cách 2:
Bài 3 trang 97 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ
Bước 2: Xác định tỉ số độ dài
Lời giải:
Cách 1:
và hai vectơ ngược hướng
Suy ra M nằm giữa AB sao cho
Cách 2:
Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho
Bài 4 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm
(với O là trung điểm của AB)
Lời giải:
(đpcm)
Bài 5 trang 97 Toán lớp 10: Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc của máy bay B theo vectơ vận tốc của máy bay A
Lời giải:
Vecto là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.
Do đó lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.
Ta có:
Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó
Bài 6 trang 97 Toán lớp 10: Cho 2 điểm phân biệt A và B
a) Xác định điểm O sao cho
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
Phương pháp giải:
a) Chèn điểm:
Từ đó tìm theo đã biết
b) Chèn điểm O, làm xuất hiện ở vế trái.
Lời giải:
a)
Vậy O thuộc đoạn AB sao cho
b) Ta có:
Bài 7 trang 97 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC
a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn:
b) Biểu thị mỗi vectơ theo hai vectơ
c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng
Phương pháp giải:
a) Xác định hướng và tỉ số độ dài
và cùng hướng; tỉ số độ dài
b) Phân tích theo hai vecto
c) thẳng hàng
Lời giải:
a) Ta có:
+) và cùng hướng; tỉ số độ dài
nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho
+)
thuộc đoạn thẳng AB và
+)
là trung điểm của CA
b)
c) Ta có:
Vậy thẳng hàng
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto
Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto
Bài tập cuối chương 5
Bài 1: Số gần đúng và sai số